LES VINGT-SEPT DROITES DE LA. SURFACE DU TROISIEME ORDRE

représentation ne peut être une droite, parce qu'une pareille droite contient au plus deux points principaux, elle ne peut être non plus une des six coniques ([;,), parce que ces dernières correspondent aux droites h; et si elle était une conique contenant seulement quatre points principaux, g devrait être identique avec l'une des droites c, puisque sa représentation coïncidei'ait avec la droite joignant les deux derniers points principaux. L'hypothèse d'une vingt-huitième droite g est donc inadmissible. Nous pouvons aussi énoncer ce résultat comme il suit :

Le plan de toute coniqne située sur la surface du troisième ordre passe par Vime des '21 droites de cette surface.

Nous représenterons un double sixain quelconque contenu sur la surface F^ par

'h 'h ^'r, '^, '^, 'K. (\ ^2 ^'-. ^'i ('-. ^oi

nous allons démontrer à présent que :

Cinq rayons, dj d^, d., d^, d„, qui appartiennent à une moitié d'un pareil double sixain , déterminent complètement les vingt-sept droites delà surface du troisième ordre et la surface elle-même.

La droite e^ coupe les cinq rayons donnés d et les autres droites e les rencontrent quatre à quatre. On peut donc construire facilement les droites e (î, pages 179-180) et, par leur moyen, nous trouvons la droite rfg qui coupe les cinq premières droites e. Les deux plans d e., et d e^, se coupent de plus suivant l'une f^., des quinze autres droites de la surface F'' ; car la droite d'intersection f.,., a en commun avec la surface quatre points respectivement situés sur r/^, d ,^ e.,, e, et par conséquent elle est contenue tout entière sur la surface. Du moment qu'on a trouvé les 27 droites de cette manière, on peut construire une section plane quelconque de la surface au moyen des points où le plan sécant rencontre ces 27 droites.

Pour construire un double sixain dans l'espace, nous pouvons prendre arbitrairement un rayon e^ de l'une des moitiés et le couper par cinq rayons quelconques c/^, d^, r/., d^, f/„ qui doivent appartenir à l'autre moitié. Il faut seulement que, parmi ces cinq rayons d, il n'y en ait pas deux dans un même plan ni quatre sur une même surface réglée.

Par quatre rayons d^, d^, d., d^ et trois points arbitraires S, Sj, S^ dé l'espace, on ne peut faire passer qu'une seule surface du troisième

240 GÉOMÉTRIE DE rOSITION.

ordre; cette surface est eni!;endréo par les trois gerbes S, S,, S., ({ni sont rapportées collinéaircinenl entre elles de telle sorte que leurs plans homologues se cou[)ent trois à trois suivant d^, (/.,, d.. d,^. En ellet, si par (/j, c/,, r/., d,^. S, Sj et S, il i)assait deux surfaces du troisième ordre, elles devraient contenir aussi les droites e^ et r^, ])arce que ces dernières ont avec les surfaces quatre points communs situés sur c/j, r/,,, d.;d,^. Ces surfaces seraient de plus coupées par le plan SSjvS,, suivant une seule et même courbe du troisième ordre; car par les six points d'intersection situés sur d^, d^, f/., d^, e^, e^ et parles trois points S, S^, S^ donnés arbitrairement^ on ne peut faire passer qu'une seule courbe C. du troisième ordre. Enfin un nouveau plan quelconque, ayant avec C. trois points A, B, C communs, devrait également couper les deux surfaces du troisième ordre suivant une seule et même courbe G'3 du troisième ordre réunissant les points A, B, G et les six points situés sur (/j, r/^, (/., f/^, c^, Cg. En effet, s'il passait plus d'une courbe du troisième ordre par ces neuf points, les six derniers points devraient être situés sur une même coni([ue, puisque A, J), C sont contenus sur une seule et même droite ; or ceci est impossible, puiscjue f/,, d^, rf., d,^ n'appartiennent pas à un seul et même système réglé. Les deux surfaces du troisième ordre auraient donc une infinité de sections planes communes, ce qui est impossible, à moins qu'elles ne se confondent.

Choisissons maintenant les trois points S, Sj, S,, arbitrairement sur la surface F'" du troisième ordi'e donnée primitivement ; la surface du troisième ordre menée par d^,d,Al.,d^ et S, S,, S, coïncide avec F". Les quatre rayonsf/i,f/,,f/.,f/j deviennent des rayons principauxde la surface; par suite, il en est aussi de mêmepour d^ etf/g, parce que les six rayons principaux constituent une moitié d'un double sixain et parce qu'un double sixain est complètement déterminé par quatre rayons de l'une de ses inoitiés. Il résulte de là que :

La siD'face F'" du troisième ordre peut être engendrée de T"! manières différentes par trois gerbes collinéaires S^S^^S^, dont les centres sont pris arbitrairement sur F', On peut en effet rapporter les gerbes entre elles de telle sorte que leurs plans houiologues se coupent trois à trois suivant chacuue des six droites dj,d,,d.,d^,d„,dg, gui constituent une nioilié de l'un des 30 doubles sixains, et Von obtient ainsi un des 7*2 modes de génération; les l'ui/ons d jouent ici par conséquent le rôle de rayons principaux. Il existe, d'après cela, sur la