GERBES DE COMPLEXES LINEAIRES

l'antre (|iiaiid les deux rayons, qui leur sont communs avec une congrnence de la gerbe de complexes, sont conjugués l'un à l'autre.

(SI. La gerbe de complexes contient (n" 80) tous les faisceaux decomj)lexes qui passent chacun par deux de ses complexes ; elle est aussi bien déterminée par trois quelconques de ses complexes, ne faisant pas partie d'un même faisceau, cpie par les trois complexes primitifs ; deux de ses faisceaux de complexes ont toujours un complexe commun et deux de ses congruences peuvent toujours être réunies |)ar un complexe linéaire. Par chaque rayon de l'espace, il passe une congruence de la gerbe ; par deux rayons quelconques, il passe un complexe de la gerbe, et en général ce dernier est complètement déterminé par les deux rayons.

82. Les points ou plans, conjugués à des points ou plans quelconr|ues par rapport aux congruences contenues dans une gerbe de complexes, forment respectivement des systèmes plans ou des gerbes collinéaires. Pour abréger, nous ne donnerons pas la démonstration de ce ihéorème.

85. Deux gerbes de complexes sont dites i-éciproques. quand par ra|)port à elles un plan, et par conséquent (n° 79) tous les plans, ont pour conjugués deux systèmes réciproques de foyers et quand par suite tout point a pour conjuguées deux gerbes réciproques de plans focaux. \ tout complexe de l'une des gerbes de complexes correspond donc une congruence de premier ordre et de première classe dans l'autre ; tout faisceau de complexes, passant par une congruence de l'une des gerbes, a pour correspondant, un faisceau de congruences situé dans le complexe correspondant de l'autre.

84. Deux gerbes réciproques de complexes engendrent un com]ile\e du second degré '. (le complexe quadratique ])asse par chaque rayon comnuni à u)i complexe de l'une des gerbes et à la congruence correspondante de l'autre; il passe donc aussi par les lieux des gerbes réci- |no(|ues de complexes et peut être décrit par un système réglé. Tous les ia\ons du complexe quadratique, situés dans un plan quelconque, forment un faisceau de rayons du second ordre (II, i)age 71) et tous ses

1. M. Frédéric Scliur a démontré le prtunier dans sa thèse doctorale {Geomelrische Un- Icrsuclianf/cn uber Strahlcncomplexe I imd 2 Grades, Berlin, 1879), que tout complexe quadratique peut être engendré d'une infinité de manières \mr deux gerbes réciproques de complexes.

rayons issus d'un même point constituent une surface conique du second ordre, c'est \ecône du complexe du point. Les points et plans singuliers du complexe quadratique sont ceux dont les cônes du complexe ou les faisceaux de rayons du complexe se décomposent en deux faisceaux ordinaii'es de rayons.

(Sa. Par une droite quelcon({ue (j. il passe en général quatre plans singuliers au plus, et cette droite contient en général, et au plus, quatre points singuliers du complexe quadratique. En efiet, les cônes du ('omj)lexe de trois points quelconques de la droite g se coupent en général en huit points au plus ; les plans qui réunissent ces huit points avec g sont des plans singuliers du complexe quadratique parce que, parmi les rayons du complexe (pi'ils contiennent, trois passent par chacun de ces points et ils coïncident deux à deux, parce qu'un'plan singulier renfei'me deux faisceaux de rayons du complexe. On démontre d'une manière analogue la seconde partie du théorème.

86. Quatre complexes linéaires, non situés dans une même gerbe de complexes, déterminent un rrsean de complexes qui passe par eux. A ce réseau ap])artient la gerbe de complexes, qui réunit trois quelconques des quatre complexes, ainsi que tout complexe linéaire qui est situé dans une même gerbe de complexes avec deux complexes de la gerl)e précédente et le quatrième complexe donné. Nous attribuons en outre à ce réseau de complexes toutes les congruences et tous les systèmes réglés suivant lesquels se rencontrent respectivement deux ou trois complexes ([uelconques du réseau. Si les quatre premiers complexes ont deux rayons communs, le réseau de complexes se compose de tous les complexes linéaires, systèmes réglés et congiuences de premier ordre et de première classe, qui passent par ces deux rayons. Ces rayons constituent le lien du réseau de complexes; quand ils se coupent, ce réseau est singulier et a pour lieu le faisceau de rayons dn premier ordre qui passe par eux.

87. Le réseau de complexes contient (n" 86) tous les faisceaux de complexes qui sont déterminés ])ar deux de ses complexes et toutes les gerbes ([iii sont déterminées par trois d'entre eux ; il est aussi bien déterminé par quatre quelconques de ses complexes, n'appartenant pas à une même gei'be, que par les (piatre complexes primitifs. Deux ou trois gerbes quelconques de complexes du réseau ont toujours respectivement en coMunnn un faisceau de complexes ou un complexe linéaire ; ce dernier passe ])ar les lieux des trois gerbes. Par conséquent, trois

HÉSEAUX DE lOMPLKXES MNKAIIlES. 301

Systèmes réglés quelcoiK[ues du réseau peuvent être réunis par un de ses complexes linéaires. Par chaque rayon de l'espace, il passe un système réglé du rés(>au ; deux rayons quelconcjues peuvent être rénnispar une congruence et trois par un comj)lexe du réseau, qui, o\] général, est complètement déterminé par les Irois rayons.

(SS. Une di'oiler/, n'ayant aucun point conunun avec le lieu du réseau, a pour conjugués, ])ar ra])port aux conq^lexes de ce réseau, les rayons d'un comjilexe linéaire ; ce dernier passe par g et il est déterminé par (/ et par les quati'c di'oites conjuguées à (j par rapport à quatre complexes quelconques du réseau (II, ])age 82 ; voir n" 78). Les deux complexes linéaires, qui sont conjugués à deux droites (fuelconques par rapport au réseau, ont en conuruni les axes de tous les complexes singuliers du réseau (n" 08) ; ces axes constituent donc une congruence de premier ordre et de première classe et le lieu du réseau de complexes se compose des deux axes réels ou imaginaires de cette congruence. On voit en même temps que : quatre complexes linéaires ont en général deux rayons communs, réels ou imaginaires.

89. Le réseau décomplexes peut être rapporté collinéaireraent à un système }i: de l'espace de telle manière ({u'à chacun de ses complexes corresponde un plan de S, à chaque faisceau de complexes un faisceau de plans du premier ordre, et à chaque gerbe de complexes et à son lieu une gerbe et son sommet. On peut, pour y arriver, rapporter projectivementen suivant la marche indiquée ci-dessus (n" 79) deux gerbes du réseau à deux gerbes de 2, de manière qu'à tout couqilexe commun aux deux premières corresponde un point commun aux deux secondes; la collinéation se ti'ouve ainsi établie (rime manière bien définie. (Voir 11, page 25). Le complexe hnéaire qui est, par ra])port au réseau de complexes, le conjugué d'une droite quelconque g, se trouve aussi j)ar ce uioyen rapporté projectivement à ï ; ainsi à chacun de ses rayons cori(^spond un plan de S et réciproquement ; toutefois le rayon g a pour correspondants tous les plans d'un faisceau de plans de ^.

90. A tout plan de Z correspond dans le réseau de complexes un complexe linéaire, à toute droite de 2 une congruence de premier ordre et de première classe, et en général à un point quelconque de S un système réglé. Tous les systèmes réglés du réseau, qui correspondent aux points d'une surface du second ordre de S, sont situés dans un complexe quadratique. La surface peut, comme on le sait, être engendrée par des gerbes réciproques; d'une manière analogue, ce complexe quadratique

peut èlre tnigciidré par des gerbes récipro([iies de comj)le\es. Les deux rayons, coiumuiis aux (•oin])le\esde ce réseau, sont des rayons doubles du complexe quadralicpie. Le coinplexc quadraluiiie (n" 72j engendré par deux faisceaux projerliis de complexes apj)artieiit encore à cette catégorie: car deux faisceaux de complexes peuvent toujours être réimis par LUI réseau de complexes.

Les complexes singuliers du réseau oni poui- coi-respondants dans le système !i de l'espace les plans tangents d'une surface de seconde classe, paire que en général un faisceau de complexes renferme au plus deux complexes singuliers (n" (>7i.

RKSEAU DE SURFACES DU SECOND ORDRE. SURFACES DU QrATP.lEME ORDRE.

91. Nons empruntons à la géométrie analytique le théorème suivant dont nous ne connaissons pas de démonstration synthétique simple : Quand une courbe du quatrième ordre a plus de huit points couunutis avec uttc (-(niiquc. elle se décompose eu cette coui(/ue et en une autre conique.

Nons imaginerons (pie le réseau de V', dont il va être ([nestion dans les numéros suivants, soit i'a|)])orté projecti\ement à un système de l'espace ^i, d'après la manière indiquée ])récédemment (11, page 25-")).

02. Ine conique du réseau ^, de F', a pour correspondante dans le si/stème 11 de Vespace. soit une courbe plane du quatrième ordre 11. page 2')9). soit une courbe gauche du quatrième ordre et de seconde espèce \Voir II, page 244). En elfet, cette courbe a au plus quatre points cu;nmuns a\ec un plan (pielconque de 2, parce que la surface du réseau de K- (pii correspond à la conique coupe la (•oiii([ue en (pialif poiiiis au plus. Dans le cas où la courbe est gauche, par neuf (pi('lcoiK|iies de ses points menons une surface L^' du second ordre ; il lui correspond dans 1' une surface L' du (piatrième ordre; et comme celle dernière ne peut avoir avec la co iKjue plus de Jiuii points comconmiuns, elle seia coupée pai" le plan suivant cette conique et suivant \i\w deuxième coniciue. Par la courbe gauche (In (piatrième ordrt^ il ne passe donc (|ue cette surface de L^^ du second ordre; elle coupe la siiiface de Steiner de -j (pii coiTespond au plan des deux coniques, suivant une seconde courbe gauche du quatrième ordre et de seconde espèce.

RÉSEAI DE SURFACES Dl SECOND ÛHDRE. 303

95. A une conique de l'espace Zi coiTes])ond dans le réseau S de F' une com'be gauche du huitième ordre par laquelle |)asse une sinl'ace (Ut réseau. En elïet, toute surface de Steiner de Z,, qui correspond à im |)lan de Z. a au ])lus huit ])oint,s communs avec la conique, quand cette dei'nière n'est pas contenue toutentièi'e sur la surface (n" 91).

94. V une surface du quatiième ordre de 2j correspond dans le réseau Dde P- une surface du huitième ordre; une surface du second ordre de - a pour correspondante dans S, une surface de huitième ordre ou un plan.

95. Aux points d'une droite quelconque du réseau 1 sont associés (n" 95) les points d'une courbe gauche du septième ordre, qui ])eut être révmie à la droite par une surface du second ordre. Ciependant si la droite est un rayon principal de l\ ses points sont associés à une courbe gauche du troisième ordi-e, dont la di-oite est une corde.

9(). Les points d'un plan (pielconque ont pour associés dans le réseau ]^ de F" une surface du septième ordre (n''9i). La surface passa par tous les rayons principaux du plan (dont il existe au moins un et au plus trois, d'après la page 259) et elle se coupe elle-même suivant les courbes gauches du troisième ordre, qui sont associées à ces rayons principaux. Elle renferme un nombre doublement inlini de courbes gauches du septième ordre (n° 95) ; ces dernières sont situées deux à deux sur des surfaces du second ordre qui sont coupées chacune par le plan donné suivant deux droites. Le plan donné est coupé par la surface nodale du réseau suivant une courbe du quatrième ordre, également contenue sur la surface du septième ordre; car chaque point d<' la surface nodale coïncide avec l'un de ses associés.

97. Tous les points d'un plan, qui |)ossèdent des points associés dans un deuxième plan donné, sont situés sur une courbe du septième oixh-e in» 95 ou 96).

98. Si. connue nous allons le supposer à présent, les surfaces du réseau i: de F- ont un jioint A connnun, aux points d'une droite passant par A sont associés les points d'une courbe gauche du troisième ordre, dont la droite est une corde ; de même à un pian o ])assant par \ est associée une surface du cinquième ordre, qui peut ètie déciite par une courbe gauche du troisième ordre. Cette surface du cinquième oixlre a en commun avec le plan 9 son rayon principal u ne passant |)as par A ainsi que sa ligne d'hilersection as ce la suiface nodale K'*du réseau; elle

304 GÉOMÉTIUE DE POSITION.

passe (lt'u\ t'ois par la courbe gauche du ti'oisièiiie orcli'e associée au rayou principal u el contient aussi le point A.

0!l. \ une suiface 1.^" du second ordre (l(^ i, convspond dans Iv réseau de surfaces 2 une surface L du quatrièiiie ordre, dont A est un point double. Dans ce point double \, la suiface V a une infinité de plans tangents, qui en\eloppent une surface conique du second ordre, parce que (d'api'ès II, page 265) ils ont poui- éléments corres|)on(lanls dans le plan ûL^ les tangentes de la conique commune à Lj" et a,. Si cette conique dégénère en (]i'u\ droites, le poini double est hiplanaire cl n"a ipie deux plans tangents.

lOU. Dans ce qui suit, nous ferons un fréquent usage de ce théorème : Quand (h'ux surfaces du second ordre se coupent sn'wanl inie courbe r," du second ordre, tous leurs autres points communs sont situes sur une deuxième conique. En eilet, s'il existe d'autres points communs (pie ceux de r;, joignons trois d'entre eux, A,B,G par un plan. Ce plan coupe r," suivant une droite qui est tangente à •/;", ou dont les points sont accouplés involutivement par r/ et conséquemment par chacune des deux surfaces du second ordre. Dans le jjremier cas, le théorème résulte de la page 78, dans le second de la page 186 de la première partie. La seconde conique, comme du reste aussi la première r/, peiii se décomposer en deux droites ou se réduire à une droite unique.

101. Considérons encore le cas |)articulier du réseau 2 de F", dans lequel toutes les surfaces ont en commun cinq points d'une conifjue r/ et par conséquent tous les points de cette courbe. En faisant abstraction (le la conique r^, une droite cpelconque du système ^, de l'espace n"a pont- coircspondante (pTune conique de 2 et un point 2i seulement den\ points associés de S m" 100). Soit de plus Yj le point de Sj qui correspond à un ])oint quelconque de 2 situé dans le même plan que t/'; à \ (loi\ eut correspondre tous les points du i)lan r,'. En effet, àt(3ut ])lan de i\ passant pai' \^ il correspond dans 2 une surface du second ordre, qui se décompose dans le plan r/ et un second plan. A toute droite s, passant par Vj ne correspond donc, abstraction faite du ])lan de r^\ qu'un seul rayon principal s de 2, dont les points sont associés deux à deux et consérpiennnent accouplés involutivement, et deux de ces rayons principaux sont situés dans un inèine plan, au((uel coi-j-espond un plan passant par Y^.

102. Les dilféients l'avons principaux s (\\\ réseau 2. (pii cori'espon- (lent au\ rasons issus du point Y,, se coiipeni en nu seul el même |)oint

fiESEAI DE SURFACES Dl SECOND oFiDHE. 305

>. Kii pfTet. ils se coupent deux à deux, sans être cependant contenus tous dans un nièiue plan. Les deux gerbes Y et Yi qui se coiTespondent sont rapportées collinéairement Tune à Tautre ; le point \ correspond au point Yj et par conséquent est associé à chaque point du plan r^.

105. Par le point Y passe le plan de chaque conique •;- ([iii correspond à une droite quelconque 7^ du système 2^ de l'espace. Il s'ensuit que : quand (/uatrc surfaces du second ordre ont une conù/ue r/' commune, les plans dea six autres coniques, suivant lesquelles elles se t'oupent deux à deux, passent par un seul et même point Y.

A un point quelconque Pj de^i correspond dans 7- un couple dépeints associés, ou un point associé à lui-même, ou pas de point T"éel, suivant que le rayon ])iincipal de Y, ([ui coi-respond au rayon Y,i\ , coupe la conique 7" en deux points, ou lui est tangente, ou ne la j-encontre pas. Les différents points de 1,, auxquels correspond dans le réseau i un point associé à lui-même, sont situés sur une surface Kj- du second ordre; en ellel. toute droite q^ contient au plus deux de ces points, parce que du point Y on peut au plus mener deux tangentes à la conique correspondante -;'.

lOi. Toute droite x, ([ui rencontn^ la coiiique r/ en un point \, est aussi (II, ])age 262) un rayon principal du réseau ^ ; cependant ses points ne sont pas accouplés involutivement par association, mais la droite x est projectivement rapportée à la droite correspondante x^ et ses points ont pour associés ceux d'un autre rayon principal :•. Ladroite; lencontre aussi la conique r^ en un point; elle constitue avec x la coni- (|ue qui correspondà la droite x^ de ïi ; elle est donc située avec.r dans un [)lan passant par Y et coupe .^' en un point associé à lui-même. Si la droite ./• passe aussi par le point Y. ^^ coïncide avec elle ; alors le point \ est associé à tout autre point de x, et à chacfue point de x^ correspond le pohit \ et encore un autre point unique du rayon principal ,/•. Le théorème précédent, n" 101, donne heu alors aux exceptions suivantes :

105. Sur chaque rayon principal .s' de 1, qui réunit le i)oint Y à un point de \ de la conique •/;", le point \ a })our associés tous les autres points de ce rayon ; la droite *• est projective à la droite correspondante .S| de Xj, mais tous les points de cette dernière correspondent en même temps au point X. A l'avenir, nous représenterons ])ar H" la surface conique du second ordre par laquelle la conique -r;" est projetée du j)oint Y et par H,'- la surface conique cori'espoudante fie la gerbe Y,.

106. Les coniques de ^i, qui correspondent aux droites de !: (IL

GÉOMÉTRIE DK POSITION. Il 20

306 gkomi;thie uk position.

page 257) ont le punit Yj comimin. \ un plan 9 de ï, ne passant pas par Y coiTespond (11. page 200) dans ïi une surface H\^ du second ordre, passant par Yj, (|ni sera réglre. conifiuc ou non réglée suivant que le pian 0 aura avec la conique y;' deux poiuis, un point ou pas de points communs. A loul point de \'\' correspond un seul jxùiit daus 0 ; seul le point \\ a |)our élémenl coiiespondant une droite. A toute conique de Kl' correspond dans 9 une conique qui lui est projective, quand elle ne passe pas ])ar Yj ; dans le cas contraire, c'est une droite.

107. Tous les points d'un plan 9. ([ui oui des points associés dans un autre plan 'li, sont en général situés sur une conique. En effet, aux plans ç et d^, correspondent dans l'espace li:^ deux surfaces du second ordre ; elles ont eu général en conunun une courbe du second ordre passant par V,. (pii coi'i-espond à la droite s-i/, et par suite aussi en général une deuxième conique /.,' (n" 100). \ la. conique ki- correspondent dans 9 et à deux conitpies associées Tune à l'autre; elles sont situées sur la surface du second ordre de X (|ui cori'espond au plan de /tj".

108. t!n plan 9, ne passant pas par Y, a pour associée dans le réseau 1 (n" 107) une surface du second ordi'e qui passe par Y et |)ar la conique rf . Par conséquent, tous les points de 9 associés à eux-mêmes sont situés sur une même conique et tous les points du réseau I associés à eux-mêmes doivent être situés sur une surface K^ du second ordre, cpii est tangente à la surface conique H" suivant la conique r,'. Cette surface K^ est la surface nodale du réseau et elle contient les sommets de tous les cônes apjiartenant au réseau, dette surface nodale à son tour a pour correspondante dans lli une surface K^^ du second ordre (n" 105). Deux points associés ([uelconcpies sont sur une même droite avec Y et. quand cette dernière coupe K-, ils sont liarinoniquement séparés par K'. Nous sommes évidennnent conduits ici à la même relation involutive, entre les points de l'espace illimité, que celle ([u'on avait trouvée dans le n" 21.

109. Une droite (|U('lcon(pie a poui* associée dans le réseau ^ (11" 108) une conique passant par V et une conique (pielconque /t% une courbe k' du quatrième ordre plane ou gauche, suivant que /t'est OU non dans un même plan avec Y. Le point Y est un point double dt! /.;' et il est associé aux deux points d'intersection de /.:'" et du |)lan y;'. Si /■:' est une courbe gauche du quatrième ordre, elle est Tintersection de la surface conique \k' et de la surface du second ordre (piî est associée au plan de k' ; elle est donc de la première espèce.

RÉSEAI DE SUni Ar.ES Dl SECOND ORDIŒ. 307

110. (Juaiid une conùjuc h' est sur une même surlace du second ordre avec la courbe r^, elle n'a plus poui' associée une courbe du qua- (rièuK^ ordre, mais ])ien une conique qui lui est })i'ojective.

Vax eiïet. au plan de -^ ([iii contient les points corres[)ondants à trois ])oints quelconques A, 8,(1 de k\ correspond dans le réseau 1 une surface du second ordre qui passe par r^ et A,R,C, el par suite aussi par /.- (n" 100). Et cette surface du second ordre sera rencoiilrée pour la seconde fois par la surface conique \h' suivant la coni({ue associée à k-. Pour le cas où le plan de A.' [)asse par le point Y, le théorème se déduit du suivant :

111. Une surface quelconque du second ordre menée par laconicpie r,' a })our associées une autre surface du second ordi'e passant par-/;" (n" 110) et de plus la surface conique Yr/ ou H".

112. A une surface F^ du second ordre entièrement arbitraire est associée (n" 109) une surface F'* du cjuatrième ordre, dont Y est un ])oint double. Les tangentes de F'' au point Y forment une surface coni- (|ne du second ordre (jui coupe encore F' suivant une courbe gauche du (piatrième ordre et de piemière espèce; celte surface conique passe [)ai- la conique commune à F" et au plan •/)'. Toutes les autres tangentes (fue Ton peut encore mener du poiul double Y à la surface F'' sont tangentes à F'' suivant les points d'une courbe gauche du quatrième ordre et forment une deuxième surface conique qui est aussi tangente à la surface F^ La conique -r)^ est une courbe double de F* parce que, en général, F^ est coupée deux fois par chacun des rayons de la surface conique H^ (Voir n" 105.) Une conique quelcorupie de F^ a en général pour correspondante sur F* une courbe gauche du quatrième ordre de première espèce; ces courbes gauches sont deux à deux situées sur des cônes du second ordre ayant Y pour sommet.

115. La surface F' contient en général quatre droites passant par V ; elles joignent Y aux points d'intersection X de F' et r^ (n" 105).

Tout plan, qui passe par deux de ces points d'intersection X, a en conmiun avec F^ une conicpie à laquelle est associée sur F'' une conique qui lui est projective (n° 110). La surface F* contient donc en général six systèmes de coniques ou peut être décrite de six manières différentes par une conique variable ; par un point quelconque de F', il ne passe qu'une seule conicpie de c]uu|ue système. Un plan ipiel('on(pie coupe la surface 1''' suiNiuil une coui'be dn (piatiièmc ordre (pii a ui) poiul conuuun a\ec cliaciuie des fjioiies \^ el (pii a. engéué-

308 CtEOMetrie de position.

ral, (leii\ points doubles sur laconique •/)■; il lui correspond sur F- une courbe gauclie du (|ualrième ordi'e passant par les quati-e poinis \ (n" l()(S). On déduit facilement de là que : les six systèmes de coniques de F' sont conjugués deux à deux de telle manière que toute conique de l'un des systèmes est située dans im même plan s avec une conique du système conjugué. Deux des quatie ])oints d'intersection de ces deux (■oniques sont sur rf' ; aux deux autres, F' est tangente au plan e, parce que F' est également tangente en deux points à la surface du second ordre associée àe.La surface F* possède anssi ti-ois systèmes de plans doublement tangents et a deux coniques communes avec chacun de ces plans.

114. De la représentation de F' sur F' et du n" 1 15, on déduit immédiatement que : un quelconque des six systèmes de cojii(|ues accon|)le involuti\ ement les points de chaque conique appartenant au système conjugué, tandis qu'il rapporte projectivement les unes aux autres les coniques des quatre autres systèmes. De la première partie de ce théorème, il suit ([ue les différents i)lans de chaque système se coupent en un seul et même point l . Deux coniques conjuguées, qui ne sont situées sur ancun de ces ])lans F, sont c()a])ées projectivement par eux de telle manière qu'elles ont deux points coiTesj)ondants comnmns ; elles engendrent donc en général un faisceau de lavons du second ordre (1, page I V2) et l'on en conclut : que chacun des trois systèmes de plans doublement tangents constitue un faisceau de j)lans du second ordre; les tangentes doubles de F% situées dans ces plans, forment une surface <'oni(pie du second ordre enveloppée ])arles plans F. Si la dernière partie du théorème était inexacte, il passerait en général par les points de contact des tangentes doubles deux coniques d"un seul et même système, c(; ([ui est eu contradiction avec le n" 115. (lomme les six plans, ([ui joignent les droites X\ deux à deux, font partie aussi des plans doublement tangents à F\ chacun des trois faisceaux de |)ians F contient deux de ces six plans, qui sont opposés l'un à Fautre.

115. Si F' est une surface réglée, F' contient encore deux autivs systèmes de conicpies, qui passent toutes par \ et qui sont contenues deux à deux sur les plans tangents menés de Y à F- (n" 109). En outre des quatre lay ons \> , on peut donc encore trouver quatre couples d'autres droites sui- la surface V' \ elles corres|)ondent aux quatre couples de rayons de la surface réglée, (jui passent par les (pjatre points \, et elles coupent deux à deux les droites \^ .

110. Ouand F' passe par V, ¥^ se décompose en le plan r/et en une

HÉSEAt; HE SITKTACES DU SECOND OKDME. 309

sLiirace (lu li'oisièiiic ordre. Il est encore intéressant d'étudier la suiface K|* de i:,, qui cori-espoud à une surface K^ du second ordre de il. On trouve que F^' a les mêmes propriétés ([ue la surface F^ dont il vient d'élre question. Le théorème suivant est utile dans cette étude : La siii'face F^ contient une courbe gauche du quatrième oi'dre, dont les points sont associés deux à deux; F* coupe F" suivant cette courbe et suivant une autre courbe gauche du quatrième ordre ; la dernière est située sur la surface nodale du réseau (n" 1()8|.

117. A une surface L,' du second ordre de -i correspond dans lîlune siuface V du quatrième ordre à laquelle on peut en général mener une iidniité de tangentes doubles du point Y. Ces tangentes doubles forment lin cône du second ordre et sont tangentes à L'' suivani les points d'une courbe gauche du (juatrième ordre et de première espèce ; car elles correspondent aux tangentes que Ton peut mener à L^" du point Y^. Du point Y, on peut en outre mener une infinité de tangentes simples à L'*; leurs points de contact sont sur une courbe gauche du quatrième ordi-e, suivant laquelle L' est coupée par la surface nodale du réseau; ils sont par conséquent, associés à eux-mêmes. La coni({ue r^ est une courbe double de la surface L* (n" 105), parce ({ue L/ est en général coupée deux fois par chaque rayon de la surface conique Hi'. A une conique quelcon(pie de L,". correspond en général sur L' une courbe gauche du ({uatrième ordre et de première- espèce ; ces courbes gauches sont situées deux à deux sur des surfaces coniques du second ordre, ayant le point Y pour sommet. Si Lj" est une surface réglée. L' contient deux systèmes de coniques dont les i)lans passent par Y et sont doublement tangents à la surface V. Si Lr passe par V. L' se déconqiose en le plan r,^ et une surface du troisième oi'dre.

118. Nous n'avons pas l'intention de parler d'une manière bien étendue des surfaces L\ dont la surface F'' du n" 112 est un cas particuher: nous nous contenterons de faire une i-emarque sur les coniques qui peuvent se trouver sur L\ Une conique lr de ^ a en général pouicorrespondante dans i;:, une courbe gauche du quatrième ordre, et seulement une conique /.■,% quand k^ peut être réunie à -/j^ par une surface du second ordre (n" 110). Dans ce dernier cas, il existe encore une conique associée à k^ qui correspond également à la conique A-,'. Ti-ois points quelconques A,B,C de :î: peuvent toujours (n" 110) être réunis par une conique unique à laquelle correspond encoi-e une conique dans i, : trois points de ^i peuvent en général être réunis

par quatre coniques auxquelles correspondent des couples de coniques dans i:.

119. Un plan ç, ne passant pas par Y, ne coupera V suivant des coniques que si L^"^ a en commun avec la surface du second ordre correspondante à a dans li, non pas une courbe gauche du quatrième ordre, mais deux coniques, et si par conséquent il lui est doublement tangent. Tout plan qui a des coniques communes avec L' est donc un \)hn doublement tangent à la surlace F'. Les coniques de L* sont associées deux à deux, ou bien, dans des cas particuliers, elles sont associées à ellesmêmes. — V ne contient des droites que si Li" est une surface réglée ou conique du second ordre et si à ses rayons individuels correspondent des rayons principaux du réseau.

120. L'étude du réseau Ide F^ considéré dans les 19 derniers numéros se termine par un cas tout à fait particulier. En effet, les différentes surfaces du réseau peuvent avoir encore un point commun en outre de la conique •/J^ Ce point joue alors le rôle du point Y; car tous les rayons principaux s du réseau, qui ne rencontrent pas la conique T^, passent par lui. Toutefois, les points d'un pareil rayon principal s ne sont plus accouplés involutivement par association, mais la droite s est rapportée projectivement (II, page 262) à la droite Si qui lui correspond danslili. De même que ces l'ayons principaux .s de ^ passent tous par le point Y, de même les rayons correspondants Si de ^^ se coupent tous au point Y^. A ce dernier correspondent tous les points du plan Yj-, et de la même manière le point V a pour correspondants tous les points d'un plan r,!^ de ^i (II. page 265).

121. D'après cela les espaces 1 et li sont tellement rapportés l'un à l'autre (jue les gerbes collinéaires Y et Yj se correspondent, et que deux droites homologues de ces gerbes sont projectives l'une à l'autre, mais (jue cependant, à chacun des ])ohits Y et Yi correspond un planr^i" ou tj^ ne passant pas par l'autre. A tout plan de l'un des espaces correspond en général une surface du second ordre dans l'autre, et toutes ces surfaces ont en commun une conique (-z)^ ou vji^) et en outre un point (Y ou Yi) . En général, la relation de I -kZ^ est la même que celle de I^à v, ce qui n'a pas lieu pour les autres cas du réseau de F". Si les deux gerbes collinéaires Y etYj sont projectives égales et si on les place l'une sur l'autre de telle manière qu'elles aient tous leurs éléments correspondants comnmns, si alors les deux plans -rf et v^i'^ coïncident aussi l'un avec l'autre, les espaces ^ et Z^ sont en involution. Ils constituent donc un sys-

IIÊSEAI HE SI HFAil'.S Dl SFJUND ORDRE. 311

tèiiie imoliilifqui est exactement le Jiiêine que celui auquel nous sommes arrivés dans le ii" 108 et précédemment dans le n'' '21. A une surface quelconque du second ordre de l'un des espaces correspond alors dans Tautre une surface du quatrième ordre, don i nous avons déjà trouvé les propriétés principales dans les n"' de 11 '2 à llo.

Il faut remarquer encore ([n'entre deux systèmes plans I et ï, dont les lieux se correspondent dans les gerbes collinéaires V et \^, il existe wne correspondance géométi-icpie du second degré.