FAISCEAUX DE COMPLEXES LINÉAIRES

dont R est le système directeur. Gomme un complexe linéaire est déterminé par un de ses rayons et deux di'oites conjuguées, chaque rayon (lu système réglé R est conjugué à la droite f/ par rapport à un complexe du faisceau. — Par rap])ort à nu complexe singulier, une droite (piel- (onque g est conjuguée à lave de ce complexe.

09. Les plans focaux de deux points quelconques de la droite (j foiinent deux faisceaux de plans du premier ordre perspectifs au système réglé R et projectifs entre eux; et les foyers par rapport aux complexes linéaires de deux plans passant par g forment deux ponctuelles du premier ordre perspectives à R et projectives entre elles. De là ce théorème :

70. Les plans focaux de points (jnelconques par rapport à tous les complexes d'un faisceau forment des faisceaux de plans et les foyers de plans quelconques constituent des ponctuelles du premier ordre, qui sont rapportées projectivement entre elles par le faisceau de com- |)lexes. Ces formes sont également projectives aux systèmes réglés (pii sont conjugués (N" 68) à des droites quelconques par rapport au faisceau de complexes. — Nous dirons que chaque forme élémentaire, qui est projective à l'un de ces faisceaux de plans ou à l'une de ces ponctuelles, est rapportée projectivement au faisceau de complexes.

71. Tous les plans focaux d'un point, situé sur un axe du lieu du faisceau de complexes, coïncident et il en est de même des foyers d'un plan passant par l'un des deux axes du lieu. Le théorème |)récédent subit donc des exceptions pour les points situés sur ces deux axes et pour les plans passant par eux. Quand une droite g coupe l'un de ces axes, elle a pour correspondants par rapport aux complexes du faisceau les rayons d'un faisceau ordinaire de rayons; ce dernier est projectif au faisceau de complexes, son centre est situé sur l'autre axe du lieu dans le plan réunissant le premier axe avec g et son plan est conjugué au point d'intersection de g et de ce premier axe.

7'2. Deux faisceaux projectifs de complexes engendrent un complexe de rayons du second degré ; ce complexe renferme chacun des rayons communs à deux complexes homologues des faisceaux et peut d'après cela être décrit par un système de rayons de premier ordre et de première classe. Tous les rayons de ce complexe quadratique, qui passent par un même point P arbitraii-e, forment une surface conique (un cône du complexe) du second ordre; elle est engendrée par les plans

focaux qui sont conjugués au point P (N" 10) par rapport aux deux faisceaux des complexes. Tous les i-ayons du complexe quadratique, situés dans un même plan arbitraire, forment un faisceau de rayons du second ordre; ce faisceau est engendré par les deux ponctuelles formées des foyers conjugués au plan.

73. Le complexe quadraticjue passe par les lieux des deux faisceaux de complexes qui l'engendrent, parce que chacun des rayons de ces lieux est situé dans deux complexes homologues des faisceaux. On peut démontrer (voir \" 90) (jue le complexe quadratique contient deux systèmes de rayons ou romjriœnces de premier ordre et de première classe, tout comme une surface réglée renferme deux systèmes de droites, et que chacune de ces congruences peut être engendrée })ar deux faisceaux projectifs de complexes dont les heux sont deux congruences quelconques de rayons de l'autre système. L'axe d'un complexe singulier de l'un des faisceaux constitue, avec la droite qui lui est est conjuguée par rapport au complexe correspondant de l'autre faisceau, le couple d'axes de la congruence suivant laquelle les deux complexes homologues se pénètrent mutuellement. Tous les points d'un de ces axes sont des points singuliers du complexe quadratique, c'est-àdire que leurs cônes du com])lexe se décomposent chacun en deux faisceaux de rayons du premier ordre; et tous les plans passant par ces axes sont des plans singuliers du complexe quadratique, parce que les rayons qu'ils contiennent forment deux faisceaux ordinaires de rayons. Le lieu de tous les points et plans singuliers du complexe quadratique est d'après cela en même temps le lieu des axes de toutes les congruences de jiremier ordi'e et de première classe comprises dans le complexe ; par suite, c'est une surface réglée. Nous montrerons plus loin (N" 85) que cette surface est de quatrième ordre et de quatrième classe. A chaque axe situé sur elle sont conjugués deux autres axes; par ces derniers passent les plans des deux faisceaux de rayons suivant lesquels se décompose le cône du conq:)lexe d'un point quelconque de cet axe. — Le complexe tetraédral n'est qu'un cas particulier de ce complexe quadratique.

74. Trois complexes linéaires, (|ui ne sont pas situés dans un même faisceau de complexes, ont en général un système réglé commun, ou, pour une situation relative particulière, deux faisceaux ordinaires de rayons communs. En eflet, s'ils ont trois rayons quelconques «, b, c comniinis, ils ])asspiil par tous les l'ayons du système réglé n b c, ou