POLYGONES, MULTILATÈRES, POLYÈDRES, ETC

sommets qui sont opposés aux sommets et les côtés aux côtés, comme A et D, ÂB et DE, B et E, B(Tet ËF, et ainsi de suite.

En outre des polygones et des multilatères simples, la géométrie moderne considère aussi les polygones et multilatères complets^ et la loi de réciprocité y ressort encore d'une manière aussi évidente que dans les premiers.

Nous appelons en effet :

Polygone plan complet^ un système formé de n points du plan et de toutes les droites (côtés) qui les unissent deux à deux ; ou, ce qui revient au même, un polygone simple considéré avec toutes ses diagonales.

Multilatère plan complet, un système formé de n droites du plan et de tous leurs points d'intersection (sommets) deux à deux; ou, ce qui revient au même, un multilatère simple considéré avec tous les points d'intersection de ses côtés.

Nous admettons dans tout ceci que dans le polygone trois sommets ne sont jamais sur une même ligne droite, et que dans le multilatère trois côtés ne passent jamais par un même point.

En chaque sommet se coupent

[n-i] côtés du polygone complet,

et ces derniers passent par les (w- 1 )

autres sommets. Le polygone com-

plet a donc en tout — \: — ' cotes.

Sur chaque côté se trouvent [n-i] sommets du multilatère complet ; les (n-i) autres côtés passent par ces points. Le multilatère com-

plet a donc en tout mets.

som-

On voit facilement que le polygone et le multilatère complet renferment respectivement plusieurs polygones et multilatères simples dès que n est >> 5. Par exemple :

Un quadrangle complet ABCD {ftg. 12) a six côtés. Deux quelconques de ces côtés ne passant

Un quadrilatère complet abcd (fig. 15) a six sommets. Deux quelconques d'entre eux non situés sur

pas par un seul et même sommet, comme AB et CD, ou AG et BD, ou enfin AD et BC, sont dits côtés opposés dn quadrilatère ; de sorte

Fi^.12

qu'il y a trois couples de côtés opposés. Le quadrangle complet renferme trois quadrangles simples ABGD, AGDB et ADBG, dont les côtés sont formés des couples de côtés opposés pris deux à deux.

un seul et même côté, comme ab et crf, ou ac et hd, ou enfin ad et 6c, sont dits sommets opposés du quadrilatère ; de sorte qu'il

Fie. 13.

y a trois couples de sommets opposés. Le quadrilatère complet renferme les trois quadrilatères simples abcd^ acdh et ahdc^ dont les sommets sont formés des couples de sommets opposés pris deux à deux.

Les formes qui correspondent dans la gerbe à ces formes planes se conçoivent de la manière la plus simple en imaginant (|ue ces dernières soient projetées d'un point extérieur au plan qui les contient. Chaque polygone plan donne ainsi un angle muUarcLe dans la gerbe et chaque multilatère un angle pohjèdrc. Ainsi nous appellerons d'après cela :

Angle midtarête [n-arête] complet^ un système de 7i rayons dans la gerbe, considéré avec tous les plans (faces qui les joignent entre eux) ; nous supposons que trois quelconques des rayons (ou des arêtes) ne sont jamais dans un même plan.

Angle pohjèdre (n-èdre) complet dans la gerbe, un système de n plans considéré avec toutes les lignes d'intersection (arêtes) suivant lesquelles ils se coupent ; nous supposons que trois quelcon([ues de ces plans (ou faces) ne passent jamais par une seule et même droite.

Il sera d'après cela li'ès facile poiu- le lecteur de définir les angles

POLYGONES, MULTILATERES, POLYEDRES, ETC.

multarêtes et polyèdres simples et de trouver pour les formes de la gerbe les propriétés analogues aux formes planes. Nous terminerons cette longue série de définitions en faisant connaître les formes.de l'espace analogues à celles qu'on a indiquées plus haut pour le ])lan.

11)1 mullarête {n-arêlé) complet se compose de n points (sonuiiets) qui ne sont jamais quatre à quatre dans un même plan, des droites (arêtes) qui les joignent deux à deux et des plans (faces) qui les réunissent trois h trois.

Un polyèdre [n-èdre] complet se compose de n plans (faces) qui ne passent jamais quatre à quatre par un même point, des droites (arêtes) suivant lesquelles ils se coupent deux à deux et des points (sommets) où ils se rencontrent trois à trois.

Le lecteur cherchera par lui-même le nombre des arêtes et des faces d*un multarête de l'espace et celui des arêtes et des sommets d'un polyèdre. Nous ferons seulement remarquer que dans l'espace le quadrarête et le tétraèdre ne sont pas plus différents entre eux que le triangle et le trilatère dans le plan. La proposition double qui suit montre aussi que la loi de réciprocité s'applique également bien au tétraèdre :

Les quatre sommets et les six arêtes d'un quadrarête (tétraèdre) sont projetés d'un point non situé sur une des faces suivant les quatre sommets et les six côtés d'un quadrangle complet.

Les quatre faces et les six arêtes d'un tétraèdre sont coupées par tout plan ne passant pas par un des sommets suivant les quatre côtés et les six sommets d'un quadrilatère complet.

On remarquera ici que dans l'espace le polygone (n-gone) complet se trouve être le réciproque du polyèdre (w-èdre) complet et le multilatère (w-latère) celui du multarête (n-arête), parceque le point, le plan, sont des éléments réciproques.

GÉOMÉTBIE CHEMIN.