VINGT-NEUVIEME LEÇON

Cas particulier du réseau de surfaces du second ordre.

Nous allons étudier à présent le cas particulier où toutes les surfaces du réseau de F' ont un point \ commun ou bien encore celui où elles ont plusieurs points communs. Le point comnmn A fait partie de chaque groupe de points associés ; il est associé à tout autre point du réseau et correspond à tout point du système Sj.

Toute droite s passant par /V est un rayon principal du réseau de F^; elle a pour correspondante dans Sj une droite s^ projective à s.

En eftet, si l'on réunit par une droite s^ deux points de S^ correspondants à deux points quelconques de s, la droite s^ a pour correspondante dans le réseau de F' une courbe gauche du quatrième ordre, qui a trois points communs avec s et qui par conséquent se décompose en .s et en une courbe gauche du troisième ordre ; si Ton considère s^ comme une section d'un faisceau de plans de Xj, .s sera le lieu d'une ponctuelle perspective au faisceau coirespondant de F" et par conséffuent projective à .s^.

Il existe d'après cela sur .s^ un point Aj auquel ne coi'respond que le seul point A sur .s; ce dernier point correspond doublement au premier, de sorte que tout plan de 1^ passant par A^ a pour élément correspondant une surface du réseau de F^ tangente en A au rayon principal s. Deux rayons quelconques .s-, menés par A, n'ont pour éléments correspondants deux droites Sj qui se coupent, c|ue s'ils sont situés sur une même surface du réseau. Les j)oints A^ de ces droites sont donc en

CAS PARTICULIERS Di; RÉSEAU DE SURFACES DU DEUXIÈME ORDRE. 263

général différents les uns des autres. A tout plan de I^ passant par deux des points A^, correspond une surface du réseau qui est tangente aux deux rayons principaux s correspondants, et par conséquent à leur plan, au point A; le plan a^, qui réunit trois points A^ quelconques, doit donc avoir pour élément correspondant une surface du second ordre, ayant en A trois plans tangents différents, c'est-à-dire une surface conique réelle ou imaginaire, ayant son sommet en A. Il suit de là que :

Toîis les points A^ de v^, auxquels coïTespond doublement le point A commun au 7\'seau de F', sont sitiiés dans un même plan a^ ; à ce plan correspond dans le réseau de F^ une surface conique du second ordre ayant son centre en A.

Un plan quelconque de Z^ contient en général, et au plus, deux des droites Sj qui correspondent aux rayons principaux s du réseau passant par A ; car ce plan a pour élément correspondant une surface du réseau sur laquelle, en général, il y a au plus deux de ces rayons s^. Si à chaque rayon s passant par A nous rapportons le point de aj qui est situé sur la droite correspondante s^ de ï^, à toute droite de aj correspond un plan de A; c'est le plan tangent commun aux surfaces du second ordre qui correspondent aux plans passant par la droite. On en conclut que :

J.es tangentes doubles de la surface de quatrième classe (i>\ qui correspondent aux rayons principaux du réseau de F" issus de A, forment un système de rayons de deuxième classe, dont <i)* est la surface focale; ce système est coupé par le plan a^ suivant un système plan collinéaire à la gerbe A. Le système de rayons de deuxième classe est de tordre (8-n), quand les surfaces du réseau ont encore n-l points communs, en outre de A.

Pour prouver la dernière partie du théorème, remarquons qu'un point quelconque Pj de ï^ a généralement pour correspondants huit points associés, dont 71 sont situés sur toutes les surfaces du réseau; les rayons du système de rayons, qui passent par P^, correspondent seulement aux rayons issus de A, qui passent par les (8-n) autres points. La surface conique du réseau de F', qui a son sommet en A, a pour correspondante dans le plan a^, collinéaire à la gerbe A, une conique qui lui est projective, et ses rayons ont pour correspondants dans l'espace Sj des rayons du plan a^. Ce dernier est donc un plan sinqulier du système de rayons de deuxième classe ; les rayons du système qui

264 GÉnMÉTl;IF DE POSITION.

y soin coutciiiis ronnoni en .L;rii(''ial un faisceau de rayons du sixiènio ordre, c'est-à-dire qu'une droile (|uelcoiique de ^^ rencontre au plus six d'entre eux, tandis que la courl)e gauche correspondante du (juatriènie ordre a six points communs avec la surface conique A, en outre de son sommet. Un rayon quelconque, issu de A, coupe la surface nodale K' en A et en les deux points qui lui sont communs avec la courbe gauche du troisième ordre qui lui est associée ; mais l'un de ces deux points coïncide avec A, quand le layon, et par suite la courbe gauche qui lui est associée, est situé sui' la surface conique A du réseau. Par suite :

Le point A est un point con'uiue de la surface nodale K' et son cône de tangentes est une sm-face du réseau de F". D'autre part, le plan a^ est un plan de contact singulier de la surface de quatrième classe <\>' ; il est tangent à cette surface en tous les points de la conique qui correspond sur a^ à ce cône de tangentes.

Tandis qu'un point quelconcpie de la surface nodale K' n'a pour correspondant qu'un seul point de <i)\ tous les points de cette conique ont pour point correspondant le point anguleux A de K'\

A un plan quelconque 9 niené par le point A correspond dans le système I.^ de l'espace une surface réglée F^' du troisième ordre; elle est représentée d'une manière uniforme sur le plan s et., jointe au plan a,, elle peut être considérée comme une surface de Steiner du cjua- Iriènie ordre.

En eftet, la surface F^"" a au plus trois points communs avec une droite quelconque de ï^, parce que la courbe gauche du quatrième ordre qui lui correspond dans le réseau de F' a au plus avec 9 trois points communs différents de A. Si 9 est décrit par un rayon principal s qui tourne, le rayon correspondant s^ décrit la surface F/', puisqu'il glisse le long dune droite u^ du plan a^ : la ponctuelle u^ est projective au faisceau de rayons décrit par s. A une droite quelconque / de 9 correspond sur Fj^ une conicjue Xj projective à / (11, page 257), dont le plan passe par une des génératrices s^ de F/' ; en ellet, ce plan a pour correspondant dans le réseau de Y' une surface du second ordre, qui a en commun avec 9 la droite / et par conséquent aussi une autre droite s passant par A. Le plan de Àj est tangent à la surface F/' en l'un des points d'intersection de .Sj et \, aucpiel correspond le point si; l'autre point d'intersection de s^ et a^ a pour correspondants deux points associt« situés sur n et / et la (huile v (\\n les réunit a pour correspondante