LA SURFACE DE KUMMER DU QUATRIÈME ORDRE

0])j)Osé commun et les six autres sommets conjugués à cette face dans les six systèmes focaux constituent deux triangles polaires d'un système polaire plan contenu dans I 11 III; ils sont donc situés sur une même conique (II, page 74). Par conséf[uent. dans les six systèmes focaux, un plan quelconque a pour conjugués six points d'une conique et un point (|uelcouque six plans passaul par lui et appartenant à un faisceau de plans du second ordre.

lin point quelconque de Tespace constitue, avec les rpiinze poijils (\ui lui sont conjugués dans les quinze systèmes involutifs, un grou])e de seize points, analogue à celui des seize points doubles de la surface de Kumnier. En effet, les seize points de ce groupe sont situés six à six sur seize plans (ou mieux sur seize coniques) qui à leur tour passent six à six par les seize points. D'après ce qui précède, chacun des seize ]K)ints a pour conjugués, dans les six systèmes focaux, les six plans c{ui liassent par lui, et chacun des seize plans les six points qui sont situés stu- lui. Chacun des seize points a ])Our conjugués, dans les dix systèmes polaires, les dix plans (jui ne passent pas par lui, et chacun des seize plans les dix points qui ne sont pas situés sur lui; enfin dans les quinze systèmes involutifs, à chacun des seize points (ou plans) est conjugué le groupe des quinze auti-es. Remarquons en passant que les seize points sont les points doubles d'une surface de Kummer du quatrième ordre, détcruiinée par eux, qui, de même que «I>\ est conjuguée à elle-même dans chacun des six systèmes focaux; avec <[>'■ se trouve déterminé ainsi un nombre triplement infini d'autres surfaces de Kummer.

\a\ surface double du système polaire I II III contient tous les rayons fpii sont conjugués à eux-mêmes dans les trois systèmes focaux I, II et III et pai' suite aussi les trois couples d'axes des systèmes involutifs Il III, III I et I II ; car ces axes sont des directrices du système réglé lorMié par ces rayons. De même, la surface double contient toutes les directrices comnumes des systèmes focaux IV, V et VI. Ces directrices constituent le système dn^ecteur du premier système l'églé; car si elles formaient elles-mêmes le même système réglé, il existerait une infinité de rayons conjugués à eux-mêmes dans les six systèmes focaux et les dix systèmes polaires déterminés par les systèmes focaux devraient a\oir des sinfaces doubles identitpies, tandis qu'elles sont différentes les unes des auties. Les deux axes de II III sont donc conjugués à euxmêmes dans chacun des systèmes focaux IV, V, VI (et I) et coupent les couples d'axes des six systèmes involutifs IV V, IV \l, M I. Les

couples d'axes de trois systèmes involutifs quelconques qui (comme I II, III IV, et V VI) dépendent simultanément des six systèmes focaux, constituent d'après cela les trois couples de côtés opposés d'un même tétraèdre. Du reste, l'un ou chacun des trois systèmes II III, III I et I II a deux axes imaginaires, parce que la surface double du système polaire I II III, quand elle est réelle et réglée, n'est coupée en des points réels ({ue par deux couples d'arêtes de son tétraèdre polaire.

Le réseau de F% par lequel nous avons été conduits à la surface de Kummer ^\ est déterminé par quatre surfaces du second ordre, dont trois quelconques passent par une même cubique gauche A:^ ; cette courbe est coupée par la quatrième aux six points 1,2,3,4,5,6. Suivant que parmi ces points d'intersection il n'y en aura pas de réels, ou bien qu'il y en aura deux, quatre ou six, les six systèmes de rayons de second ordre et de deuxième classe relatifs à la surface de Kummer ne seront pas réels, ou bien il y en aura respectivement deux, quatre ou six de réels. De ces quatre cas, entre lesquels se produisent un certain nombre de cas transitoires et de dégénérescences géométriquement évidents, c'est le dernier qui a servi de base aux recherches de cette leçon.

APPENDICE

PROBLEMES ET THEOREMES,

COLLIiN i: ATION ET 15 E G I P P. 0 G I T E.

1. On donne deux quadrilatères qui se correspondent dans deux systèmes plans collinéaires ou réciproques, (jonstniire dans l'un des systèmes le point (ou le rayon) qui correspond à un point de Paul re et de même déterminer le rayon du premier qui correspond à un rayon ou à un point du second (II, pages 0 et (S).

2. Deux systèmes collinéaires sont dans un même plan et ])erspec-tifs (II, |>age 20). On donne le centre et l'axe de coUinéation et deux points ou deux rayons correspondants. Construire la courbe de l'un des systèmes qui correspond à une courbe de l'autre et de plus chercher l'axe opposé du premier système qui correspond à la droite à l'infini dans le second.

5. Si deux systèmes collinéaires plans ont une ponctuelle h correspondante commune et si l'un d'eii\ tourne autour de la droite u, le point où se coupent les droites joignant les points homologues des systèmes décrit un cercle, dont le centre est situé dans l'autre système et correspond à un point à l'infini du premier système mobile, et dont le plan est pei-pendiculaire k u.

4. Quand un objet est recouvert d'un fluide translucide, par exemple d'eau, il apparaît, à cause de la réfraction de la lumière, dilTérent de ce qu'il est dans l'air libre. Comme toute droite continue à paraître droite sous le fluide, que des parallèles paraissent toujours parallèles, l'objet semble s'être changé en un autre objet coUinéaire ou, plus exactement, en affinité avec lui (II, page 03). De même, les objets situés hors de l'eau apparaissent à un poisson comme s'ils étaient transformés

280 r.roMÉTRiE df. rnsiTiox.

pai" affiiiitt''; niiisi iiiic splirrc |);ii;iît un l'Ilipsoïdi!, un do nn ])nrnll(''li|)i- ])è(le oblique.

f). Si deux systèmes récipi'oriues plans !1 et ^^ sont Ifllement. placés f(irimefoinievectiligne n de 2 soit perspective au faisceau correspondant de ili, cette même forme ?/, considérée comme faisant partie de^li, est aussi perspective au faisceau correspondant de 1. Si donc les deux systèmes ne sont pas dans un même plan, tout plan, qui joint un point de l'un avec la droite correspondante de l'autre, passe par le centi'e de l'un de ces deux faisceaux de rayons perspectifs à u et par conséquent les deux systèmes engendrent deux geibes.

6. Lorsque deux systèmes réciproques ^ et Z^ sont situés dans un même plan et de telle manière qu'une forme rectiligne quelconque ?/ de Z soit perspective au faisceau correspondant de rayons Uj de 1^, il existe encore en général une seconde forme rectiligne v de 2 qui est perspective au faisceau correspondant \\ de Z^. Si maintenant nous considérons ces mêmes formes rectilignes ?/ et v comme faisant partie du second système S^, elles ont respectivement pour formes correspondantes dans le premier système 2 les faisceaux de rayons V^ et U^ et u est perspective à V^ et y à U^. Le point iiv est situé sur la droite UjVj et lui correspond d'une double manière. Cette situation particulière de deux systèmes réciproques peut être mise à profit pour construire d'une manière simple dans l'un des systèmes la forme réciproque à une forme quelconque de l'autre, par exemple, à une courbe. Dans des cas particuliers, les droites u et v peuvent se confondre de même que les points iJi et Vj ; à chaque point de u correspond alors doublement un rayon de Uj.

7. Le plus grand nombre de points d'inllexion que puisse posséder une courbe plane d'ordre n est égal au plus grand nombre de points de rebroussenient d'une courbe plane de classe n.

8. Énoncer et résoudre pour les systèmes collinéaires ou réciproques de l'espace les problèmes analogues aux problèmes 1 et 2 (II, pages 24 et 30).

9. Si deux espaces collinéaires Z et Zj ne sont pas alliés, le plan à l'infini dans l'un a toujours pour correspondant un plan propre de l'autre système (ce qu'on appelle le plan opposé). Deux systèmes plans homologues de i: et Si ne sont alors alliés (II, page h'2) que si leurs plans sont l'espectivement parallèles aux plans opposés ; de même une ponctuelle u de 2 n'a pour correspondante une ponctuelle projective semblable w, d(! 1^ que si ?/ est parallèle au plan oj^posé de 2 et n^ à

SURFACES DU SECOND OllDl'.E ; SYSTÈMES POLAIRES. 281

relui (le i;^. Aux droites perpendiculaires au plau opposé de i: correspondent dans Sj les i-ayons d'une gerbe dont le centre est sur le plan 0])posé de 2j. Les deux systèmes de l'espace ne renferment donc que deux droites correspondantes n et n^ dont chacune soil perpendiculaire au plan opposé de son propre système.

Un cylindre de révolution de 2;, ayant la droite n pour axe, a pour correspondant dans :ij un cône du second ordre, rpii a Wj pour axe principal et qui engendre une courbe d'intersection avec le cylin(b'e si les droites n et n^sont placées Tune sur l'autre. Toute ponctuelle Vi de ^l^, dont le lieu contient un point de cette courbe et qui coupe normalement l'axe n^, a pour correspondante dans };: une ponctuelle v projective égale; il en est de même pour toute ponctuelle dont le lieu est parallèle à Vi et qui est à la même distance que i\ du plan opposé du système 1^. On reconnaît par là que deux systèmes plans alliés ne contiennent pas toujours de ponctuelles homologues projectives égales et que par conséquent ils ne peuvent pas toujours être amenés en situation perspective.

10. Deux gerbes sont rapportées réciproquement l'une à l'autre ; déterminer les points communs cà la surface du second degré, qu'elles engendrent, et à mie droite ou à un plan donné. Ce problème est du second degré ; il en est de même du suivant :

11. Chercher si deux gerbes réciproques données engendrent un ellipsoïde, un paraboloïde, un hy])erboloïde ou une surface conique du second ordre.

12. Une droite g et un point Gi se meuvent sinmltanément dans deux plans fixes de telle manière ffu'ils soient toujours vus sous un angle droit d'un point donné S situé en dehors de ces plans, et par conséquent que S^ soit perpendiculaire à SG^. Le plan r/Gj enveloppe alors une surface du second ordre (II, pages 33 et 45).

13. Une gerbe S et un système plan sont rai)portés réciproquement l'un à l'autre ; par chaque droite de 2 on mène un plan parallèle au rayon correspondant de S et par chaque point de 2 un ])lan parallèle au plan correspondant de S; Ions ces plans enveloppent un paraboloïde f[ui est aussi tano;ent à 1.

i i. Une gerbe S et un système plan ï sont rappoi'tés collinéairement entre eux ; par chaque point ou chaque rayon de ï on mène un plan perpendiculaire à la droite ou au ])lan correspondant de S ; tous ces plans enveloppent (comme dans IT)) un paraboloïde qui est aussi tangent à ï.

15. Deux gerbes collinéaires renferment en général une infinité de couples de plans homologues qui se coupent normalement; ces plans foniienl (\eMx faisceaux de plans du second oidre. En effet, si du centre S de Tune, on abaisse des perpendiculaires sur les plans de l'autre, S devient le centre de deux gerbes réciproques ; et tous les plans de S, passant par les normales qui leur correspondent, constituent Tun de ces faisceaux de plans du second ordre (II, page 71).

16. Un hexagone gauche ABCDEF détermine im système polaire de l'espace dans lequel chaque sommet de Thexagone a pour correspondant la face qui lui est opposée. En elfet, si l'on rapporte deux espaces 1 et 21^ réciproquement l'un à l'autre de telle sorte qu'aux points A,B,(1, D.E de :S correspondent respectivement les plans CDE, DEF, EFV, FAB, ABC de Z^, aux points A,E et F de Sj correspondent respectivement les plans (IDE, ABC et BCD de 2: el les droites AB et DE se correspondeni l'une à l'autre d'une double manière. Les plans ABC, ABE, CDE et DEA foiinent })ar conséquent un tétraèdre dans le([uel chaque face correspond doublement au sommet opposé et les deux systèmes réciproques :i: etSj sont en involution.

17. Déterminer les points de contact de toutes les tangentes que l'on peut mener d'un point quelconque à une surface donnée du second oi-(he (II. page 42).

18. Par une droite quelconque mener des plans tangents à une surface donnée du second ordre.

19. On donne une conique sur une surface du second ordre; délerminer le point d'intersection des plans tangents à la surface aux points de cette conique.

20. Les normales d'une surface du second ordre, qui lui sont perpendiculaires sui\ant les points d'une courbe du second ordre, sont parallèles aux rayons d'une surface conique du second ordre. Quelle exception subit le théorème, quand le plan de la courbe pied des noj-males est im ])lan diamétral de la surfac(! du second ordre?

21. Etant domiés une surface F'" du second ordi"e et un point fixe quelconque U, on peut rapporter deux à deux l'un à l'autre les points de

l'espace qui sont conjugués par rapport à la surface F^ et situés sur une même droite avecU. Tous les points d'un plan quelconque ç qui ne passe pas par U ont alors pour correspondants les points d'une surface F^^ du second ordre. Cette surface F^^ contient le point U et le pôle du plan 9 et elle n'a en commun avec la surface F^ que les points de celle-ci qui sont contenus dans le plan 9 ou le plan polaire de l'. (Voir I, page 105.) Si le plan ç passe à l'infini, on voit que :

22. Les points milieux de toutes les cordes que l'on peut mener d'un ])oint quelconque U à une surface F^ du second ordre, sont situés sur une surface F^^ du second ordre. Cette seconde surface passe par U et le centre de la surface F^ et elle a en commun avec F^ tous ses points à l'infini ainsi que les points de contact de toutes les tangentes que l'on peut mener de U cà F'. La surface F^' contient aussi les centres de toutes les courbes du second ordre suivant lesquelles des ])lans passant par U coupent la surface F^

23. Comment s'énonce le théorème réciproque de celui du n" 21 ?

24. Couper une surface du second ordre par un ])lan de manière que la conique qui en résulte ait pour centre un point donné.

25. Les plans de toutes les coniques situées sur une surface donnée du second ordre, et dont les centres sont sur une droite donnée, enveloppent un cylindre parabolique. Quelles exceptions ce théorènie peiitil présenter ?

26. Le volume d'un tétraèdi-e dont deux couples de côtés opposés sont situés sur un paraboloïde hyperbolique est divisé en deux solides équivalents par cette surface. En eflet, tout plan parallèle à deux des côtés opposés coupe le tétraèdre suivant un parallélogranuiie dont une diagonale est située sur le paraboloïde.

27. Les sommets de tous les cônes circonsciits à un ellipsoïde, qui déterminent avec leui' plan de contact un solide de volume doimé, sont situés sur un ellipsoïde semblable, (Concentrique et semblablement placé. La démonstration de ce théorèiue, comme celle du précédent, s'obtient immédiatement en alliant l'ellipsoïde à une sphère.

2(S . Le plus petit ellipsoïde qu'on puisse circonscrii-e à un t et raèdre est tangent, suivant les sommets de ce dernier, à quatre plans parallèles aux faces opposées du tétraèdre.

29. Deux systèmes plans réciproques Z et Z^ peuvent en généi-al être amenés en situation involutive de quatre manières différentes.

Désignons par C et G^ les centres de 2. et 2, qui correspondent aux

264 GÉOMKTHIK J)H POSITION.

(li'oilos à l'infini (Ifs deux systèmes ; ces points en f2;énéral no sont pas ;ï riiilini. An l'aisccau de rayons C (1(> ï cories|)()nd la ponctuelle àriiilini de Z^ et si nous la projetons dv(\, nous obtenons un faisceau de rayons projectif à (-. Soient niainlenant «./; les denx rayons normaux entre eux du faisceau C, aux(|uels correspondent dans (Ij deux rayons «i, 61, normaux entre eux (I, page 19S) ; on peut amener les systèmes l'éciprof|ues en situation involutive en plaçant sinndtanément a sui" b^ et h ^wvd^Aiw elVet, dans cette sitnalion. aux (•ôl<''s du triangle impropre deï formé par a.h et la dioilc à Tinlini correspondent les sommets qui Jeui' sont opposés. (Voir il, j)age 7'i.j Si les deux centres C, (lisent à l'infini, le problème n'a généralement pas de solution.

ÔO. Placer en siliialion invohilire deux (jcrbcs n'ciproipies S.S^ dont les soniinc'fs ne sont pas à r infini.

Nous avons à chercher dans les gerbes réciproques deux Irièdres homologues, par exemple, deux trièdres ti'irectangles, que l'on i)uiss(! superposer de telle sorte que chaque arête de l'un soit opposée à la face (pii lui cori'espond dans l'autre. A cet eftet, à chaque rayon de la gei'be S faisons correspondre le plan qui lui est normal, de manière que S devienne une gerbe polaire rectangulaire. En même temps, à chaque plan de Sj correspondra par là même un rayon, de telle sortequeS^ deviendra aussi une gerbe polaire; et deux rayons ou deux ])lans conjugués de S, auront l'espectivement pour corres])ondaiits deux plans ou deux rayons rectangulaires de S. La gerbe polaire S^ a en général trois axes piincipaux a^J}i,c^ perpendiculaii'es entre eux ; conmie ils sont conjugués deux à denx, ils ont pour cori'espondants dans la gei'be S trois plans a. [â, 7 normaux entre evrx. Si maintenani ou place les deux gerbes Tune siu' l'autre, de telle manièi'efpiea^ coïncide avec '^y et b^ avec ^a, c.efjui est possible de ffuatre manières, on obti(Mit l'involution demandée. Ainsi le problème comporte en général ([uatre solulions ; il n'en a une infinité ({ue si la. gerbe S^ a une iidinlté d'axes principaux.

7)1. Placer deux systèmes réciproques de l'espace, - et 2,. en situation involutive. Soient (1 et (Ij les centres de - et I)^ c'est-cà-dire les points qui correspondent aux plans à l'infini des deux systèmes. Si ces centres sont eux-mêmes à 1 infini, le prol)lènu' n'a en général aucune solution. Supposons que C et C^ soient desj)oints propres ; aux plans et aux rayons issus de C correspondent les points et les droites à l'inlini de Si, et si on les projette deC,, les gerbes Cet (]^ sont rappoi-récs récipro([uenicnl l'une à l'autre. Si inniMlenanl on amène ces gerbes en

sitiKilion iiivohilive, les espaces i-éc,i|)rof{nes eu\-in(^mes seront ])lacés en sitnalion involutive. (le [H'oblèine, comme le i)récé(lenl, a donc en général (jnatre solutions.

.""J. Sur une surface <lonitcc du second ordre construire une co)ii- <jue de (elle manière qu'elle ail pour foijer un point S arbitrairement choisi.

Pour (jue le problème admette une solution, il faut que S ne soit pas sur la surface. Dans le système polaii'e plan dont la courbe double est la conique cherchée, les rayons conjugués de la gerbe S doivent être rectangulaires deux à deux. Dans la gerbe polaire S, dont les éléjuents conjugués deux à deux sont conjugués par rapport à la surface construisons les plans cycliques (I, page 192) ; ils ont chacini en conumm avec la surface une conique réeUe ou imaginaire, dont S est le foyer. Ce problème a donc en général deux solutions.

Si la surface donnée du second ordre est un cône, nous pouvons résoudre le problème connue il suit. .Joignons le point S avec le sommet du cône par une droite u ; les plans du faisceau u sont alors conjugués deux à deux par rap})ort à la surface. Le plan s de la conique cherchée doit j)asser par S et couper le faisceau invoiutif de plans // suivant un faisceau rectangulaire de l'ayons. II n'existera pas de pareil plan, ou il y en aura deux, suivant (pie le faisceau de plans u aui'a ou n'aui'a pas de plans doubles et par consé([uent suivant que S sera à l'extérieur ou à l'intérieur du cône. Dans le dernier cas, les deux plans e sont faciles à construire si l'on remarque qu'ils doivent être perpendiculaii'es à l'un des deux plans conjugués rectangulaires du faisceau //. Ils sont symétriques par rap]:)ort à la droite u et coïncident quand le faisceau (le plans u est rectangulaire.

55. Une surface du second ordre, à centre, est coupée suivant des cercles par deux faisceaux de plans parallèles. En effet, ces plans de sections circulaires sont parallèles aux deux plans diamétraux cycli- (pies de la surface, dans les(iuels les diamètres conjugués sont peri)en- (liculaires deuxà deux. On peut aussi démontrer un théorème semblable pour le paraboloïde ellipti([ue. Les surfaces de révolution du second oixli'e n'ont qu'un seul système de cercles, dont les plans sont perpendiculaires à l'axe de révolution.

5i. Mettre en perspective deux gerbes collinéaires S, IS^. Deux gerbes perspectives ont un faisceau de plans correspondant conmiun ; d'après cela, nous chercherons dans les g(.'rbes données S,Sj deux fais-

cuaux de plans hoiiiulogues (jui soient projectivement égaux. A cet elTet, (connue au n° 50) à chaque rayon faisons correspondre dans la gerbe S le plan qui lui est normal, de manière que S devienne une gerbe polaire rectangulaire et en même temps S, une gerbe polaire ; puis, dans la gerbe Sj, déterminons les deux axes focaux u^,v^. Deux plans du faisceau Ml (ou v^) perpendiculaires entre eux. sont alors conjugués dans la gerbe polaire S^ et ils ont par conséquent pour correspondants deux plans conjugués (c'est-à-dire perpendiculaires entre eux) de la gerbe rectangulaire S. Soient donc a,;i,Y,o quatre plans harmoniques de u et su|)posons que a soit normal à y de même que 3 à 8; ils ont pour correspondants dans la gerbe S^ quatre plans a^, ,3^, 7^,0^ du faisceau «j en sorte que a^ est normal à 71 et [^^ à c^. Les faisceaux homologues de plans i( {ct^\'o) et u^ {(t^ ^^ ';^z^) sout par conséquent projectifs égaux et |)eu\ent être placés l'un sur l'autre de telle manière ([ue les rpiatre j)lans a, ^, Y, 2 coïncident avec leurs correspondants «,, ^1, 7,, S^. Or. dans cette situation, les gerbes collinéaires S et Sj sont [)erspecti\es et sont les projections d'un seul et même système plan. Le problème a (juatre solutions, chacun des deux axes focaux w^, i\ en donnant deux.

55. Si le sommet S <Vune (jerhe polaire est situé sur une surface Fdu second ordre, le plan qui réunit trois points A,B,C de F^ , projetée de S suivant trois rayons conjugués de la (jerbe polaire^ passe par un point /ixe\ Pour un rayon donné SA, on peut construire une infinité de couples de rayons SB et SC qui soient non seulement conjugués à SA dans la gerbe polaire, mais encore conjugués entre eux. Ces couples de rayons sont situés dans le plan polaire de S\ et forment un faisceau involutif de rayons ; ils coupent la surface F^ suivant deux points conjugués B,C d'une conique involutive; par conséquent la droite BC ({ui réunit ces points passe ]iar un seul cl nirmc point A^, et le ])lan ABC par une droite AAj. Laissons fixe lun SB des rayons conjugués à SA et changeons mahitenant la ])osition des points A et C; le plan ABC tourne autour d'une droite BB^ (pie l'on peut trouver comme on vient de le faire pour AAj ; cette droite BB^ est située comme AA^ dans le plan AliC clioisi |)iimitivement et ])ai' conséquent coupe AAj. Je dis que chacune de ces droites AAj et \^\^^ est aussi rencontrée par le rayon /

1. La démonstration suivante de ce lliéorénie de Sloincr ;i été donnée par M. Sctiroter {Journal de Crdlle, l. LXIV. page 70).

de la gerbe S, dont le plan polaire est taiigenl à la surface F^ au point S. Car si, pai' exemple, nous laissons A fixe et si nous prenons le point B dans le j)lan kl^ SC se trouve lui-inènie dans le plan tangent et le point G coïncide avec S ; le plan ABC dans lequel se trouve aussi AA^ se confond donc avec A^, c'est-à-dire que AA^ et t. sont contenus dans un même plan. Soient maintenant A et A' deux ])oints absolument arbitraires de la surface F- et soit SB le rayon de la gerbe polaire S, qui a le plan S AA' pour plan polaire ; soit de plus A'A'^ la di'oite issue du point A' analogue à AAj et BB^. AA^ et A'A\ doivent couper chacune des droites BB^ et t ; et comme ces dernières sont situées dans un plan qui, en général, ne passe parles points A et A' arbitrairement choisis, il faut que AAj et A'A'^ aient jiour point commun le point d'intersection de BB^ et de t. Le plan ABC passe donc toujours par un point déterminé, situé sur / et ([ui ne change pas de ])osition, (juanil on remplace le point A [)i-imitivemenf choisi par un aiiti'e ])oint \' de la surface du second ordi'e. Connnent s'énonce la pro^xjsition réciproque ?

56. Soit S un point quelconque d'une surface du second ordre, le point qui réunit trois points de F^ projetés de S suivant un trièdre trirectangle, passe par un point fixe. Ce point est situé sur la normale menée en S à la surface F^ (théorème 55).

57. Les points, où trois plans tangents d'un paraboloïde se coupent rectangulairement, sont situés dans un même plan (ce théorème se déduit de la réciproque du n" 55).

58. On donne deux surfaces du second ordre F"^ et F^- qui sont ou toutes les deux réglées ou toutes les deux non réglées et qui ne sont pas des cônes. On demande de les rap])orter collinéairement l'une à l'autre de manière que trois points quelco]K[ues A,B,C de F^ aient pour correspondants trois points Aj,Bj,Cj arbitrairement choisis sur Fj\ Nous supposons que ni A,B,C ni A^,Bj,Ci ne sont sur une même droite. Pour résoudre le problème, nous devons rapporter les plans ABC et \jBjCj collinéairement l'un à l'autre de manière que les deux courbes du second ordre suivant lesquelles ils coupent F^ et ¥^ se correspondent l'une à l'autre et qu'en même temps Aj,Bj,Gj correspondent à A,B,C (II, page li). De plus, nous pouvons et devons faire correspondre deux points J),E de F- dont les plans tangents se coupent suivant une droite quelconque du plan ABC aux deux points Dj,Ei de F^" dont les plans tangents passent par la droite correspondante du plan A^B^C^. Si nous

288 (iL;uMi':Ti!iH de position.

r;i|)|)Oiloiis (k'u\ espaces S et I, collinéaireineiil ruii à l'aiilre, de uiaiijère qu'aux points A,I),C.D,K de I coiTes])ondeiit les points \,,r)i. (Ij.D^.E, de 1,, les surfaces F^ et l'\^ sont des surfaces homologues de ces espaces; car à la surface V~ coirespoud une surface qui a eu conimun avec F^- non seulement la coui([ue de \\' qui passe par A,,l)j,(lj mais encore toutes celles de F^- (pii ])assent par 1)^ et E^. Connue ou peut échanger 1)^ et ]\ entre eux, le problème a deux solutions. Ltie même surface du second ordre peut être rapj)()rtée collinéairemeut à elle-même d'une infinité de manières.

COUltBKS GAUCHES DU TROISIEME ORDRE ET CGRRESPOADAXCE GÉOMÉTRIQUE DU SECOND DEGRÉ.

7)9. Un quadrilatère gauche \ariable sèment de telle manière que ses quatre cotés (iji^.a^ji. pivotent respectivement autour des points fixes 8,8^,83,8. tandis que trois de ses sommets a(l^,(l^a^,a^a. se déplacent sur les plans fixes £,,£,,£.. Le quatrième sommet aa. décrit alors nue courKe gauche du troisième ordi'e passant par 8 et 8. (II, page 99); les trois premiers sommets décrivent tiois coniques et ces quatz-e courbes passent par le point d'intersection des trois plans Zj^.z^.z.. 11 n'y a d'exceptions à ce théorème (jue f[uand les quatre points S, 8^,8,, 8. sont situés dans un même plan, ou (juand les trois plans ^^^t^,^. se coupent suivant une même droite. Comment s'énonce le théorème analogue pour un polygone à ii sommets, variable dans l'espace?

40. Trois faisceaux de plans v^u^.u^ sont rapportés entre eux de telle manière que tout plan de u est perpendiculaire aux deux plans correspondants de u^ et u^. Les points d'intersection des plans homologues des faisceaux trois à trois sont situés sur une courbe gauche du troisième ordre, dont les axes u,u^^u^ sont trois cordes (II, page 105). Quelle est l'exception qui se produit quand l'axe n fait un angle droit a\ec la direction de Taxe v^ (ou ?/,)?

41. 11 \ a au plus trois points d'où ti'ois droites (pielcoufjues u^u^^^iÀ^ soient |)rojetées sui\ant trois plans perpendiculaires entre eux.

42. Une forme i-ectiligne u et un faisceau de plans u^ sont rapportés projectivement entre eux. mais leurs lieux ne sont pas perpentlicnlaires. Si de chafjue point de u Oii abaisse une perpendiculaire sur

COURBES GAlCriES Dt TLOISIKME DliDIiE. 289

le plan coirespondant clew^. les pieds de toutes ces perpendirulaires sont situés sur une courbe gauclie du troisième ordre, dont les di'oites Il et Mj sont des cordes (II, pages 105-104). On peut aussi trouver facilement pour cette courbe une cordt' impropre, slhiée à Tinfini ; la courbe est donc une ellipse gauche.

4'). Si les deux côtés d'un angle variable glissent le long de deux di'oites fixes, mais ne se rencont.ranl pas, et si en même tem|)s

son plan tourne auloui- d'ime | droite fixe, son sommet décrit une coui'be du troisième ordre doni les cin([ droites données sont des cordes (11. pages 102-1 07)).

son sonnuet parcourt une flroilc fixe, son plan déci'it un faisceau de plans du troisième ordre, dont les cinq droites doimées sont des axes.

La cin([uième droite ne doit rencontrer aucune des trois premières ei celles-ci ne doivent pas être situées sur un même système réglé.

44. Construire, au moyen de gerbes collinéaires . une couibe gauche du troisième ordre dont on doime :

I " Deux points et quatre cordes ;

'2'' Trois points et trois cordes ;

7}° Cinq points et une corde.

io. En considérant une courbe gauche du troisième ordre comme rintersection de deux surfaces coniques du second ordre, la construire connaissant :

r Six points.

T Cinq points et la tangente en l'un d'eux,

7)° Quatre points et les tangentes à deux d'entre eux,

i'' Trois points et leurs tangentes.

;)' Trois points et les tangentes et les plans osculateurs à deux d'entre eux.

46. En considérant une courbe gauche du ti'oisième ordre comme engendrée par trois faisceaux jîrojectifs de plans du |)remier ordre, la construire connaissant :

1° Trois points et trois cordes,

'2° Trois points, la tangente et le plan osculateur à l'un d'eux et deux cordes.

47. Pour des positions particulières des éléments donnés, les trois dei'uiers problèmes (4i à 40) donnent lieu à des exceptions ou

OKOMPTRir I>K POSITION. II. !U

tle\ien lient indéterminés. Par exemple, si l'on donne deux points et quatre cordes d'une courbe gauclie du troisième ordre, la courbe dégénère, quand l'une des quatre cordes rencontre les trois autres ou coupe la droite qui joint les deux ])oints. La constniclioii de la courbe est impossible ou indéterminée, quand par les deux ])oints donnés on ])eut mener une droite qui coupe les trois cordés. Indiquer les cas d'exce])tion des problèmes depuis i4 jusqu'à 46.

48. l"j]oiicer et résoudre pour le faisceau de plans du troisième ordre les réciproques des problèmes de 44 à 4(i.

49. Une courbe gauche du troisième ordre est projetée de tout point P qui lui est extérieur suivant une surface conique du troisième ordre qui a pour l'ai/ou double propre ou impropre la corde qui passe par V. Les tangentes de cette courbe gauche forment une surface du quatrième ordre (II, page l'27); par conséquent cette surface conique est de quatrième classe. Tout plan osculateur de la courbe passant par F est un plan tangent stationnaire de la surface conicjue du troisième ordre. 11 en existe au moins un et au plus trois; dans ce dernier cas, les trois rayons d'inflexion de la surface sont contenus dans un même plan (II, pages 112, 11.5). Si le point P est situé sur une tangente à la courbe gauche du troisième ordre, la sm'face a un rayon de rebronsnenienl suivant cette tangente.

50. Deux triangles inscrits à une courbe gauche /.•' du troisième ordre sont projetés d'un point (pielconcpie de /.'' suivant deux trièdres, inscrits à une même sui'face coni(|ue du second ordre et par consérpient (I, pages 151, 152) circonscrits k une auti-e surface conique du second ordre. Il suit de là que : Une cubique gauche et un tétraèdre (jui lui est inscrit sont coupés ])ar un plan quelconque suivain un triangle et un quadrilatère circonscrits à une courbe du second ordre.

51. Si un heptagone simple 1254507 est inscrit à une cubif(U(' gauche, ses côtés coupent les faces qui leur sont opposées suivant les sommets d'un autre heptagone sinq)le qui est en même temj)s circonscrit et inscrit au premier. Par exem])le. les cotés 25,5i,i5 coupent respectivement les faces 507,()71,712 en trois points situés dans un même plan avec 7. On le icconnait innnédiatement. (piand on projette de 7 l'hexagone 125450 suivant un angle sexarète (de Pascal).

52. L'axe principal du système focal détei'miné par une courbe gauche du troisième ordre peut être appelé Vaxe principal de celle courbe yaiichc. Si i"on inq)iiuie à la courbe gauche une translation sui-

COI'RBES GAI CIIES Dr TlidlSlKME oHDIlE. 291

vant la direction de cet axe principal ou une rotation autour de lui, le système focal qu'elle détermine ne change pas. La perpendiculaire abaissée d'un point quelconque V de la courbe gauche sur Taxe principal est contenue flans le plan osculateur de P. Soit a hi dislancc de l'axe principal à une tangente quelconque de la courbe gauche et a l'angle qu'il fait avec cette tangente; le produit a tang a est constant.

j5. Deux cubiques gauches //' et /.j", qui ont cinq })oints communs, peux eut tonjoujs être réunies par une surface réglée du second ordre. Kn effet, si de denx points de /./' on mène deux cordes à //' et si l'on réunit ces dei'nièies à A'" par une surface du second ordre, cette dernière passe aussi par I.\\ puisf[u'elle a sept points communs avec elle (IJ, page 166). Si la surface est une surface l'églée, l'un de ses systèmes réglés se cojnpose de cordes de li' et l'autre de cordes de /./'.

54. A un pentagone gauche on peut circonscrire un nombre doublement infini de courbes gauches du troisième ordre. Par un point choisi arbitrairement, il passe une de ces courbes et une droite quel- <'onque de l'espace est une corde de l'une de ces courbes gauches, in plan ï. ne iJdssfin/ jxir (lucun des somniefs du penUKjone, coupe toutes ees cubiques (jauclies suivtnit des triangles polaires d'un système polaire plan. En effet, toute droite a de :i est une corde de Tune Ir de ces courbes gauches et peut être conjuguée ou rapportée au point \ de 1 suivant lequel h'' est coupée ])ar 1 en dehors de a\ et tout point U de :il est situé sur lime de ces courbes /./' et peut être rapporté à la corde h de k^ . contenue dans ï et ne passant pas par B. Si donc a pi\ote autour de 15. A doit décrire la droite 6, comme Ténonce le théorème; alors /,■■■ et /.y' peuvent être réunies pai' une siuface l'églée {\\\ second oixh'e (n" o.") rpii passe par a et b et f|ni contient aussi le point A. Si A est situé sur l'un des côtés du pentagone, //' se décompose en ce côté et en une conique contenue dans la face ojjposée de ce poKgone. On déduit de là cette propriété de huit points d'ime coiu'be gauche du tjoisième oi'dre :

55. Une cubique gauche et les dix couples (réléments opposés (cotés et faces) d'un pentagone gauche qui lui est insci'it, sont coupés par un plan ([uelconque, ne passant par aucun des sommets de ce dernier, suivant un triangle polaire et dix couples d'éléments conjugués dun système polaire plan (11, page 7*.)).

56. Nous arriverons à une autre propriété de huit points d'une cubique gauche au moyen du théorème suj" les huit points d'intersec-

292 i^.ÉOMFÎTIÎIE DE POSITION.

lion (le trois surfaces du second oi'dre (II, pajj;e 106). Quand six de ces poiiils sont pris à volonté sur luie cubique gauche A'', le septième déterininc coniplètenient le huitième; ces deux derniers sont sur une même corde .V (le A", (lonuiu^ s peut (''ti'e réuni à A'' par un faisceau de F^, .s- sera coupée par une surface quelconque du second ordre, menée par les six points, suivant un couple de points qui constitue avec les six premiers les huit points d'intei'section de trois surfaces du second ordre. Mais tous ces couples (l(> points appartiennent à la ponctuelle involutive suivant laquelle .»* est coupée par un faisceau de F- passant par les six points (II, page 175). Entre autres théorèmes, on déduit de là le suivant : Les di.r couples de plaiix opposés d'un liexaf/one inscril à une cubique f/anche k' sonl coupes par une corde quelconque de k' suieanl du- couples de j'oinis d une pond uelle învolulive dons laquelle les deux points dHnlerseclion de k' cl de sa corde sont aussi conjiujués l'un à f autre. Ce théorème rappelle celui de Desargues (I, page 155).

57. Quand les deux systèmes réciproques sont situés dans le même |)!an, mais ne sont pas en involution, à tout point P du plan corres- |)ondent deux droites, dont le point d'intersection P^ peut être conjugué au poijit P. Si P dé(Tit une droite, le point conjugué Pj décrit en général une courbe du second oi'dre. Entre les systèmes de points P et Pj il existe une correspondance géoniélrirpie du second degré et ces systèmes sont en involution. On démontre ({ue les différentes drohes PPj qui réunissent deux à deux les points conjugués se coupent en un point principal et sont conjuguées à elles-mêmes.

58. Quand il s'agit d'établir une correspondance géométrique du s(X'ond degré entre deux systèmes plans ï et ï^, o)i peut non seulement faire correspondre entre eux deux triangles propres de ces systèmes pris comme triangles fondamentauj' ou principaux (c'est-à-dire faire correspondre entre eux leurs sommets [)ris coumie points principaux), mais on jxmiI encoi'e j)ivndre arbitraii'ement dans l^ le correspondant \, d'un point (pick'onque A de ï. De cette manière, à tout point P de ï coirespond un point déterminé P^ de 1^ (II, pages 155 à 158).

50. Si l'on circonsci-it à un triangle toutes les coniques qui touchent une (li'ojic (loimée, ou une c()ni(|iie |)assanl par deux des sommets du triangle, ou une courbe du ti-oisième ordre passant par deux sommets du triangle et ayant le troisième comme point double, ou enfin une courbe du (piatrième ordre ayaii: pour point double chacun des sommets du triangle, deux quelconques de ces coniques sonl coujiées pi*o-

jectivement par toutes les autres. En effet, si ron rapporte géométriquement le plan des coniques à un auti'e système plan de telle manière que les trois points principaux du plan coïncident avec les sommets du triangle, les coniques ont. poui' correspondantes les tangentes d'une courbe du second ordre.

60. Cinq coniques sont circonscrites à un triangle UVW; quatre sont données et la cinquième doit satisfaire à la condition de couper encore les quatre premières en (piatre points harmoniques; elle enveloppe en général une certaine coin-be du quatrième ordre, qui est aussi tangente aux quatre premières coni([ues et qui a les sommets du ti'iangle UVW pour points doubles f^" 59).

61. Quand il existe entre deux sUèmes plans ï et 1^ une correspondance géométrique du second degré, on peut facilement distinguer les droites de Z, auxquelles correspondent des ellipses dans 1^ de celles auxquelles correspondent des paraboles ou des hyperboles. On cherche dans S la conique a qui correspond à la droite à l'infini .s'^ de ^^. Une droite quelconque de g de 1 aura pour correspondante dans I^ une ellipse, une parabole ou une hyperbole suivant qu'elle ne rencontrei-a pas a ou qu'elle aura avec elle un un deux points réels communs.

62. Toute courbe du second ordre, inscrite dans le triangle fondajuental d'un système plan I) en correspondance quadratique avec un autre système plan ^j. a pour coi-i-espondante dans ce dernier une courbe du quatrième ordre qui a pour ])oints de rebroussement les trois points principaux de I,. Les tangentes à ces trois points de rebroussement se coupent en un point; quelles sont alors les trois droites (jui leur correspondent dans ï?

63. Si Ton admet qu'en général inie courbe de l'ordre n a au plus 2 n points communs avec une conic{ue, on peut facilement en déduire la démonstration du théorème suivant : Toute courbe d'ordre n d'un système plan — a pour correspondante une courbe d'ordre 2n dans un système I^ en correspondance quadratique avec ï. Si la première courbe passe mie ou plusieurs fois par un point principal de -, la deuxième contient ce même nombre de fois la ligne principale correspondante de -j et se décompose par conséquent en cette droite et une courbe d'ordre moindre.

64. Lorsque deux plans en correspondance quadratique ont tous les points de leur droite d'intersection comme éléments correspondants communs, cette droite renferme aussi deux points principaux conju-

294 GÉOMÉTRIE DE TOSITION.

gués l'un à Tautre des plans (II, j)age 136). Les droites qui réunissent les points correspondants seront alors coupées par les deux droites qui réunissent les uns aux autres les deux autres couples de points principaux. Ce cas particulier de la correspondance géométrique a été étudié par Steiner avec son talent habituel {System. Entwickelumj. pages 251 à 295).

FAISCEAUX , GERliKS I T liÉSEAlX DE COMPLEXES LIiSEAIRES. GÉNÉRATION PfiOJECTIVK DICS COMI'I.EXES (jl ADRATIQUES.

65. Deux éléments sont dits conjugues Vun à V autre par rapport à un complexe linéaire de raifons., quand ils sont conjugués l'un à l'autre dans le système focal dont les directrices constituent le complexe. Tout point a pour conjugué par rapport au complexe son plan focal. qui passe par lui, et tout plan son foyer. Une di'oite est conjuguée à elle-même ou à une autre droite, suivant fju'elle fait ou non partie du complexe linéaire.

66. in faisceau de complexes se compose de tous les complexes linéaires qui passent par un même système de rayons de premier ordre et de première classe ; ce système de rayons est appelé le lieu ou support du faisceau de complexes. Par quatre rayons quelconques, qui ne sont pas situés sur une même surface du second ordre ou de seconde classe, passe un faisceau de complexes déterminé ; les quatre rayons en déterminent le lieu. Par un rayon quelcon([ue ([ui n'appartient pas à tous les complexes du réseau, il passe toujours un seul de ces complexes et rien qu'un.

()7. In faisceau de complexes est déterminé par deux de ses complexes linéaires. Les deux axes de son lieu sont conjugués l'un à l'autre par rapport à chacun de ses complexes ; ils sont les axes de deux complexes singuliers du réseau, ("ihacun de ces complexes se compose de toutes les droites (pii coupenl l'iiii des deux axes.

68. Une droite g qui n'ap[)artieiit ])as au lieu du faisceau de complexes et ne coupe pas l'un des axes de ce lieu, a pour conjugués par rapport aux complexes du faisceau les raxons d'iui système réglé J{ qui passe par g et par les deux axes i\\\ lieu. Kii vWvi. tous les rayons du lieu, qui coupent g, sont situés dans un même système réglé (II, page 89)