CAS PARTICULIERS DU RESEAU DE SURFACES DU DEUXIÈME ORDRE

gerbes A et B sont coupés par le faisceau de plans c suivant deux faisceaux de rayons perspectifs et, comme A est rapporté col linéairement à aj et B à Pi (II, pages 2(î2-265), ces faisceaux ont pour correspondants dans aj et [Sjdeux ponctuelles projectives dont les couples de points homologues sont situés sur les plans de ce faisceau du second ordre. Ce dernier faisceau contient en particulier les plans tangents singuliers a, et (5i et les quatre plans A'i, qui correspondent aux couples de plans du réseau passant par c. De ce que l'on vient de dire et d'une remarque antérieure, il découle que :

Le pohit Cl de 2i, qui correi^pond à la droite AB ou c, est un point conique de la surface <l>*; en ce point, la surface a»' est tangente aux plans d'un faisceau de plans du second ordre, qui contient aussi les plans tangents singuliers «j, ^i et les quatre plans ki delà surface.

Nous allons maintenant supposer que toutes les surfaces du réseau de F" soient circonscrites à un triangle, dans lequel les côtés a, h, c soient respectivement opposés aux sommets A, B, G. A ces côtés correspondent dans Z^ trois points A^, Bj, C^ et le plan Aj qui réunit ces trois derniers points a pour correspondant dans le réseau F^ une surface qui passe par a, h, cet qui par conséquent se décompose dans le plan ^. du triangle ABC et en un autre plan. A tout point du plan A correspond un point du plan A^ et réciproquement ; une droite quelconque / de A a pour correspondante dans A^ une conique Aj qui lui est projective et qui passe par A^, B^ et C^. Béciproqueinent, une droite g^ de A^ a pour correspondante une conique de A, qui passe par A, B, G et qui se décompose en BG et en une droite ^passant par A, quand g^ passe elle-même par A^. Les faisceaux de rayons A de A et Ai de \ sont rapportés projectivement l'un à l'autre ; ils sont les projections des ponctuelles projectives / et Aj, qui se correspondent dans A et A^. D'une manière générale, on voit que :

Les deux systèmes plans de points A et Ai sont en correspondance cjuadratique ; A, /?, C sont les trois points principaux de A et tIj, B^, C^ les points principaux correspondants de Ai.

Il y a encore d'autres cas particuliers (') du réseau de F- ; nous en

1. Pour ce qui regarde les cas particuliers laissés de côté, voir le niémoirc de M. Reye <' Sur lex systèmes de 7viijons de seconde classe et la surface du qualrièmn ordre de Kummer » Journal de Crelle, t. LXXXVI.

laissons une partie décote et nous traitons les autres dans l'appendice; nous allons maintenant nous occuper du cas tout particulièrement intéressant où toutes les surfaces du réseau passent ])ar six points quelconques.

TIIIÎNTIÈME LIÎCON.

Le système de rayons de second ordre et de seconde classe

et la surface de Kummer,

du quatrième ordre à seize points doubles'.

Nous allons nous servir des résultats trouvés dans les deux dernières leçons pour étudier maintenant la gerbe particulière de F' dont les surfaces sont circonscrites à un hexagone gauche 1 '25456 ou hiklmn.

Comme trois points quelcoiK{ues déterminent en général une surface du réseau et que, d'autre part, par neuf points quelconques il ne passe généralement qu'une seule surface du second ordre, il s'ensuit que :

Toute surfate du second ordre passant par les six sonunets i fait partie du réseau de F\

La surface nodale k' renferme les sommets de tous les cônes du second ordre passant par les six sommets de l'hexagone; d'où il résulte que :

La surface nodale K' passe par les quinze côtés ik de l hexagone et parles dix lignes doubles de ses dix couples de plans opposés hik, Imn ; elle passe en outre par la courbe gauche k'" du troisième ordre que Von peut circonscrire à l'hexagone.

Imaginons encore que le réseau de F" soit rapporté au système de l'espace II, comme on l'a indiqué précédemment (II, page 255). Le point (0) de ïj, qui correspond à un point quelconque de la courbe gauche/.",

1. Kiminier, >iur /es sijslînnes ahjébrijues de raijons (Mémoires de rAcadéiiiic de Berlin, classe de matliéuiatiqucs. 186G).

doit alors concspondre à tous les points de k'\ parce que à loul plan o^ de ^^ mené par (0) correspond une surface du réseau qui passe par sept points et conséquemment par tous les points de A-"'. A tout rayon de ç>, mené par 0 correspond, en outre de A:", une corde de A:'" située sur la surface précédente. Donc :

Les points de la cubique (jauche k' sont des points associés du réseau de F' et con^espondent tous à uit seul et nié me point (0) de Vesjiace 11. Le système de cordes de k^ est rapporté projeclivement à la gerbe {()) et de telle manière <jue les gerbes coUinéaires par lesquelles on projette des points de k'' sont réciproques à la gerbe (0).

Aux tangentes de //' coi-respondent par conséquent dans la gerbe (0) les rayons d'une surface conique du second ordre; et les surfaces coniques de la gerbe, qui passent par A\ ont pour éléments correspondants les plans tangents de la surface conique (0), parce que ces surfaces ne contiennent chacune qu'une seule tangente de A"'. Il est clair aussi que les tangentes et les points de A'' sont rapportés projectivement aux rayons et aux plans tangents de la surface conique (0).

Chaque corde de A'' est un rayon principal du réseau de F^ et elle est associée à la courbe gauche A'" (II, page 255) ; ses deux points associés à eux-mêmes, qui sont situés sur la surface nodale K*, sont conjugués par rapport à toutes les surfaces du réseau et conséquemment aussi par rapport à A\ Par suite, la surface nodale K* sera coupée en quatre points harmoniques par chacune des cordes de A'', et osculée par les tangentes de cette courbe gauche, en sorte que A^ est une courbe inflexionnelle ou courbe de tangentes principales de K'. D'après cela, le point (0) est un point nodal de la surface $* de quatrième classe et son cône de tangentes est la surface conique du second ordre (0) mentionnée plus haut. Cette surface (!>' a en outre quinze autres points nodaux {ik) qui correspondent aux quinze côtés ik de l'hexagone (II, page 207).

Toutes les tangentes doubles de la surface <!»*, qui correspondent aux rayons issus du sonnnet I de l'hexagone, forment un système de rayons I de seconde classe et du second ordre (II, page 265). Ce système contient les génératrices d'un nombre doublement infini de surfaces réglées du troisième ordre et peut être décrit de cinq manières par un système réglé ordinaire, auquel correspond un faisceau de rayons de la gerbe 1 (II, page 207). Sa surface focale ** est une surface de Kummer de quatrième classe à 1 G points doubles (0) et (ik) ;