IC

(136) (5(ij

(lïi)

(fô)

(It!)

(OJ

(io)

Par exemple, le plan (136) est conjugué au ])oint double (16) dans le système focal III et au point (24) dans le système V; ces points (16) et (2i) se correspondent au contraire doublement dans le système involutif III V. Ce tableau montre encore quelle est la relation projective de chaque groupe de six points doubles dans deux plans singuliers ; par exemple, dans les plans (I), (125) et (155) on a :

A l'aide de ce tableau on peut aussi i)rouver facilement ce théorème dû à M. H. Weber ' qtie : à l'aide de six points doubles convenable-

1. Journal <le Ciclle, t. LXXXIV, page 349. C'est dans une élude sur les fonctions thcta que M. Weber a été conduit pour lu premfère fois à la notation ci-dessus pour Us points doubles et les jîlans singuliers d'une surface de Kuinnier.

276 GKOMÊTRIE DE POSITION.

ment choisis, comme (Iti), (25 , (oi), (45), (51), (0) ou {'27)), (31), (Iti). (l i), (25), (50), on peut conslniire linéairement tous les plans sinti;uliei-s et les dix autres points doubles.

Trois (|ii('l(T)ii([ues des six sxslrmes locaux, par exemple, I, Il el III déterminent trois systèmes in volutit's II III, III I et i II et de plus un système ])oIaire de l'espace 1 11 111. En elVet, si l'on cherche tous les élénienls conjugués à un élément quelconque de res])ace dans I et 11 111. ou dans II et 111 I, ou dans III et I 11, on obtieut des éléments liomologues de deux espaces réciproques; ces espaces sont eu involutiou et constituent un système j)()laire 1 11 III de resj)ace, ])arce ([ue, dapiès notre tableau, aux somuiets des huit tétraèdres

(12) (34) (55) (56) , (45j {(il) (62) (65),

correspondent les faces qui leui' sont opposées. Or ces tétraèdres sont des tétraèdres polaires non seulement du système polaire I 11 111, mais encore du système IV \ VI ; ce deriiier système est donc identique avec le premier 1 11 111. De même I 11 IV et 111 V VI sont deux systèmes polaires identi({ues; on obtient huit tétraèdres polaires de ce système en pernuitant entre eux les nondjres 5 et 4 dans les expressions données ci-dessus pour les tétraèdres. Les six systèmes focaux, pris trois à trois, déterminent en général dix systèmes polaires dilïérents; dans chacun d'eux la surface de Kumnier <J>'' est conjuguée à elle-même, ses seize points doubles sont les pôles de ses seize plans singuliers et forment ([uali'e à quatre huit tétraèdres polaires.

Par rapport aux trois systèmes focaux 1, Il et 111 les points et les plans de l'espace se groupent en tétraèdi'cs polaires d'un système polaire de l'espace 1 II 111 = IV V \ I ; chaque sommet d'un pareil tétraèdre a pour conjugués dans les systèmes involutifs 11 III, 111 I et 1 II les trois autres sonnnets et dans les trois systèmes focaux les faces du tétraèdre (pii passent par hii; il en est de même pour chaque face du tétraèdre. Les points et les plans se groupent, [)ar rappoil aux li'ois systèmes focaux IV, \ , M ])our foi'uier (Tdnlrcs tétraèdres polaires du même système polaire. Deux tétraèdres, appartenant à ces deux groupements diiï'érents et ayant une face conmiune, ont aussi le sommet