LES VINGT-SEPT DROITES DE LA SUKFACE DU THUISIÉME URDUE

surface l"! $ijs(èines de courbes gauches du troisième ordre, ou plutôt 56 couples de pareils systèmes de courbes : et en effet, les deux systèmes de courbes qui proviennent des deux moitiés d'un même double sixain ont les mêmes relations réciproques que le premier et le second système de courbes considérés précédemment.

Parmi les i5 triangles A, formés par les 27 droites de la surface F'' du troisième ordre, nous en choisissons deux qui n'aient aucune des 27 droites communes; leurs plans se coupent suivant une droite, et, comme celle-ci a au plus trois points communs avec la surface, les côtés des deux triangles se coupent deux à deux sur elle en trois points c. Les plans qui réunissent ces couples de côtés forment un trièdre T^ (ou trièdre de Steiner) et coupent la surface suivant trois nouvelles droites qui, pour la même raison que ci-dessus, sont également situées dans un même plan et forment un nouveau triangle A. Et le plan de ce dernier triangle forme avec les plans des deux triangles A choisis dans le principe un deuxième trièdre T qui est dit conjugué au premier Tj. Chacun des deux trièd)-es conjugués est coupé par les plans de Vautre suivant trois triangles A. Par exemple, nous pouvons représenter trois couples de trièdres conjugués de ce genre par les groupes suivants qui contiennent neuf droites chacun :

b^ c„. a^ iK c... a r.„ r.„ c\,

o 2a 6 o6 j aj 16 i*

Les trois droites d'un même groupe, qui font partie d'une même ligne ou d'une même colonne, sont situées dans un même plan.

Les colonnes représentent ainsi les plans de l'un des trièdres T et les lignes ceux du trièdre conjugué T^. Les trois groupes de trièdres conjugués ci-dessus renferment toutes les 27 droites de la surface du troisième ordre.

Chaque triangle A fait partie de 10 trièdres différents^ en sorte que son plan renferme les sommets des 16 trièdres.

En effet, le triangle a l'un de ses côtés commun avec 12 des 44 autres triangles, puisque par chacune des 27 droites passent les plans de cincf triangles. 11 reste donc 52 triangles dont chacun détei-mine un trièdre avec le triangle donné. Mais comme le troisième plan du trièdre passe par l'un de ces 52 triangles, le triangle donné ne figure plus

GÉOMÉTRIE UE l'OSlTIU.N. — 11. 10

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daiiso'i, mais seuleineiil dans IG trièdres difierents. Il résulte de là que :

1 G X 15 Les plans des 45 triangles A forment en tout ;: = 2i0 de ces

trièdres ou l'20 couples de trièdres conjugués T et T^.

Ces couples se rangent ti^ois à trois en 40 groupes et chacun de ces groupes contient toutes les 27 droites de la surface.

Nous avons démontré l'existence des 27 droites et tous les théorèmes précédents qui s'y rattachent en admettant c[ue le plan 2, sur lequel la surface du troisième ordre avait été représentée, ne contenait pas moins de six points principaux.

Nous allons maintenant nous passer de cette hypothèse et établir toutes les propriétés de la surface en supposant qu'elle renferme au moins une droite g.

Les plans du faisceau g coupent en général la surface F" non seulement suivant g, mais encore suivant des coniques ; désignons deux quelconques de ces courbes par câ et ^^ Choisissons ensuite sur F^ quatre points quelconques 0,P,Q,R extérieurs à g, a.-, ^" et qui ne soient pas tous situés sur un même plan ; nous pourrons les réunir à or par une seule surface du second ordre. Car on peut réunir 0,P,Q,R à cin(| points quelconques de a" par une surface du second ordre (II, pages lG8-i69) qui contient alors tous les points de la conique a". Cette surface sera coupée par celle qui joint les points 0,P,Q,R et ^^ suivant une courbe gauche du quatrième ordre h'\ qui passe par 0,P,Q et R. Soit maintenant N le point où la surface F'" est coupée pour la troisième fois par la droite OP ; nous pouvons rapporter projectivement le faisceau de surfaces du second ordre qui se coupent suivant k' au faisceau de plans g, de telle manièi'e qu'aux plans passant par a^^^, N correspondent les surfaces passant par «",(3% N. Les deux faisceaux engendi'ent une surface F/', qui passe par A' et qui a en commun avec F'' la droite g^ les coniques ce et (3' ainsi que les points N,0,P,Q,R... Il est facile de démontrer que les deux surfaces F^ et F/' sont identiques.

Le mode de généi'ation de la surface Fi^ montre tout d'abord qu'un plan (|uelconque la coupe suivant une courbe du troisième ordre (II, page 223). Le plan NOPQ coupe les surfaces F' et F/' suivant deux courbes du troisième ordre qui, en outre des points N,0,P,Q ont encore ci]K| outres pohits communs, ce sont deu\ pohits de a*, deux de 3'^ et un