DROITES ET CONIQUES DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE

Vn plan quelconque coupe la surface F'" suivant une courbe plane G^, qui a un point commun avec toute droite située sur F''. Nous en concluons que :

Les courbes du troisième ordre de 2, qui correspondent aux sections planes de la surface F'', passent par tous les points principaux de -.

Par une droite quelconque j;, qui a les trois points ]\ Q, R communs avec F'\ menons deux plans (pielconques ; ils coupent la surface F"' suivant deux courbes G. et G.^ qui passent par les points P,Q,R. En outre des trois points qui correspondent à ces trois derniers, les courbes qui représentent G, et G.* ont encore au plus six points communs et ciiacun d'eux doit être un point principal de 2, parce qu'il a pour correspondant un point de G. aussi bien qu'un point de G.^ Ges six points principaux ne sont pas contenus sur une même conique ; car sans cela, les trois autres points devraient être situés sur une même droite, ce qui est impossible , puisqu'une droite de 2 a pour correspondante sur F^ une courbe gauche du troisième ordre qui a au plus deux points communs avec la droite arbitraire g. Donc : : ,

Le plan 2 renferme au plus six points principaux qui ne sont pas situés sur une seule et même conique; et la surface ¥' renferme au plus six rayons principaux ou cordes communes du deuxième système de courbes. Etant données trois gerbes collinéaires quelconques de fespace, il existe en général six droites au plus suivant lesquelles les plans homologues des gerbes se coupent trois à trois.

Lorsque deux cordes d'une courbe gauche du troisième ordre sont situées dans un même plan, elles se coupent, comme on le sait, en un point de la courbe. Or, comme les courbes gauches du deuxième système ne doivent pas toutes ])asser par un seul et même point, il s'ensuit que :

Deux rayons principaux de la surface ¥' ne sont jamais dans un même plan.

Une droite quelconque g de - a pour correspondante sur la surface F' une courbe gauche y' du premier système; mais

Si une droite g de il contient un point principal U, la courbe gauche y" du troisième ordre, qui lui correspond, se décompose dans le rayon principal u, correspondant à U, et en une conique, qui a un point commun avecu.

A la ponctuelle g correspondent dans les gerbes S, S,, S^ trois fais-

ceanx do ]ilans. dont les axos roiiponl lo rayon principal ii et le faisceau de plans de S eng-endre avec ceux de S^ et de S^ deux surfaces réglées du second ordre qui ont en commun l'axe du premier faisceau et le rayon principal u. Réunissons maintenant par un i)lan trois autres quelconques des points communs aux deux surfaces ; ce plan coupe les deux surfaces du second ordre suivant deux coniques qui sont identiques, car, en outre des trois points précédents, elles ont encore en commun un [)oint situé sur }i et un aulre situé sur l'axe du premier faisceau de plans. Les points de cette conique correspondent projectivement à ceux de la droite g.

Le plan de la conique a encore une droite commune avec la surface ; cette droite jointe à la conique constitue une courbe plane du troisième ordre. La coui-be qui la représente doit se décomposer en la droite g et en une conique ; et cette dernière doit passer par tous les points principaux du plan S, différents de U. Donc :

Une conique qui réunit cinq quelconques des points principaux (lelL a pour correspoudaule siirht surface ¥' une droite qui rencontre les cinq r-aijons principaux correspondants; par celte droite passent les plans de toutes les coniques de F'' qui correspondent aux ragons de 2 menés par le sixième point principal.

Si une forme rectiligne g réunit entre eux deux points ])rincipaux U et V de Z, elle a pour correspondants dans les gerbes S, S,, S, trois faisceaux de plans dont les axes coupent les rayons principaux correspondants u et V de F\ Le faisceau de plans de la gerbe S engendre avec ceux de Si et S., deux surfaces réglées qui ont en commun l'axe de ce faisceau et les rayons principaux u et y. Soit maintenant V un point de la courbe d'intersection de ces surfaces réglées, qui soit extérieur aux trois droites précédentes; les surfaces passent encore par une quatrième droite qui contient le point P et qui coupe les droites u et v; cette quatrième droite doit correspondre à la droite g; donc :

Tojite droite qui joint deux points principaux U et \ de "ï. a pour correspondante sur F'" une droite qui coupe les deux rai/ons principaux correspondants ii et v.

On voit en même tenq)s (pie :

Trois points principaux du jilau :s. ne sont jamais sui' une même droite.

En elfet, si une forme rectiligne contenait trois points pi'incipaux, les faisceaux de plans qui lui correspondent dans S, Sj. S, seraient