POLYGONES, MULTILATÈRES, POLYÈDRES, ETC

concevoir les courbes est aussi souvent usitée que la première. De même (clans la gerbe) une surface conique peut être considérée :

p.. comme l'ensemble des rayons situés sur elle.

p,. comme l'ensemble de tous les plans qui l'enveloppent (plans tangents).

Sur quatre propositions correspondantes comme les précédentes, les deux qui se rapportent à la gerbe peuvent toujours se déduire des deux autres qui appartiennent à la géométrie du plan, en projetant le système plan par une gerbe issue d'un point quelconque. En règle générale, à l'avenir nous ne donnerons que les deux premières et nous laisserons au lecteur le soin de chercher lui-même les deux autres.

Dans l'espace où le point et le plan sont réciproques l'un de l'autre, la première et la quatrième proposition (comme a^ et aj, la deuxième et la troisième (comme «, et a.), se présentent comme propositions réciproques.

Dans la suite de nos études , la loi de réciprocité deviendra plus claire et plus familière ; toutefois, après une série de développements sur les formes fondamentales élémentaires, nous pourrons démontrer qu'elle a lieu d'une manière générale dans la géométrie de position, ou bien qu'à chacune de ses propositions il correspond effectivement une proposition réciproque. Jusqu'à ce que nous en soyons arrivés là, nous dhigerons nos leçons de telle manière que les propositions réciproques se trouvent en regard les unes des autres, et nous parviendrons ainsi à prouver que le dualisme en ressort clairement. Mais il est nécessaire à cet effet que nous fassions préalablement connaître encore quelques systèmes réciproques et que nous modifiions notamment quelques-unes des formes géométriques qui ont été transportées de la géométrie métrique dans la géométrie moderne.

Nous voulons parler spécialement ici de la notion de polygone (n-gone). En règle générale, dans la géométrie moderne on désigne sous le nom de n-gone non pas une portion de plan limitée de toutes parts par n droites qui se coupent, mais bien un sijstème formé de n points

d'un plan et des n droites {ou côtés) dont chacune joint deux points {ou sommets) consécutifs. Nous imaginons que les sommets sont rangés suivant un ordre de succession déterminé et nous admettons que trois d'entre eux consécutifs ne se trouvent jamais en ligne droite. Le n-gone simple peut aussi s'appeler n-latère {multilatère) simple ; un n-latère simple est en effet un système plan composé de n droites (côtés) et des n points d'intersection de ces droites prises successivement deux à deux. Le polygone et le multilatère sont deux conceptions réciproques ; aux lignes qui joignent deux sommets non consécutifs (c'està-dire aux diagonales) dans un polygone simple correspondant les points d'intersection de deux côtés non consécutifs dans le multilatère. Dans la géométrie des anciens, où l'on comprend sous le nom de

polygone une portion limitée du plan, on exclut d'une manière générale les polygones à entre-croisements, comme le pentagone ABCDE (fig. 10) ou l'hexagone ABGDEF (fig. 11).

Dans la géométrie moderne, les polygones et multilatères ne donnent plus lieu à une pareille distinction, parce qu'on y suppose les côtés indéfiniment prolongés. Et au contraire, parmi les '•In éléments (sommets et côtés) d'un n-gone ou d'un n-latère simple, on dira que deux éléments sont opposés Vun à ïaulre quand ils seront séparés l'un de l'autre, et dans un sens comme dans l'autre, [)ar la moitié des éléments restants I ainsi d'une manière générale^ le m" et le n-\-m^ des éléments consécutifs seront opposés l'un à l'autre. Par exemple, dans le pentagone ABCDE (fig. 10) les éléments opposés sont un sommet et un côté, comme A et CD, B et DE, G et EA, et ainsi de suite. Dans l'hexagone ou sexlatère ABCDEF (fig. 11), ce sont au contraire les