CAS PARTICULIERS DU RÉSEAU DE SURFACES DU DEUXIÈME ORDRE

une droite double i\ de la surface F/'. Comme le faisceau de rayons A situé dans 9 est coupé par les autres droites / du plan ç suivant des ponctuelles projectives, il en résulte que :

Les coniques 1^ de la surface réglée F^" sont rapportées projecfivement entre elles et à la ponctuelle u^ par le moyen de la (jénératînce s^ ; la surface peut donc être engendrée par la forme rectilïgne Uj et par une conique qui lui est projective.

Nous avons déjà indiqué précédemment (I, pages 215 et suivantes) ce mode de génération de cette surface du troisième ordre. Aussi nous bornerons-nous à faire ici quelques remarques. Les plans du faisceau u^ accouplent involutivement les génératrices de F/' et les points de toutes les coniques situées sur cette surface de telle sorte que deux générati'ices ou deux points conjugués sont dans un même plan avec u^ et que les deux génératrices se coupent en un point de la droite double v^. En même temps, les rayons du faisceau A, situé dans ç, sont accouplés involutivement de telle manière que les rayons conjugués deux à deux passent par deux points associés de v. Si la ponctuelle involutive v a deux points doubles M et N, les droites AM et AN ont pour correspondantes deux génératrices singulières de ¥'\ et les points M et N deux points de rehroussement ou points cuspidaux.

La surface F/' est tangente à un plan de la surface <l)'' en tous les points d'une de ces génératrices singulières; au contraire, les plans tangents aux points d'une autre génératrice quelconque s^ forment un faisceau de plans .Sj, qui est projectif à la ponctuelle formée par les points de contact. Toute section plane de F/' est représentée sur le plan ç par une conique, qui passe par A et qui coupe le rayon jirincipal V en deux points associés.

Comme en général la surface (!>' est tangente aux génératrices s^ de la surface F/' en deux points et aux coniques X, de cette même surface en quatre points (II, page 256), il s'ensuit que :

La surface F^ est tangente à la surface de quatrième classe «p' le long d'une courbe gauche {du sixième ordre) qui correspond à la courbe d'intersection du plan z> et de la surface nodale JC du réseau de F'.

Si toutes les surfaces du réseau de F- passent par deux points A et B, et si l'on appelle c la droite qui joint ces deux points, à tous les points de cette droite c coirespond un seul et même point C^ de l'es- ])ace Sj. Car si (îj correspond à un point quelconque de c différent de A et B, toutes les surfaces du réseau de F' qui correspondent aux plans

de ^i menés par C,, ])asseiit i)ar la droite c. Ces surfaces forment une gerbe particulière de F" (voir II, page 251). En général, en outre de c, elles ont au plus quatre points C communs, qui sont associés entre eux et cà tous les points de c et ((ui correspondent au point 0^ de ^^. Les quatre couples de plans, que Ton peut mener par c et par les quatre points C, font partie de cette gerbe particulière de F' et par conséquent aussi du réseau de F- ; ils ont pour correspondants dans 2^ quatre plans tangents singuliers L\ de la surface <!>' qui passent par C^ (II. pages 257-258). Les points A et B sont des points coniques de la surface nodale K' et les centres de deux cônes du réseau, qui passent par c et auxquels correspondent dans l^ deux plans tangents singuliers a, et fij de t]»' qui passent par (\. La surface nodale K' passe par c, parce que chaque point de r est le sommet d'une surface conique de la gerbe (II, page 251) ; à toutes ces surfaces coniques correspondent dans i;^ des plans tangents à la surface fl*' au point (\. Ce point est donc un point double de (I>\

Gomme deux droites quelconques du réseau de F- menées par A ou R sont rapportées projectivement aux droites f[iti leur correspondent dans l^, on déduit très facilement de là que :

A un plan quelcomjue 9, mené par la droite AB on c, correspond en général dans Z^ une surface réglée F ^ du second ordre, qui est rapportée à ç d'wie manière uniforme. Les deux systèmes réglés de F^ correspondent aux faisceaux de rayons A et B de 'f et leur sont projectifs ; à la droite c correspondent deux droites de Ff', passant par Cj et sitiœes dans a^ et (3^, et une droite quelconque de ç a pour correspondante sur Fj^ une conique qui passe par 6\.

Les rayons du faisceau A coupent en effet deux droites quelconques du faisceau B suivant des ponctuelles projectives; les ponctuelles correspondantes de \ engendrent le système réglé de F^^ qui correspond au faisceau A. La surface F^-, considérée avec les plans a^ et 3i, peut être regardée comme une surface de Steiner du quatrième ordre; elle est tangente à la surface <I>'' le long d'une courbe gauche qui correspond à l'intersection de 9 avec la surface nodale K\

Le plan 9^, tangent à la surface Fj- au point C-i, a ])our élément correspondant une surface du réseau, qui n'a qu'une seule droite c commune avec 9, et qui est par consérjuent une sinface conique tangente k 9. Quand 9 décrit le faisceau de plans c, 9^ décrit un faisceau de plans du second ordre projectif à c ; car deux plans quelconques des