SURFACES DU TROISIÈME ORDRE

du second ordre, qu'elle n'a que trois points communs avec les rayons de l'un des systèmes réglés de cette surface, lequel passe par a et 6, et qu'elle n'en a qu'un seul commun avec les rayons de l'autre système réglé. Quand deux faisceaux de plans du premier ordre sont rapportés projectivement à un faisceau de plans du second ordre, ils engendrent en général avec ce dernier une courbe gauche du quatrième ordre et de seconde espèce.

En outre de la surface générale du troisième ordre à l'étude de laquelle nous nous sommes bornés ici, il y a encore des surfaces qui ont un, deux, trois ou quatre points doubles; il existe également une surface réglée du troisième ordre. Cette dernière surface F'' est engendrée par trois gerbes collinéaires tellement placées que trois faisceaux homologues quelconques de ces gerbes sont perspectifs à une seule et même forme rectiligne ?/. Elle passe deux fois par la droite u et est encore coupée par tout plan du faisceau suivant une autre droite. Nous avons déjà parlé de cette surface dans l'appendice à la première partie de cet ouvrage.

VINGT-SRPTIKME LEÇON.

Gerbes de surfaces du second ordre.

Trois surfaces du second ordre, qui ne font pas partie d'un même faisceau de F^ déterminent une gerbe de F-, c'est-à-dire, une gerbe de surfaces du second ordre. Toute srnface du second ordre, qui est située dans un même faisceau de F^ avec deux des surfaces données, détermine avec la troisième un nouveau faisceau de F^, dont nous considérons toutes les surfaces comme appartenant à la gerbe de F'. Nous allons montrer que cette gerbe contient tout faisceau de F^ qui réunit deux quelconques de ses surfaces, et qu'elle est complètement déterminée par trois quelconques de ses surfaces ne faisant pas partie d'un même faisceau de F^

Les plans polaires d'un point quelconque P par rapport aux surfaces d'un faisceau de F- se coupent suivant une même droite et cette dernière a un point P' commun avec le plan polaire de P par rapport à une autre surface du second ordre. Les points P et P' sont par conséquent conjugués par rapport à toute surface F" qui est située dans un nouveau faisceau de F' avec la dernière surface et une surface quelconque du faisceau de F^ Donc :

Un point P a pour conjiifiué par rapport à une gerbe de F^ un point P' ; autrement dit, les plans polaires d'un point P par rapport à toutes les surfaces de la gerbe passent par un même point P\

On peut consti-uire ce point conjugué àl\ quand on connaît trois surfaces de la gerbe, non situées dans un même faisceau de F^ Si les trois surfaces ont un point qui leur soit commun, il est conjugué à lui-même et situé sur toutes les surfaces de la gerbe. D'après cela, toutes les

■ r.ERP.ES HE SURFACES DU SECOND ORDRE. 247

surfaces du second ordre, qui passent par sepi points donnés ou pour une cubique gauclie, forment une gerbe de F^ En général les surfaces d'une gerbe de F^ ont au plus huit points communs et chacun d'eux est déterminé sans ambiguïté par les sept autres (II, page 166) ; on leur donne le nombre de points doubles ou points de base de la gerbe de F^ Une cubique gauche est la ligne double d'une gerbe particulière de F*.

Les points d^iine droite u ont en général pour conjugués par rapport à une gerbe de F'^ les points d'une cubique gauche ; les polaires de la droite par rapport aux surfaces de la gerbe sont des cordes de cette courbe gauche.

En effet, si un point P décrit la droite u, ses plans polaires par rapport à trois surfaces quelconques de la gerbe décrivent trois faisceaux de plans projectifs à w et leur point d'intersection P', conjugué àP, décrit une cubique gauche, qui ne se décompose en une conique et une droite que pour une position particulière de u. Les axes des trois faisceaux de plans (II, page 105) sont des cordes de la courbe gauche et ce sont en même temps les polaires de u par rapport aux trois surfaces de la gerbe. Si P et Q sont deux points quelconques de u^ leurs plans polaires par rapport à une surface quelconque de la gerbe se coupent suivant la polaire de u et conséquemment suivant une corde de la courbe gauche ; ils réunissent cette corde aux deux points P' et Q' de la courbe gauche qui sont conjugués cà P et à Q. Gomme le système de cordes d'une cubique gauche est projeté de deux points quelconques de cette courbe suivant des gerbes collinéaires, on voit que :

Les plans polaires de points quelcoucjuesP,Q,R par rapport aux

surfaces individuelles de la gerbe de F'' sont des plans homologues de gerbes collinéaires P\Q\K

Si la collinéation de ces gerbes est établie, par exemple par le moyen de deux faisceaux de F^ contenus dans la gerbe de F^ nous pourrons

construire hnéairement les plans de Q'.IV, qui correspondent à

chaque plan de P'. La surface de la gerbe de F', par rapport cà laquelle un plan quelconque tc, passant ]xar P', est le plan polaire du point P, est donc complètement déterminée, puisr[ne l'on peut construire le plan ])olaire de tout autre point Q par rapport à cette surface ; elle décrit un faisceau de F^ quand le plan ir décrit un faisceau ordinaire de plans. On voit qu'en général

La gerbe de F'- est projective à la gerbe de rayons P' quand on fait correspondre à chacune de ses surfaces le plan polaire de P par rap-

248 GÉOMÉTRIF, DE POSITION.

port à celle sin'fnrr; el effectivement à (ont plan de P' correspond une surface de la gerbe de F' el à tout faisceau de plans du premier ordre de P' un faisceau de F' de la fjrrbe. La (jerbe de F" renferme donc chaque faisceau F' qui rthmit deux quelconques de ses surfaces.

Comme deux faisceaux ordinaires de plans de P' ont toujours un ])lan commun, il s'ensuit de plus que :

Deux faisceaux de F' contenus dans une gerbe de F' ont toujours une surface commune, c'est la surface double réelle ou imaginaire d'un système polaire réel de V espace. Une gerbe de F- est déterminée par trois quelconques de ses surfaces, qui ne sont pas contenues dans un même faisceau de F'.

Les plans polaires du point V ])ai' rappoi't à toutes les surfaces d'une gerbe de F', qui passent pai' W forment un faisceau de plans PP'. Donc :

Par un point arbitraire P, auquel est conjugué un autre point P\ passent une infinité de surfaces de la gerbe de F'; ces surfaces forment un faisceau de F' dont la courbe de base est tangente à PP'enP-

Par un point Q non situé sur la courbe de base, il ne passe qu'une seule surface de ce faisceau de F" ; elle contient la droite Pi*' quand 0 est situé sur PP'. Donc :

Deux points quelconques P,Q peuvent en général être réunis par une seule et unique surface de la gerbe de F\ Par toute droite qui réunit deux points conjugués P, P', il passe une surface de la gerbe.

Si, dans la gerbe de F", on réunit une surface arbitraire Y^ avec chacune des surfaces d'un faisceau de F- qui ne passe pas par F,", on obtient tous les faisceaux de F' contenus dans la gerbe, qui passent par Fj^ La surface F^^ est donc coupée par les autres surfaces de la gerbe non pas suivant une gerbe, mais suivant un faisceau de courbes gauches du quatrième ordre et, pour ce qui concerne les droites situées sur Y^\ on voit que (voir II, page 175)

Les surfaces d'une gerbe de F'' coupent une droite quelconque située surVune d'elles suivant les couples de points d'une ponctuelle involutive; les points doubles de cette ponctuelle sont conjugués par rapport à la gerbe de F^.

Puisque toutes les surfaces de la gerbe qui passent par un point P constituent un faisceau de F^, les droites appartenant à ces surfaces et passant par P doivent être des cordes de la courbe de base de ce faisceau, lîéciproqucment, toute coi'de de cette courbe est située sur une

surface du faisceau (H, page 164) ; et comme la courbe est projetée "de 1* suivant une surface conique du troisième ordre (II, page 250), il s'ensuit que :

Les droites de toutes les surfaces de la gerbe de F^ forment U7i complexe de rayons du troisième ordre; les rayons qui passent partons les points doubles de cette gerbe appartiennent à ce complexe.

Les droites qui réunissent les points doubles sont des rayons doubles de ce même complexe.

Un plan quelconque coupe la gerbe de F' suivant un réseau de coniques dont les couples de rayons sont situés sur les surfaces de la gerbe tangentes au plan. Comme on le sait, les points de contact sont situés sur une courbe du troisième ordre G^, tandis que les couples de rayons enveloppent une courbe de troisième classe (I, pages 246-247).

Les points d'un plan o ont pour conjugués, par rapport à une gerbe de F\ les points d'une surface F'' du troisième ordre. Cette surface F" contient aussi les pôles de (^ par rapport à toutes les surfaces de la gerbe, ainsi que les sommets de toutes les surfaces coniques contenues dans cette gerbe.

En effet, si l'on chei-chepour chaque point de o ses plans polaires par rapport à trois surfaces quelconques de la gerbe, on obtient trois gerbes de rayons réciproques à ç et conséquemment collinéaires entre elles, qui engendrent la surface Y\ Les centres des gerbes sont les pôles de 9 et sont situés sur F^ ; quand les trois surfaces sont des cônes, ces centres coïncident avec les sommets de ces cônes. En ses points d'intersection avec F', le plan 9 est tangent à une infinité de surfaces de la gei"be de F- ; les points de contact sont situés sur une courbe G. du troisième ordre et conjugués deux à deux par rapport à la gerbe. Les points d'une droite de ? ont pour conjugués ceux d'une cubique gauche de F'' ; les courbes gauches du troisième ordre, qui correspondent de cette manière aux droites de cp, constituent le premier système de courbes de la surface F'. Les pôles de 9 par rapport à toutes les surfaces de la gerbe qui appartiennent à une gerbe de F^ sont situés sur une cubique gauche du second système de courbes de F\ Les centres de toutes les surfaces de la gerbe de F^ étant les pôles du plan à l'infini, sont également situés sur une surface du troisième ordre.

Les sommets de toutes les surfaces coniques du second ordre contenues dans une gerbe de F' sont en général situés sur une courbe gauche C' du sixième ordre quon peut appeler la courbe nodale de la gerbe.

250 GROMÉTHIE DE POSITION'.

En effet, les points de deux plans quelconques ç et y ont pour conjuf!;u(''s par rapport à la gerbe de F" les points de deux surfaces F^ et G"' du troisième ordre qui ont en commun tous ces sommets et tous les points conjugués aux points d'intersection de s et v. Ces derniers sont situés sur une courbe gauche du troisième ordre ; oi-, la ligne d'intersection de F^ et G^ est une courbe gauche du neu\'ième ordre (II, page 25 1) et elle se décompose en cette cubique gauche et la courbe gauche C" du sixième ordre, dont il est question dans le théorème. Quand F' et G"' sont tangentes le long d'une ligne, cette dernière courbe se réduit à une courbe d'ordre moindre. Chacun de ses points est conjugué en même temj)s à un point de o et à un autre point de 7 et par conséquent à la droite qui joint ces deux points; il en résulte que :

Tout point K de la courbe nodale C' a pour éléments conjugués, par rapport à la gerbe de F', tous les points d'une droite k; et quand un point K a pour conjuguée une droite h, il est situé sur la courbe nodale.

Si un point P se meut sur cette droite /.-, ses plans polaires par rapport à trois surfaces quelconques de la gerbe décrivent trois faisceaux de plans projectifs dont les axes passent par K. En général, P peut donc se trouver trois fois dans une position telle que ses plans polaires passent par une seule et même droite (I, page 134), c'est-à-dire qu'il y a en général sur /.' trois points de C' et que leurs droites conjuguées passent par K. Nous donnerons à la droite k le nom de corde donble de G" ; nous avons alors ce théorème :

Par rapport à la gerbe de F\ tout point de la courbe nodale O' a pour élément conjugué une corde double de cette courbe. Sur chaque corde double, il y a en général trois points de C", et par chaque point de C^ il passe en général trois cordes doubles de cette courbe gauche.

La courbe C® contient chaque point dont les plans polaires par l'apport à deux surfaces de la gerbe deF^ coïncident ; en effet, si l'on ajoute une troisième surface quelconque du faisceau, on voit immédiatement que le point est conjugué à tous les points d'une droite.

Diaprés cela, le tétraèdre polaire commun à deux quelconques des surfaces de la gerbe de F^ est inscrit à la courbe nodale C.

Comme un faisceau de F^ renferme au |)Ius (jualie surfaces coni([ues (II, page 171), il s'ensuit que

Les plans polaires d'un point quelconque P par rapport à toutes les

surfaces coniques d'une c/erbe (Je F- enveloppent une surface conique de quatrième classe.

C'est là, soit dit en passant, la surface conique générale de quatrième classe.

Parmi les gerbes particulières de F^ celle dont les surfaces se coupent suivant une même droite g présente un intérêt spécial. Étant données trois surfaces quelconques de cette gerbe, chacune d'elles rencontre les deux autres suivant g et suivant deux cubiques gauches, qui ont g pour corde commune et qui ont en général, outre g, au plus quatre points G communs. (II, pages 104-105.) On en conclut que :

La gerbe particulière de F^, dont les surfaces passent par une droite g, a, au plus, en outre de g, qualité points doubles G situés sur toutes ses surfaces.

Gomme en général deux points arbitraires ne peuvent être réunis que par une seule surface de la gerbe de F', et comme, d'autre pai't, par neuf points, dont trois sont situés sur g, on peut en général faire passer une surface du second ordre (contenant la droite g) et une seule, il s'ensuit que :

Toutes les surfaces du second ordre, qui réunissent une droite g avec quatre points quelconques G pris en dehors de g, forment une gerbe particulière de F' ; cette dernière contient quatre couples de plans.

Chacun de ces quatre couples de plans se compose d'un plan réunissant trois des quatre points G et de celui qui passe par g et le quatrième point G. La courbe nodale de cette gerbe particulière se décompose en les quatre droites d'intersection ou droites doubles de ces quatre couples de plans et en la droite g. Tout point de g est le sommet d'une surface conique de la gerbe.

VINGT-IIUITIIÎME LIÎ(;ON.

Réseau de surfaces du second ordre; ses relations projectivec

avec un système de l'espace et la surface de Steiner

du quatrième ordre.

Quatre surfaces du second ordre, non situées dans une gerbe de F^, déterminent un réseau de surfaces du second ordre, ou réseau de F'. Deux surfaces quelconques du second ordre, qui sont situées dans une inrMue gerbe de F" avec trois des surfaces données, déterminent avec la quatrième une nouvelle gerbe de F^ dont nous rattachons toutes les suif aces au réseau de F\ Chacune de ces gerbes de F" passant par la quatrième surface a donc avec la gerbe de F- déterminée par les trois autres surfaces un faisceau de F" comnum, et ce dernier a une surface comnmne (H, page 248) avec tout faisceau de F' situé dans l'une ou l'autre gerbe. La gerbe de F", que la quatrième surface donnée détermine avec deux quelconques des surfaces du réseau de F-, contient aussi par conséquent des surfaces de la gerbe de F- déterminée par les trois autres surfaces données et apparlient par suite au réseau de F". Il découle de là (jue :

Le réseau de F^ contient tous les faisceaux de F-, qui réunissent deux quelconques de ses surfaces et toutes les gobes de F~ déterminées par trois quelconques de ses surfaces; il est donc aussi bien déterminé par quatre quelconques de ses surfaces, non situées dans une même gerbe de F^, que par les quatre premières surfaces prises en commençant. Un faisceau de P et une gerbe de F' appartenant tous deux au réseau ont toujours une surface de ce réseau qui leur est commune.

Quand deux points sont conjugués par rapport aux quatre premières surfaces du second ordre, ils le sont aussi par rapport au réseau de F% c'est-à-dire par rapport à toutes les surfaces de ce réseau (II, page 246). Si en particulier un point est situé sur l'une des quatre premières surfaces et par conséquent est conjugué à lui-même, toutes les surfaces du réseau passent par lui. Par exemple, toutes les surfaces du second ordre passant par six points arbitraires constituent un réseau particulier de F^ Nous excluons de nos considérations le réseau encore plus spécial de F^ par rapport auquel chaque point de Tespace est conjugué à un des autres points ou à lui-même.

Les plans polaires de points quelconques P, Q, li... par rapport aux surfaces individuelles du réseau de F' sont des plans homologues de systèmes collinéaires de Vespace,

en supposant qu'aucun de ces points ne soit conjugué à lui-même ou à un des autres points par rapport au réseau. En effet, si une surface du réseau décrit un faisceau ou une gerbe, les plans polaires de P et Q par rapport à elle décrivent deux faisceaux de plans ou deux gerbes homologues des espaces collinéaires mentionnés dans le théorème (voir II, page 2i7j.

Si, à chaque surface du réseau de F", on rapporte comme élément correspondant le plan polaire de P par rapport à cette surface, il s'ensuit que :

Le réseau de F^ est projectivemenl rapporté à un système Sj de Vespace de telle manière qiC à chacune de ses surfaces correspond un plan de Z^^ et à chacun de ses faisceaux de F^- un faisceau de plans du premier ordre de ^^ projeclif au faisceau de surfaces. A toute courbe gauche du quatrième ordre, suivant laquelle se coupent deux surfaces du réseau, correspond dans Ij une droite qui est r intersection des deux pjlans correspondants ; tout groupe de huit points, suivant lequel se coupent trois surfaces quelconques du réseau et que nous nommerons groupe de points associés, a pour correspondant dans ï^ le point d'intersection des trois plans correspondants.

riécii)roquement, en général, une droite quelconque de ï^ a pour correspondante une courbe gauche du ([uatrième ordi'e du l'éseau de F^ et un point quelconque de :£j un groupe de huit points associés ; toutefois ces huit points d'intersection de trois surfaces de la gerbe et cette courbe gauche ne sont pas toujours réels. Les surfaces du réseau (pii correspondent aux plans de -^ peuvent être séparées en partie par

des systèmes polaires de Tespace iTayaiit ])as de surface double réelle. (Voir II, pages 247-248),

Par un point quelconque passent une infinité de surfaces du réseau, et, entre autres, une de chaque faisceau de F" du réseau ; toutes ces sur-| faces constituent une gerbe de F^ et elles ont pour éléments correspondants dans Fespace-i ^^s plans d'une gerbe. Donc :

A un point pris cVune manière arbitraire dans le réseau de F' et à SCS points associés correspond toujours un seul et nicuie point de V espace 1^. Deux groupes de points associés peuvent être réunis par une courlie ijauche du quatrième ordre, puisque les points de S^ qui leur correspondeitt sont sur une même droite; de même trois groupes de points associés sont toujours contenus sur une même surface du réseau. Trois points quelconques peuvent en général être réunis par une surface unique de ce réseau; elle a pour élément correspondant le plan qui réunit les trois points correspondants de Hj.

Quand un point A parcourt une droite u. ses plans polaii'es par rapport à quatre surfaces (juelconques du réseau de F' décrivent quatre faisceaux projectifs de plans ; le point se trouve donc en général quatre fois au plus dans une position telle (|ue ses quatre [)lans polaires se coupent en un seul et même point A' (II, page 105). Quand un point quelconque a une droite pour élément conjugué par rapport à une gerbe de F' contenue dans le réseau, il a [)our conjugué dans le réseau un point de cette droite. Donc :

Les points cjui sont conjugués deux à deux par rapport au réseau de F^ sont situés sur une surface IC du quatrième ordre. Cette surface contient les courbes nodules de toutes les gerbes de F- contenues dans le réseau. (Il, page 249) et les sommets de toutes les surfaces coniques qui font partie de ce réseau. On la nomme, d'après Jacob Steiner, la surface nodale du réseau.

Gomme un faisceau de F^ contient en général quatre surfaces coniques au plus, les plans polaires d'im point quelconque P par rapport à toutes les surfaces coni(jues du réseau de F- enveloppent une surface de quatrième classe ; autrement dit î

Aux sur faces comcjnes du réseau de F- correspondent dans tespaceZ^ les plans tangents d'une surface <!>' de quatrième classe / cette surface est rapportée sans ambiguïté à la surface nodale K\ puisque chacun des plans tangents de tp" a pour correspondant sur K' le sommet M de la SU) face conique correspondante.

Nous i)uuvons montrer maintenant que *'* touche chacun de ses plans tangent s au point Mj de l'espace Si qui correspond au point M du réseau de F^ et que par conséquent chaque point de la surface nodale K* a pour correspondant, non seulement un plan tangent de $*, mais encore le point de contact de ce plan. En effet, à une droite quelconque g^ du plan tangent correspond sur la surface conique correspondante du réseau une courbe gauche du quatrième ordre ; cette dernière a le point M pour point double et coupe deux fois la surface nodale K' en ce point, si g, passe par M^. Dans ce cas, g^ a ainsi en commun avec la surface de Ij, qui correspond à la surface nodale, deux points qui se réunissent en Mj, et elle lui est tangente en M^ ; en d'autres termes, cette surface de ^^ a les mêmes plans tangents que *I>\ On a ainsi démontré ce théorème :

Les points de la surface nodale K' ont pour correspondants, dans le système 1^ de Vespace^ les points d'une surface •]>' de quatrième classe.

Nous donnerons le nom de rayon principal à toute droite s qui réunit deux points associés du réseau de F'. Aux deux points associés correspond dans l'espace ]Sj un seul et même point P^, à un troisième j)oint quelconque des un point Q^, et la droite Sj de i^^ qui réunit P^et Oj a pour correspondante dans le réseau de F^ une courbe gauche du quatrième ordre, qui a trois points communs avec s et qui par consé- (juent se décompose en s et en une courbe gauche du troisième ordre. Donc :

A tout rayon principal s du réseau de F- est associée une courbe gauche du troisième ordre ^ dont il est une corde; il passe par lui un faisceau de surfaces du réseau et il a pour correspondant dans ïj une droite s,.

Un faisceau quelconque de plans de ^^, dont l'axe n'a aucun point connnun avec s^, a pour correspondant un faisceau de F^ du réseau ; ce dernier sera coupé par s suivant une ponctuelle involutive dont les couples de points correspondent aux points individuels de s^. De là résulte (jue :

Les rayons principaux du réseau de F- sont les lieux de ponctuelles involutives dont les couples de points se composent chacun de deux points associés ; ils sont justement coupés par les surface?, du réseau suivant ces couples de points. Les deux points doubles, associés à eux-mêmes, d'une pareille ponctuelle involutive sont conjugués par

256 GÉOMÉTRIE DE rosITION.

rapport an réseau de F^ et conséqiiemnicnl sont sitiie's sur la surface nodalc K'\ Toutes les surfaces du réseau, (ini passent par un point associé à lui-même^ sont tawjentes en ce point au raifon principal s qui réunit ce point à son point conjugué.

Dans le cas paiticulier que nous étudierons ])lus tard, dans lequel toutes les surfaces du réseau ont un point commun, les rayons principaux qui passent par ce point forment une exception au théorème. De la démonstration précédente, il résulte encore que :

Toute droite s, à laquelle correspond, une droite Sj dans ï^, est un 7myon principal du réseau de F'.

Aux plans de ïj qui passent par Sj correspondent les surfaces du réseau de F" passant par s qui se coupent suivant le rayon principal s et les courbes gauches du troisième ordre qui lui sont associées. Comme s est une corde de ces courbes gauches, pai'uii les surfaces il y a en général deux surfaces coniques ; elles ont pour éléments cori'espoudants deux plans tangents de la surface <^t>\ (pii passent par s^ et dont les deux points de contact sont situés sur s^, puiscju'ils correspondent aux sommets des surfaces coniques situés s (II, page 254). Donc :

A tout raijon principal s du réseau de F^ correspond dans ï^ une tangente double de la surface (!>' de quatinème classe.

Ce théorème admet une réciproque, si Ton définit les tangentes de tl>' comme droites d'intersection de plans infiniment voisins, tangents à la surface.

Huit points associés du réseau de F' peuvent être réunis deux à deux par 28 rayons principaux ; il leur correspond 28 tangentes doubles de la surface (P' qui passent par un même point. Par un point Mj, situé sur tj»', il passe au plus 22 tangentes doubles de cette surface, parce que deux des huit points associés correspondants coïncident en un point M associé à lui-même; six de ces 22 tangentes doubles sont situées dans le plan tangent à la surface <!>'* en M^ et doivent être considérées comme six couples de tangentes doubles infiniment voisines.

Les tangentes doubles de la surface <P'' forment donc un système de rayons du 28" ordre (12'" classe) et, diaprés la dénomination de Kummer, <!)'' est la surface focale de ce système., c est-à-dire le lieu de tous les points et de tous les plans pour lesquels deu.r rayons du système coïncident.

Par un point quelconque du réseau de F- il passe au plus sept rayons principaux, parce que ce point a au [)lus sept points associés.

Toula droite I du réseau de F" qui ne joint pas de points associés a pour correspondante dans Ij une conique \^ projective à 1.

En ellel, par trois points Aj, Bj, C/ie:^], dont les correspondants A, B,G sont situés sur /, faisons passer un plan ; il a pour correspondant une surface du réseau ])assant par / et à cette droite / correspond une certaine ligne ).j située dans ce plan. Considérons à présent deux faisceaux de plans, dont les axes sont menés d'une manière quelconque par A, et B^ et l'apportons-les l'un à l'autre de manière que deux de leurs plans homologues se coupent en un troisième point C, de 1^ ; ils seront projectifs. parce que les gerbes de F' du réseau qui leur correspondent sont ainsi rapportées perspectivement à la ponctuelle / (II, page 178). Donc Aj est une conlf{ue projective à /. Elle ne peut jamais se décomposer en deux droites (II, i)age 250).

La conique 1^ de Ij, qiii correspo)id à une droite 1, est en général tangente à la surface *1>'' en qnatre points M^, qui correspondent aux points M communs à la surface nodule K' et à la droite 1.

En effet, si par l'un de ces points M on mène une surface quelconque du réseau de F-, elle coupe la droite / en M et en un autre point N et elle a pour correspondant dans ^^ un plan qui a deux points M^ et N^ communs avec la conique X^ ; mais si cette surface est une surface conique ayant son sommet en M, M et N se confondent et le plan langent à <l'\ qui lui correspond, est par conséciuent tangent à la conique Xjen son point de contact Mj. — D'une manière analogue, une ligne quelconque 7. contenue dans le réseau de F" et coupant la surface nodale en n points a pour correspondante dans 1^ une ligne v.y tangente à la surface <I>'' aux n points correspondants; il faut compter v.^ deux fois, trois fois, etc., (juand les points de la ligne ■/. sont associés deux à deux, trois à trois, etc. ; ainsi, par exemple,''à chaque rayon principal s du réseau de F' correspond une ligne double s^.

Quand une surface de la gerbe de V' se décompose en deux plans, la droite d'intersection ou ligne double de ce couple de plans est située sur la surface nodale K\ Car chaque point de cette ligne double est le sommet M d'une surface conique de la gerbe, qui se décompose en deux plans. En vertu d'une remarque faite précédemment (II, pages 254-255), on voit de suite que :

A tout couple de jjlans du réseau de ¥' c trrespond dans -^ un plan tangent singulier de la surface *%• ce plan est langent à *I*' en

GÉuMÉTlUli DE POSITIO.N- - 1!. 17

258 GÉOMÉTHIE DE POSITION.

tons les points de la conique ([ui correspond à la li(pie double du couple de plans.

]\ous allons maintenant nous occuper de la sinface du quatrième ordre et de troisième classe découverte par Steiner, et qui est intimement liée à la relation pi'ojective qui existe entre le réseau de F' et le système de l'espace I^. Quand un point se meut d'une manière contiime dans le réseau de F' et décrit une courbe ou une surface quelcon([ue, le })oint (jui lui correspond dans -^ se meut d'une manière continue et décrit la courbe ou la surface correspondante de :^j.

Un plan quelconque o arhilrairenienl choisi dans le réseau de F' a pour correspondant dans D^ une surface de Steiner F/' du quatrième ordre, qui contient un nombre doublement infini de coniques; elle est rapportée d'une manière uniforme, sans ambiguïté, au plan o de telle sorte qu'à tout point de 9 correspond, un seul point de F^' et que, réciproquement, à un point quelconque de F^ correspond en général un point de 9 et rien quun.

La surface Fj' a au plus quatre points comuiuns avec une droite quelconque de -j, })arce que la courbe gauche du quatrième ordre qui correspond à la droite a au plus quatre points communs avec le plan 9. A une droite quelconque / de 9 correspond au contraire une conique A^ située sur F^'.

Aux surfaces du réseau de F- tangentes au plan ç correspondent dans \ les plans tangents de la surface F/\ Or, par une droite quelconque, il passe en général au plus trois plans tangents de F^*, parce qu'un faisceau quelconque de F^ renferme au plus trois surfaces tangentes au plan 9 (II, page 165). Donc :

La surface de Steiner Fi' du quatrième ordre est de la troisième classe.

Soit / une di'oite quelconque de 9 et a^ la conique qui lui correspond sur \^\\ le plan de X^ a encore en général une deuxième conique 1\ commune avec ¥^ ; car il a poui- corres})ondant dans le réseau de F^ une surface réglée du second ordre, qui a en commun avec le plan 9 la droite / et par conséquent encore une autre droite /' et qui est tangente à ce plan au point //'. Donc :

La surface de Steiner F^'' est tangente aux plans , dans lesquels ses coniques sont situées deux à deux, en un point commun aux couples de coniques.

Comme en général toutes ces coniques Xp \\ touchent la surface <l>' en quatre points chacune (11, page 257), on voit que :

La surface de Sleiner F/ est tangente à la surface de quatrième classe <!>' le long d'une courbe gauche {du huitième ordre) qui correspond à la ligne d' hitersection du plan 9 et de la surface uodale K' du réseau.

Au ])oint Bj de contact de F/' avec le plan des coniques a^ et a'^ correspond dans 9 le point d'intersection des droites / et /'; tout autre point Uj commun aux coniques Aj et \\ a pour correspondants deux points différents U et U' des droites / et /'. Ces deux points U, U' sont des points associés du réseau de F' et le rayon principal qui les joint a pour correspondant dans 2^ une droite, par les points de laquelle la surface F^' passe deux fois. Les coniques Ai et a'i ont, en outre de Bj, au plus trois points communs; donc :

Le plan arbitraire o contient au plus trois raijons principaux du réseau de F" et au moins un : le système de rayons formé par les rayo)is principaux est par conséquent delà troisième classe et du septième ordre.

Si 9 renferme trois rayons principaux, leurs points d'intei'section sont trois points associés ; car à chacun de ces points d'intersection 0 sont associés deux points sur les deux rayons principaux qui passent par lui ; la droite qui les joint est aussi un rayon principal et doit coïncider avec le troisième rayon principal du plan.

La surface de Sfeiner F^* contient donc au moins une et au plus trois droites doubles : ces droites se coupent en un point triple Oi de la surface.

Aux sections planes de la surface de Steiner F^'' correspondent dans le plan 9 des coniques qui ont deux points associés comnmns avec les rayons principaux situés dans 9; car ces coniques sont situées sur les surfaces du réseau de F' qui correspondent aux plans des sections (U, page 255). Les droites /, /' de 9, qui correspondent à deux coniques Àj, a\ situées dans un plan tangent à F^\ ont aussi deux points associés A, A' connnuns avec tout rayon principal contenu dans le plan 9 et si / pivote autour de A, /' doit pivoter autour de A'. Deux quelconques de ces droites /' sont rapportées projectivement l'une à l'autre par le faisceau de rayons A ; les coniques correspondantes a'j de F/*, qui passent par un point double A^, seront donc rapportées projectivement entre elles par les coniques ai et par leurs plans. Il suit de là que :

Les plans tangents de la surface de ISteitier, qui cou/jent une de ses droites doubles en un même point A, forment un faisceau de plans du second ordre.

Ce faisceau est projectif au faisceau de rayons A aussi bien (ju'au faisceau A'. Les deux faisceaux décrits par / et /' sont donc aussi projectifs; ils engendrent une conique dont les points correspondent aux points de contact de ces plans tangents sur F^*.

Quand un point A est associé à lui-même, A' coïncide avec lui ; les faisceaux projectifs des rayons A et A' sont concentriques dans ce cas, et ils ont en général deux rayons correspondants communs. Le plan o est tangent à une surface conique du réseau de F- suivant chacun de ces deux rayons; par conséquent, ¥^ est tangente à un plan tangent de la surface t|>''' aux points de la conique correspondante. Par suite, comme les rayons principaux situés dans o contiennent toujours deux points associés à eux-mêmes, on voit que :

La surface de Steiner Fi* a en général quatre plans tangents singuliers, qui la touchent chacun suivant les points d'une conique.

Ces [quatre plans tangents singuliers sont imaginaires , f|uand les points associés à eux-mêmes d'un rayon piincipal quelconque situé dans f sont imaginaires. Si le plan ç contient trois rayons principaux réels et si leurs points associés à eux-mêmes sont tous les six réels, ces derniers forment, comme on le voit aisément, les sommets d'un ({uadrilatère complet suivant les côtés duquel 9 est touché par quatre surfaces coniques du réseau de F".

Tout plan mené par une droite double u^ est tangent à la surface de Steiner en un point de u^ et la coupe en même temps suivant i<, et suivant une courbe du second ordre, qui passe par le point triple 0^. A ce plan correspond, en effet, une surface du réseau de F' qui passe par le rayon j)rincipal correspondant u et ((ui par conséquent est tangente au plan 9 en un point de u, puisqu'elle conjje ce dernier plan suivant u el suivant une autre droite.

Si l'on ])rojette la surface de Steiner de son point tiiple (), ])ar une gerbe, chaque rayon de cette gerbe a pour correspondant le point de 9 dont le rayon projette le correspondant. A toute droite / de 9 correspond tlaiis la gerbe 0^ luie surface conique du second ordre projective à / qui passe par les droites doubles de F/'; à tout faisceau de rayons de 0^ correspond dans 9 une conique qui ])asse par le point 0 d'intersection des rayons principaux situés dans 9. On peut en conclure que :

La surface de Sfeiner est projetée de son point triple par une gerbe qui est rapportée quadratiquement au plan o.

La jirojectivité établie précédemment entre le réseau de F^ et le système de Tespace S^ conduit encore à d'autres surfaces tlu quatrième ordre. Ainsi à toute surface du second ordre L^^ prise dans v^ correspond une surface du quatiième ordre L' dans le réseau de F^ ; car L' a avec une droite autant de points communs que L^^ en a avec la conique correspondante de S^, c'est-à-dire au plus quatre, si la droite n'est pas située tout entière sur \}. Un plan tangent à L/^ en un point a pour élément correspondant une surface du réseau tangente à L' aux points associés correspondants. La surface Lj' peut être engendrée par deux gerbes réciproques ; de même L* peut aussi être engendrée d'une infinité de manières par deux gerbes réciproques de surfaces du réseau, de telle manière que chaque surface de l'une des gerbes soit coupée au plus en huit points de la surface L' par la courbe gauche du quatrième ordre qui lui correspond dans l'autre gerbe. Si L\ est une surface réglée, engendrée par conséquent par deux faisceaux projectifs de jilans, L' peut aussi être engendrée d'une infinité de manières par deux faisceaux projectifs deF^ Si, en particulier, L\ est une surface conique du second ordre, il correspond en général à son sommet huit points doubles coniques sur la surface L'.

Deux faisceaux projectifs de ¥' engendrent en général une surface L' du quatrième ordre, qui contient deux systèmes de courbes gaucher du quatrième ordre. Deux courbes gauches quelconques de Vun ou de Vautre système sont toujours les courbes de base de deux faisceaux projectifs de F"', qui engendrent la surface L'.

La démonstration découle immédiatement de ce qui précède, si l'on a égard à ce que deux faisceaux de F^ peuvent toujours être réunis par un réseau de F^ (lomme L' est coupée par un plan quelconque suivant une courbe du quatiième ordre, on voit en passant que :

J)^'ux faisceaux projectifs de coniques, situés dans un même plan, engendrent en général une courbe du quatrième ordre; cette même courbe petit aussi être engendrée d'une infinité de manières par des faisceaux firojeclifs de conicjues.