GERBES DE COMPLEXES LINEAIRES

bien, quand a et h se coupent, ils passent par tous les rayons du faisceau n b et par ceux du second faisceau de rayons du premier ordre qui réunit un rayon du premier avec c (II, pages 88-cS9). Trois complexes n'ont donc deux faisceaux de rayons communs que si les axes des deux congruences, suivant lesquelles l'un quelconque d'entre eux rencontre les deux auties, se coupent deux à deux. D'une manière générale, si l'une de ces congruences a deux axes réels m, v, les complexes passent par tous les i-ayons qui coupent ti et v et appartiennent au troisième complexe ; de là on déduit à nouveau le théorème. C'est seulement quand ces axes sont imaginaires, qu'il est possible que les trois complexes n'aient aucun l'ayon réel commun.

75. Quand trois complexes linéaires quelconques ont un rayon réel / commun, ils ont encore une infinité de rayons communs. Pour le démontrer, menons par / deux plans a et [i et rapportons perspective ment à a les deux congruences suivant lesquelles le premier des trois complexes rencontre les deux autres. Ces deux congruences de premier ordre et de première classe sont donc aussi perspectives à la gerbe A, qui est conjuguée au système plan a par i-apport à ce premiei" complexe et qui contient le rayon /. Elles seront coupées par a et fJ, suivant deux systèmes plans collinéaires entre eux (II, page 89), qui ont comme éléments correspondants communs une gerbe A et par conséquent aussi une ponctuelle a ; et chaque rayon d'une des congruences, qui rencontre la droite «, est aussi situé sur l'autre et est un rayon commun aux trois complexes.

76. Un complexe linéaire n'a pas de rayons communs avec une congruence de premier ordre et de première classe, ou bien il a en commun avec elle un système réglé ou deux faisceaux ordinaires de l'ayons, ([uand il ne passe pas par tous les rayons de la congruence. Quatre complexes linéaires, ou deux congruences de premier ordre et de première classe, ou un complexe linéaire et un système réglé ont en général au plus deux rayons communs (N" 7 i).

77. Trois complexes linéaires, n'appartenant pas à un même faisceau de complexes, déterminent une gerbe de complexes, qui passe par eux. Elle comprend le faisceau de complexes qui réunit deux quelconques des trois complexes, et chaque complexe linéaire qui est situé dans un même faisceau de complexes avec l'un des complexes du faisceau précédent et le troisième complexe donné. Nous attribuons aussi à la gerbe de complexes toutes les congruences de premier ordre et de

première classe suivant lesquelles deux complexes quelcontiues de la gerbe se pénètrent. Le lieu de la gerbe de complexes esi en général un système réglé réel ou imaginaire, par letjuel j)assent tous les complexes et toutes les congruences du faisceau; dans des cas particuliers, il se compose de deux faisceaux de rayons du premier ordre. Les diiectrices du lieu sont les axes des complexes singuliers du faisceau.

78. I ne droit»' g, ([\n n'appartient pas au lieu de la gerbe de complexes et (jui n'en est pas une directrice, a pour conjugués, par rapport aux complexes de la gerbe, les rayons d'une congruence (ou système de i-ayons) de premier ordre et de première classe. Cette congruence passe par g et par les trois droites qui sont conjuguées à g par rappoi't aux trois complexes choisis en commençant (n" 68) ; et elle est déterminée par ces quatre droites ou par quatre autres quelconques de ses rayons (II, page 90). Par rapport à tous les complexes de la gerbe, les foyers de deux plans quelconques menés par g constituent deux systèmes plans perspectifs à la congruence et par conséquent collinéaires entre eux ; de même, les plans focaux de points quelconques de g forment des gerbes collinéaires qui sont ])erspectives à la congruence. On déduit de là ce théorème :

79. Les foyers de plans quelconques par rapport à tous les complexes d'une gerbe forment des systèmes plans, et les plans focaux de pohits quelconques constituent des gerbes qui sont rapportées projeclivement, c'est-à-dire collinéaireinent ou réciproquement entre elles. Ces formes sont aussi projectives aux congruences de premier ordre et de première classe qui sont conjuguées à des droites (pielconques par rapport à la gerbe de complexes. Toute forme de seconde espèce qui est projective à l'un tie ces systèmes plans ou à l'une de ces gerbes, sera dite projective à la gerbe de complexes.

(SO. Le système plan foj-mé des foyers d'un plan quelconque esi rapporté projectivement à la gerbe de complexes de telle manière qu'à chacun de ses points correspond un complexe de la gerbe, à chaque ponctuelle du premiei' ordre un faisceau de complexes, et à chaque droite, considérée comme lieu d'une ponctuelle, une congruence de la gerbe considérée comme lieu du faisceau coriespondant de complexes.

I ne droite quelconque du plan tiiit toujours partie de la congruence ([ui lui correspond dans la gerbe de complexes, et deux plans quelcon- ([ues sont, comme précédemment, rapportés collinéairenient ruii à