DROITES ET CONIQUES DE LA SURFACE DU TROISIEME ORDRE

jiorspoctifs au système réglé auquel appartiennent, les trois rayons principaux correspondants de F\ La surface F" se décomposerait alors en une surface réglée et un plan. Il y a une exception à ce théorème, C'est quand F" possède un point double ; mais ce cas a déjà été exclu précédemment (II, page 217).

Joignons la droite de F"', qui correspond à la droite réunissant deux points principaux U et V, avec un point quelconque P de F'' par un plan. Ce plan coupe la surface F'" suivant une courbe du troisième ordre G., qui se compose de la droite en question et d'une conique passant par P. La courbe qui représente C. sur Z se décompose en la droite UV et en une conique qui contient le point correspondant à P et tous les autres points principaux différents de U et V. Comme P a été pris arbitrairement sur F"', le point qui lui correspond peut être considéré comme un point absolument quelconque de 2. Nous déduisons de là que :

Les coniques^ que Con peut mener par quatre points principaux de -, ont aussi des coniques pour correspondantes sur F''; les plans de ces dernières courbes se coupent suivant la droite qui correspond à la droite joignant les deux autres points principaux.

Ce théorème éprouve naturellement une modification quand il y a moins de six points principaux.

Nous allons d'abord examiner le cas le plus particulièrement intéressant, celui où le plan 2 contient six points principaux réels. On peut considérer ces points comme les sommets d'un hexagone complet, auquel on ne peut pas circonscrire de conique. De ce qui précède, il découle que :

A chacun des six sommets et des quinze côtés de cet hexagone principal de 2 correspond une droite de la surface; de même à chacune des six coniques que Von peut mener par cinq de ses sommets correspond également une droite. La surface F" du troisième ordre renferme donc vingt-sept droites.

Quatre quelconques des droites situées sur la surface ne peuvent appartenir à un seul et même système réglé du second ordre; car, si ce cas se produisait, cliacune des directrices de ce système réglé aurait quatre points communs avec la surface F'' et par conséquent serait .située tout entière sur F% en sorte que cette surface se décomposerait en une surface réglée du second ordre et mi plan.

On peut facilement se faire une idée de la situation réciproque des vingt-sept droites au moyen de l'hexagone complet. Nous désignerons

tout d'abord par 1, 2, 5, i, 5, 6 les six points principaux du plan 2, pai- [7,,v deux quelconques d'entre eux et par ([j.) la conique ({ui passe par les cinq points principaux différents de [t.. On peut alors représenter pai- (t., le rayon ])rincipal de la surface F'" (|ui correspond au point priiici[)al [j., par h,, la droite qui correspond à la conique (p.) ; enfin le côté [jy de riiexagone aura pour correspondante la droite c^,., ou c,,^ de F"'. Les vingt-sept droites sont alors repi'ésentées comme il suit :

(I, (I , <i. a, a. a, h, h, h. h, Ik h,

En vertu des théorèmes précédents et de la représentation des vingtsept droites sur le plan 2, on reconnaît inunédiatement que :

La droite aj, nesl coupée que par dix des vingt-six autres droites; ce sont tontes les droites h, à V exception f/eb,^, et toutes les droites c qui ontVindice \).. De même, h,, est rencontrée par dix des autres droites; ce sont toutes les droites a, a l" exception de a^^, et toutes les droites c qui ont V indice \}.. La droite c,^, est cou})ce par les droites a,^, a,, b,,, b, et par les six droites c qui n'ont ni findice [j., ni Vindice v.

Par exemple, la droite c^^ est rencontrée par les droites «j, r/,, b^,

/^2, c.,^, r.. etc., parce que sa ligne représentative i^ pasvse par les

points 1, 2 et a en connnun avec les représentations (1), (-2), 54,

55 etc., de chacune des auti'es droites en question un point qui

n'est pas un point principal.

Chacune des 27 droites est donc rencontrée par dix des autres droites et forme arec elles ciuq triangles; en sorte que les 27 droites se coupent en 155 points o et forment 45 triangles A.

Par exemple, les dix droites, ([ui coupent a^, foi-ment avec elle les triangles :

fljYn' "A'\-.> "J'/\v f'J'^\,^ <'A'\6-

de même />, est la droite d'intersection des jilans des cinq ti-iangles :