COURBES PLANER DU TROISIEME ORDRE

la surface réglée suivant une courbe gauche du quatrième ordre qui doit aussi être située sur la surface conique du troisième ordre ; car elle sera projetée au point ah suivant une surface conique du troisième ordre qui a en commun avec la surface conique donnée sept rayons, en outre de a et h, et qui par suite est identique avec elle. On démontre de même que :

Une surface conique du froinèine ordre et une surface conique du second ordre, non concentriques mais tangentes le long d'un raijon, se coupent suivant une courbe gauche du quatrième ordre par laquelle on peut faire passer un faisceau de surfaces du second ordre.

Réunissons brièvement les résultats principaux acf[uis dans cette leçon et nous avons pour les surfaces du troisième ordre le théorème suivant :

La surface du troisième ordre est coupée par un plan quelconque suivant une courbe C. du troisième ordre, déterminée par neuf points arbitrairement choisis S7ir elle. Cette courbe se décompose en une conique et une droite., quand elle a, plus de trois points conuni/ns avec une droite ou plus de sir points communs avec une coni([ue ; elle peut aussi se réduire à trois droites ou à moins de trois droites. La courbe C. du troisième ordre a au plus neuf points communs avec une autre courbe quelconque du troisième ordre; huit de ces points déterminent le neuvième ; d'après cela, deux surfaces du troisième ordre se coupent en général suivant une courbe gauche du neuvième ordre. Une surface du second ordre et une surface du troisième ordre se coupent en général suivant une courbe gauche du sixième ordre.

Vl^r.T-SIXIlîME LEÇON.

Les vingt-sept droites de la surface du troisième ordre et les coniques contenues sur la surface.

Étant donnée une suiface du troisième ordre engendrée par trois gerbes collinéaires S, S,, S^, si nous la représentons sur un système plan 2 en rapportant réciproquement i; à S, Sj, S^, à tout point de F^ correspond un point unique de 2. Il peut au contraire exister dans i) certains pom/s /;rmf//jfn/.r auxquels correspondent plusieurs des points de F', par exemple, tous les points d'une droite. A un point quelconque de 2 correspondent, en effet, les trois plans homologues de S, Sp S^, et leur point d'intersection situé sur F"' ; mais si ces plans ont plus d'un point commun, et par conséquent ont une droite commune, le point correspondant de 2 est un point principal. Nous donnerons à la droite qui correspond au point principal le nom de rayon principal de la surface F' ; elle est une corde commune aux trois courbes gauches du troisième ordre engendrées par les gerbes S, S^, S^ prises deux à deux. Conune ces courbes gauches peuvent être considérées comme trois courbes quelconques du second système de courbes de F'', les points piincipaux de 2 peuvent aussi être définis de la manière suivante :

Les points principaux dn plan 2 ont pour éléments correspondants sur la surface F' <hi troisième ordre les cordes communes au deuxième système de courbes de F''; nous donnons à chacune de ces cordes le nom de rayon principal de la surface du troisième ordre.

Les points principaux de - sont donc les points doubles des courbes du cinquième ordre qui conespondent aux courbes gauches du second système de F',