LES VINGT-SEPT DROITES DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE

et les dix droiles, qui coupent c,^, forment avec elle les triangles :

^U^'l^l 'U^'2^1' <"l2^'ôi^M^ ^l/W*6^ ''l2^V45-

Les droites a et b ont une situation relative bien remarquable. Les droites a sont coupées cinq à cinq par une des di'oites b et par conséquent elles sont rencontrées quatre à quatre par deux des droites b; la surface réglée, qui contient trois droites a, a encore trois droites b communes avec la surface F' du troisième ordre. Or, comme deux droites a ne sont jamais dans un même plan, il s'ensuit que :

Deux droites b ne sont jeûnais dans un même plan ; les droites h prises cinq à cinq, quatre à quatre, trois à trois, deux à deux, une à une sont respeelivenient co^ipées par une, deux, trois, quatre, cinq droites a; les droites b ont donc par rapport aux droites a la même situation que ces dernières par rapport aux premières.

Avec M. Schlàfli nous donnerons à un groupe de deux fois six droites qui ont entre elles la situation relative des droites a et b, le nom de double sixain. Un double sixain comme :

Ik

est donc caractérisé par cette propriété que l'une quelconque de ses douze droites ne rencontre que les cinq des onze droites restantes qui ne sont ni sur la même ligne horizontale, ni sur la môme colonne verticale qu'elle. Nous distinguerons deux moitiés dans un double sixain ; dans celui qui précède, une des moitiés est constituée par les droites a et l'autre par les droites b. Nous pouvons prouver facilement que les 27 droites de la surface du troisième ordre ne forment pas entre elles moins de 56 doubles sixains de ce genre ; mais auparavant démontrons le théorème suivant :

La droiles h., n'est rencontrée que par celles des droites c qui ont V indice a. Deux droites c, ayant un indice commun [j., ne peuvent pas être situées dans un même plan.

Par exemple, si 6^ était coupé par c,., les quatre rayons f,., a,^, a.., «p apjmrtiendraient à la surface réglée dont b^, b.^, b. sont trois directrices; ce qui est impossible. Et si, par exemple, Tj^ et c^. étaient dans un même plan, ce plan devrait contenir aussi les droites t'„, c^g, (jg, parce que ces dernières coupent r^, et c^. en des points dilTérents;

la surface F' du troisième ordre aurait donc cinq droites communes avec le plan, ce qui est également impossible.

Du double sixain donné plus haut, nous pouvons déduire, entre autres, les deux suivants :

et

<"gi

Les droites Cj,, <\., (\,^. c^.. du premier double sixain sont représentées sur le plan - par ([uatre droites réunissant le point 1 à quatre autres points principaux 2, 5, i, 0; et comme nous pouvons échanger chacun des points principaux avec un autre, ce premier double sixain nous en donne par analogie 15 en tout. Les droites c^^, c,., t'.^ du second double sixain correspondent aux côtés du triangle 125 de li; les six points principaux forment entre eux vingt triangles; le second tableau ci-dessus ne peut donc pas donner naissance à moins de vingt doubles sixains.

Les 27 droites de ht surface du troisième ordre forment donc en tout 1 4- 15 -h 20 = 56 doubles sixains cl chaque droite entre dans seize de ces doubles sixains.

La considération de Thexagone de ï, qui, joint aux six coniques ([a), donne la représentation des 27 droites, nous fournit immédiatement la proposition suivante :

Quatre quelconques des droites de la surface F'', qui ne se coupent pas deux à deux, déterminent un double sixain et ces quatre droites appartiennent à l'une des moitiés de ce dernier.

La surface du troisième ordre ne peut pas contenir une vingt-huitième droite g. Supposons, en effet, qu'une pareille droite existe, elle ne pourra jamais couper trois des rayons principaux a, parce que ceux-ci sont déjà rencontrés par trois des rayons b et que quatre droites de la surface ne peuvent jamais appartenir à un seul et même système réglé. La droite g sera de plus représentée dans le plan X par une droite ou une conique; car les i)lans de la gerbe S, qui ont chacun en commun avec les plans homologues de Sj un i)oint de la droile </, forment (II, page 209) un faisceau de plans du i)remier ou du second ordre. Il résulte de là que la représentation de la conique de F", ([ui est dans un même plan avec g, doit être une conique ou une droite, et qu'elle passe par (|uatre au moins des points principaux de ^. Cette