GÉNÉRATION DE LA SURFACE DU TROISIEME ORDRE

de g{*)- Comme 0,P,Q ont été choisis d'une manière absolument arbitraire sur la surface F', ces deux courbes C. du troisième ordre doivent coïncider. De même le plan NOPR a en commun avec les suifaces F' et F^" une seule et même courbe (\^ du troisième ordre. Enfin, si nous prenons arbitrairement un troisième plan, qui coupe (1 et G*3 chacune en trois points et qui ait en commun avec chacune des coniques a"^et(i^ deux points communs, il rencontrera les deux surfaces F'' et Fj'" suivant une seule et même courbe du troisième ordre dont on connaît onze points. Il j-ésulte de là que les deux surfaces F'' et Fj"' sont identiques, et Ton a en même temps ce théorème :

Si par une conique quelconque a' cVune surface F'' du troisième ordre on mène une sur face du second, or dre, cette sur face cou pc encore F' suivant une courbe gauche k* du quatrième ordre, par laquelle on peut faire passer un faisceau ponctuel de F^ Les surfaces de ce faisceau coupent F^ suivant k' et suivant des coniques dont les plans passent par une même droite g de la surface F'. Le faisceau ponctuel de F' est rapporté projectivemeni au faisceau de plans ^ par le moijeu de ces coniques, de telle sorte quHls engendrent ensemble la surface du troisième ordre. Quatre points quelconques 0,P,Q,R de la surface F'\ non situés dans le même plan, peuvent être réunis par autant de courbes gauches k' du quatrième ordre quil g a de droites sur la surface F\

Si, dans le faisceau ponctuel de F^ il y a une surface quelconque (|ui n'ait aucun point commun avec le plan correspondant du faisceau g, la surface ne renferme de droites réelles que celles qui sont rencontrées par g. Cette remarque peut servir de point de départ pour une étude des surfaces du troisième ordre qui contiennent moins de 27 droites réelles.

Nous avons déjà étudié précédemment la génération de la surface F^' du troisième ordre au moyen d'un faisceau ponctuel de F' et d'un faisceau de plans (II, pages 170-180) ; des théorèmes démontrés à cet endroit, nous déduisons que :

Les coniques de F'^, dont les plans ont une droite g commune avec la surface, coupent cette droite suivant une ponctuelle involutive.

Le plan d'une quelcon([ue de ces coniques est tangent à la surface F^ aux deux points, comnuuis à la conique et la droite g, qui sont conju-

(*) Ou peul cviileainicnt toujours choisir ■/- et p- de manière qu'elles ;iionI chacune deux points communs avec le phin UF(J.

guvs l'un à l'autre sur (j. Si la conique se réduit à deux droites formant avec fj un triangle A, son plan est triplement tangent ; la surface du troisième ordre possède donc au plus i5 plans triplement tangents.

Soient (j-^g^/j. les côtés d'un triangle A situé sur F'", et a.y.j.a, trois coniques ([uelcon([ues de F'' dont les plans passent respectivement par U^'Jv'J- ^^ ^0"^ tellement choisis que les coniques prises deux à deux aient deux points communs. Joignons par une surface du second ordre a avec quatre points quelconques 0,P,Q,H dont trois soient situés sur aj et un sur a, ; cette surface passe aussi par ai, parce quelle a cinq points communs avec ai ;elle passe également par a^ pour la même raison. La courbe gauche k" du quatrième ordre, dont il a été question ci-dessus, se décompose alors, en raison de ce choix des quatre points 0,P,Q,R, en les deux coniques a^ et a„, et toute conique [2 de la surface F'', qui est dans un même plan avec j/. peut être réunie à ai et a^ par une suiface du second ordre. De même, toute conique ^^ de F'' dont le plan passe par ^^ peut être réunie avec [3 et a, par une surface du second ordre ; autrement dit :

Trois coniques quelconques de F'', dont les plans passent respectivement par les côtés d'un triangle A situé sur F'\ peuvent toujours être réunies par une même surface du second ordre.

La réciproque suivante de ce théorème se démontre facilement : Si une surface du second ordre a trois coniques commîmes avec une surface F' du troisième ordre, les plans de ces coniques passent toujours par les trois côtés d'un triangle A de F'\

Pour tout triangle A on peut construire un système entier de surfaces de second ordre de ce genre et ces surfaces coupent chacun des côtés du triangle suivant une ponctuelle involutive dans laquelle les deux sommets situés sur le côté sont conjugués l'un à l'autre. Or, une surface du second ordre sépare un seul des sommets du triangle des deux autres ou n'en sépare aucun ; il s'ensuit que :

// ny a quun seul côté du triangle A par lequel passent deux plans aijant en commun avec F'' une conique tangente à ce côté, ou bien chaque côté du triangle jouit de celte propriété.

Une surface réglée du second ordre, qui a en commun avec F"' deux droites a,h ne se rencontrant pas, coupe en outre F" suivant une courbe gauche du quatrième ordre de seconde espèce. Elle se distingue de celles de première espèce, par les({uelles passent des faisceaux de surfaces du second ordre, en ce ({u'il ne passe par elle qu'une seule surface