LA SURFACE DE KUMMER DU QUATRIÈME ORDRE

elle est rapportée cFune manière uniforme à la surface nodale K* et elle est aussi la surface focale de cinq autres systèmes de rayons II, III, IV, V, YI, de même espèce, qui correspondent aux gerbes 2, 5, 4, 5, 6.

Ces six systèmes de rayons de deuxième ordre et de deuxième classe ont seize plans singuliers communs ; six de ces plans [i) correspondent aux six cônes du réseau par lesquels on peut projeter la courbe gauche /î" des sommets i (=1 , 2, 5, 4, 5, 6) de l'hexagone ; les dix autres correspondent aux dix couples de plans ild^ mnli de Thexagone. Par exemple, le couple de plans 125, 456 a pour correspondant le plan singulier (123) ({u'on peut aussi désigner par (456), (215), (231), etc.

Dans le système de rayons I dr deuxième ordre et de deuxième classe, chacun des 16 j)lnns singuliers contient un faisceau ordinaire de rayons; le rentre dn fdisceau situé dans (1 kl) est (kl) et celui du faisceau contenu da)is (i) est (1 \), pour i >■ 1 , ef (0) pour i = 1 .

En effet, les rayons de la gerbe 1 qui coupent le côté /./ de l'hexagone ont pour correspondants tous les rayons du plan (1/.7) qui passent par 7.7); au côté ii de l'hexagone correspondent (II, page 267) tous les rayons du plan (f) qui passent par (li) et enfin les rayons de la surface conique qui projette la courbe /r' du point 1 ont pour correspondants les rayons du plan (4) qui passent par (0).

La surface de Kummer O* a seize points doubles (0) et (ik) et seize plans singuliers (i) et (ikl), qui sont conjugués les uns aux autres de la manière suivante par le moyen du système de rayons I :

Points doubles. (G) (12) (13) (14) (15) (16) (23) (24) .... (46) (56) Plans singuliers. (1) (2) (5) (4) (5) (6) (125) (124).... (146) (156)

A chaque plan singulier est conjugué le point double par lequel passent tous les rayons du système I situés dans le plan. — Les six plans (1), (2), (3), (4), (5), (6) passent ])ar le point double (0) ; ils forment un angle sexarête, qui est circonscrit à une surface conique du second ordre et qui est rapporté projectivement à l'hexagone 123456 de la courbe gauche /;:'' (II, page 270), en sorte que :

Par chacun des quinze autres points doubles [ik) il passe aussi six des seize plans singuliers ; ces six plans sont également tangents à une

surface conique du second ordrefll. pages 260-207) et peuvent être désignés par (i7. 1 ), (^7t2),(^A■^^), (/A^), ikh), (i/.-(i) : (îA- A) représentant le plan(i) et {iki) le plan (A). Par exemple, par le point double ( 12) passent les six plans 2, i, (125), (124), (125) et (126), parce que les six surfaces du réseau de F" qui leur correspondent passent par le côté 12 de riiexagone.

Chacun des seize plans singuliers contient six des seize points doubles ; par exemple, (i) contient les points doubles (/l), (i2), (i5), (i4), {ib), (i6), le point (0) étant représenté par («j, et les six points doubles (23), (oi), (12), (56), (64). (45) sont situés sur le plan (12r)) = (456j, parce que la surface correspondante du réseau de F^ passe par les sL\ lignes correspondantes.

La conique suivant laquelle la surface <!>' est tangente au plan singulier (125), ou plus généralement [ikl), passe par les six points doubles situés dans le plan ; elle a en effet pour correspondante la ligne double d'un couple de plans du réseau (II, pages 257-258) et cette dernière coupe les six côtés de Ihexagone qui correspondent aux six points doubles.

Les 120 droites qui joignent les \i) jmints donhle^ sont identiques avec /<?s 120 divites d'intersection des H) plans sinqnliers.

En effet, par exemple, (0) et (12) sont tous deux sur (I) et (2) ; (12) et (15) sont situés sur (1) et (125:; de même (12) et (54) sont sur (125) = (546) et (120) = (5 i5).

La gerbe i est rapportée coUinéairenient (H. page 255) au système plan 'i) quand à chaque rayon de i on fait correspondre le point où (i) est coupé par la droite correspondante de IVspace -;. Si donc on rapporte les gerbes 1,2,5,4,5,6 perspectivement au système de cordes de /;'' et par conséquent (II, page 270) réciproquement k la gerbe (0), les plans (1), (2), (5), (4), (5), (0) se trouvent ainsi i-apportés réciproquement à (0; et par suite coUinéairement entre eux. Kt effectivement, chaque rayon du système de rayons I est contenu dans le plan de (0) qui correspond au point d'intersection du rayon a\('c le plan (!\ et chaque l'ayon de (1) qui passe par le point (0) coïncide par conséquent avecle rayon correspondant de la ger])e (0).

Toutes les droites de l'espace 2)^, qui sont contenues chacune dans un plan £i de (0) et ({ui passent en même temps par le point cori-espondant Ej de (1), forment un complexe linéaire de rayons. En effet, celles d'entre elles qui passent par un point arbitraire P., forment un faiscem

J..V SUKFACI^ DE KUMMER DI orAlKlÈME lUiDIU':. 273

(le rayons du premier ordre, parce qu'elles coupent le plan (1) sui' la droite y/ qui cori-espond au rayon (U)l\; c[uand \\ décrit une droite 7j. // décrit un faisceau de rayons projeclii' à 7^, dont un rayon passe par le point qui lui correspond, et le plan Vjj' décrit par conséquent un faisceau de plans du premier ordre perspectif kg^. Tous les rayons du système I de deuxième classe et de deuxième ordre appartiennent au complexe linéaire; par conséquent, dans le système focal, des directrices duquel il se conqiose, chaque rayon du systènie I est conjugué à lui-même et chaque point P^ a pour plan focal le plan 7:^ qui réunit les deux rayons du système qui passent par P^. Un point de la surface focale <I>\ par lequel passent deux rayons coïncidents du système 1, a donc toiijoin's pour conjutïué un ])lan de <I>* dans lequel sont contenus deux rayons du système (jui coïncident (Voir H, pages 256-257). Donc :

Les six systèmes de rayons du deuxième ordre et de seconde classe I, II, III, IV, \, YI, qui rorirspnndent aux six gerbes 1,2, 5, 4, 5, 0, soïtt sifiirs dans si.r complexes linéairey. de rayons, différents les uns des autres, et délerminoit les six systèmes focaux correspondants \ Iai surface /ocaleip' commune aux six systèmes de rayons est conjuguée à elle-même dans chacun de ces systèmes focaux, de telle sorte quà chaque point de <F>' est conjugué un plan qui passe par lui, et que tout point double a pou)' conjugué un. plan singulier. La surface de Kummer <ï>' de quatrième classe est donc aussi du quatrième ordre.

La corrélation entre les seize j'joints doubles et les seize plans singuliers dans le système focal I est évidente d'après le tableau donné plus haut (II, page 271). Dans le z''"" des six systèmes focaux, le plan {ikl) est conjugué au point double [kl), parce que tous les rayons du i^""^ système situés dans {il;l) passent tous par 7.7) (Voir II, pages 270-271). Joignons les six points, qui sont conjugués à un plan tangent de <l>''dans les six systèmes focaux, avec le point de contact du plan, nous obtenons six tangentes doubles de (i>\ situées dans le ])lan ; ce plan, en général, n'est pas conjugué à son point de contact.

Le sexarète (1) (2) (5) (4) (5) (6), qui est projectif à Thexagone 1 2 0 4 5 6 de /c' et circonscrit à une surface conic[ue du second ordre (II, page 272), a pour correspondant ou conjugué dans le f'™ des six

1. C'est M. Félix Klein qui a aUifù ratteiilion (Malhcmatisclw Annalmi . l. 11. patres ty;^> -226) sur ces six systèmes focaux ou (:oin]ile.i:es linéaires fondam(nlriii..i'. t\ow l'on déduil la majeure partie des théorèmes qui suivent ici.

(iÉOMKir.iE m: ^o,sllt^l^. — 11. 1,S

274 GÊOMÉTHII.; DE POSITION.

systèmes locaux l'hexagone fil) (^2) (m) (i4) (/5) (z6). Ce dernier est par consé(|uenl inscrit à une conique de telle manière (jue :

(il) {m {iô) (/i) (ih) {i(j) A k'^ (125456) pour (^7) = (0).

Dans le A;*'"' des six systèmes locaux, cet hexagone est conjugué au sexiatère (iki) {ik'l) {ik'5) {ik4) (ikh) (iA-6) qui par conséquent est également projectif à //'(l 23450). Et comme, en posant par exemple i = 2. A: = 5, ce sexiatère a ])our conjugué dans le premier système polaire l'hexagone (2,") (31) (12) (50) (04) (45), ce dernier doit aussi être projectif à //' (12345G). D'une manière générale, on voit que

Tous les groupes de sir plans singuliers^ qui passent par un même point double, et tous les groupes de six points doubles, gui sont situés dans un même plan singulier, sont projectifs entre eux et à r hexagone 123456 de k''. Les seize points singuliers de la surface de Kummer <J>* sont situés six à six sur seize coniques, le long desquelles <I>* est tangente aux seize plans singuliers.

Comme deux quelconques de ces coniques se coupent en deux points doubles (11, page 272), elles peuvent être réunies par une surface du second ordre avec tout autre point double non situé sur elles; cette surface passe encore par un douzième point double et par quatre des seize coniques. Par exemple, les douze points doubles des quatre coniques (1), (2), (134), (234) sont situés sur une même surface du second ordre ; il en est de même pour ceux des coniques (125), (545), (561) et (246). Oji démontre aisément ce théorème :

Il y a quatre-vingts surfaces du second ordre, qui contiennent chacune douze des seize points doubles et quatre des seize coniques de contact; il existe de même quatre-vingts surfaces de deuxième classe tangentes il douze des seize plans singuliers.

Les deux points, qui sont conjugués à un même })lan dans deux ([uelcon([ues des six systèmes focaux, sont des points homologues de deux espaces collinéaires , ces derniers sont hi\olutifs, parce que les deux points se correspondent entre eux d'une double manière. En effet, par exemple, dans les systèmes focaux I et II, (!/) et (2i) sont conjugués au plan (i) et en mémo temps (2i) et (li) au plan (12i) ; de plus (34) et (50) sont conjugués au plan (134) = (256) et, réciproquement, (56) et (54) sont conjugués au plan (156) := (254).

Les huit couples de poinls (12) (0). (13) (23). (H) (21), (15) (25),