RELATIONS ENTRE LES POLYGONES, MULTILATKRES, ETC

rête complet ; par suite les deux autres côtés f et f^ se rencontrent aussi sur u.

En effet, d'après le théorème précédent, leslignesAAj, BBj, CCj, se coupent en un même point, de même que les lignesDDj,BBpGCj.

Les droites AAj et DD^ se rencontrent donc au point s d'intersection de BBj et CCj, centre du quadrarête considéré dans la proposition. Et comme les droites /"et /"^ sont dans le plan déterminé par AA^ etBB^, elles doivent aussi se couper.

les deux autres arêtes se coupent aussi.

Les cinq arêtes d'un des angles tétraèdres, qui sont coupées par les arêtes correspondantes de l'autre, déterminent en effet deux angles trièdres qui font partie de l'angle tétraèdre, et, d'après le théorème précédent, leurs faces se coupent deux à deux suivant les trois côtés d'un triangle. Mais ces deux triangles ont deux côtés communs; ils sont donc dans un même plan et par suite ils déterminent le quadrilatère plan dont les deux angles tétraèdres sont les projections.

Poui' ne pas trop nous attarder, nous allons laisser de côté la recherche des propositions que nous avons mises jusqu'ici dans la colonne de droite ; et dans l'établissement de la théorie des formes harmoniques, nous n'indiquerons que les résultats de la colonne de gauche. En suivant cette marche, nous arriverons encore bien vite à des propositions qui sont réciproques les unes des autres comme les précédentes. Nous venons de trouver que :

Étant donnés deux quadrilatères complets rapportés entre eux, si cinq couples de côtés homologues se coupent en des points d'une droite u qui ne passe par aucun des huit sommets^ le point d'intersection des côtés appartenant à la sixième paire se trouve aussi sur la même droite.

Ce théorème n'a pas lieu seulement pour le cas où les quadrilatères sont dans des plans différents. Car s'ils sont dans un même plan, nous pouvons ramener ce cas à celui que nous avons déjà traité en faisant tourner l'un des quadrilatères autour de la droite u de manière à lai faire quitter le plan où il se trouvait tout d'abord, ou bien en le projetant d'un autre centre quelconque sur un second plan mené par u. Dans l'un et l'autre cas, on voit immédiatement que le sixième

côté du premier quadrilatère rencontre le sixième côté du second sur la droite u. Remarquons en passant que si la droite u est la droite de Tinfini, notre théorème peut s'énoncer comme il suit : Etant donnés deux quadrilatères rapportés l'un à l'autre, si cinq couples de côtés homologues sont parallèles, les deux côtés qui forment le sixième couple sont aussi parallèles.

Nous pouvons maintenant donner la définition suivante :

On dit que quatre points^ i, B, C, D, sont quatre points harmoniques

ou forment une ponctuelle harmonique, s ils sont par rapport à un quadrilatère dans une position telle que deux côtés opposés du quadrilatère se coupent au premier et au troisième pohit et que les deux diagonales passent par le second et le quatrième.

Des propositions c[ui précèdent on déduit alors immédiatement ce théorème important :

Étant donnés trois points A, /?, C, d'une droite et leur ordre de succession, le quatrième harmonique D est complètement déterminé.

En effet, on trouve D en construisant un quadrilatère quelconque KLMN (fig. 15) dont une diagonale LN passe par le second point B, dont deux côtés opposés KL et MN se coupent au premier point A et les deux autres côtés opposés LM et KN au point G ; la seconde diagonale

KM passe par D. Si l'on construit un s'econd quadrilatère K^, L^, Mj, Nj, qui soit par rapport à A, B, G dans la même situation que KLMN, d'après un théorème démontré plus haut (page 56), sa deuxième diagonale KjMj (considérée comme sixième côté du quadrilatère complet K^ L^ Mj NJ doit aussi passer par le point d'intersection D de KM et de ÂBC:

Les points B et D, situés sur les diagonales, sont séparés l'un de Vautre par les points d'intersection A et C des deux couples de côtés opposés.

En effet projetons les points A, B, C, D d'un centre quelconque sur une droite, les droites projetantes et par suite aussi les projections d'un couple de points séparés sont aussi séparées de celles de l'autre découplé. Soit maintenant Q (fig 15 ) le point d'intersection des diagonales KM et EN du quadrilatère KLMN ; KQMD est une projection de ABCD faite du point L et MQKD une autre projection faite du point N. Si donc A n'était pas séparé de G par les autres points, mais l'était de B par exemple, il faudrait que K fût séparé de Q d'une part et M de Q d'autre part, ce qui est impossible parce que Q ne peut être séparé que d'un seul des trois points K, M, D, par les deux autres. Si au contraire A était séparé de D, il faudrait que K fut séparé de D et en même temps M séparé de D, ce qui est également impossible. En conséquence A. doit être séparé de G par les points B et D.

Si d'un point non situé dans le plan du quadrilatère complet ( de notre œil, pau exemple) nous projetons le quadrilatère suivant un angle quadrarête complet, les quatre points harmoniques seront projetés smvant quatre rayons qu'on désignera sous le nom de rayons harmoniques^ ou de faisceau harmonique de rayons. Ces rayons jouissent de la propriété qu'un plan quelconque ne passant pas par leur centre les coupe suivant quatre points harmoniques A^, Bj, C^, D^. Gar un pareil plan coupe le quadrarête complet suivant un quadrangle dont deux côtés opposés se rencontrent en A^, les deux autres en G^, et dont les deux autres côtés passent respectivement par B^ et D^.

Si nous projetons quatre points harmoniques d'un axe non situé dans un même plan avec eux, nous obtenons quatre plans harmoniques ou un faisceau harmonique de plans. D'après ce qu'on a démontré cidessus, un cinquième plan quelconque qui contient les quatre points harmoniques coupe les quatre plans harmoniques suivant des rayons harmoniques ; il en est par suite de même de tout plan sécant quelcon-

(lO

que qui ne passe pas par l'axe du faisceau de plans harmoniques. Car un pareil plan couj)e les quatre rayons liarnioniques, résultant de la section par un quelconque des premiers plans, suivant quatre points harmoniques par lesquels passent ses propres intersections avec les plans harmoniques. Il résulte aussi de là que toute droite oblique par rapport à l'axe coupe les quatres plans suivant quatre points harmoniques. De même un faisceau harmonique de rayons sera projeté d'un point situé hors de son plan suivant un faisceau harmonique de plans. jNous pouvons énoncer d'une manière générale les propositions suivantes :

Quatre points harmoniques sont projetés d'une droite quelconque par quatre plans harmoniques et d'un point quelconque par quatre rayons harmoniques.

Quatre plans harmoniques sont coupés par une droite quelconque suivant quatre points harmoniques et par un plan quelconque suivant quatre rayons harmoniques.

Quatre rayons harmoniques sont

projetés d'un point quelconque par quatre plans harmoniques.

coupés par un plan quelconque en quatre points harmoniques.

Ces différentes propositions peuvent se résumer dans l'important théorème suivant : D'une fo7vne fonda mentale harmonique, on ne déduit toujours par projection ou section que des formes fondamentales harmoniques. Nous voyons en même temps qu'étant donnés trois éléments d'une forme fondamentale élémentaire, le quatrième est complètement déterminé, si on désigne de plus quel est celui des premiers dont il est séparé par les deux autres. Car si les éléments donnés sont trois points d'une droite, le quadrilatère complet nous fournit le quatrième point harmonique. Si au contraire ce sont des rayons ou des plans d'un faisceau, nous les couperons par une droite et nous chercherons le quatrième harmonique aux trois points d'intersection. Et en même temps, nous résolvons par là même ce problème : étant donnés trois éléments d'une foixne fondamentale élémentaire, construire le quatrième harmonique.

Les lecteurs reconnaîtront immédiatement l'exactitude des propositions suivantes :

Trois plans «, [3, y à\m faisceau de plans sont coupés par une infinité de transversales quelconques; sur chaque transversale on cherche le quatrième harmonique aux trois points d'intersection qui est séparé par les deux autres du point de rencontre de cette droite avec G ; tous ces quatrièmes points sont dans un même plan S harmonique aux trois autres et qui est

Trois points A, B, G d'une ponctuelle sont projetés d'une infinité d'axes quelconques ; pour chaque axe on construit le quatrième plan harmonique qui est séparé par les deux autres de celui qui passe B ; tous ces quatrièmes plans passent par un seul et même point D, qui est le quatrième harmonique à A, B, G et qui est séparé de B par A et G.

séparé de ^ par a et y.

A la place de ces deux propositions qui sont réciproques l'une de l'autre pour les formes de l'espace, nous aurions pu facilement énoncer

— .-BL^ I^;a.=I--

deux théorèmes correspondants dans lesquels des faisceaux de rayons auraient remplacé les faisceaux de plans. On obtient de même deux propositions analogues pour la gerbe.

En indiquant comment on détermine quatre points harmoniques A, B, G, I) ( fig 15 ) au moyen du quadrilatère KLMN, nous avons fait une distinction entre les deux points A et ^ où se coupent les côtés opposés du quadrilatère et les deux autres B et D par lesquels passent les dia-

gonales. On peut cependant faire voir que les deux couples de points jouent entièrement le môme rôle dans la jionctuelle harmonique. On voit d'abord que sur quatre points harmoniques on peut échanger entre eux deux points séparés l'un de l'autre sans que les quatre points cessent d'être harmoniques. Ou autrement : si ABGD est une ponctuelle harmonique, il en est de même de ADGB, CBAD et GDAB. Gar dans chacune de ces ponctuelles, les côtés opposés du quadrilatère passent deux à deux par le premier et le troisième point et les diagonales par le deuxième et le quatrième. Si maintenant par le point Q d'intersection des diagonales ( fig. 16) nous menons les droites AQ et GQ, elles déterminent respec-

tivement sur les côtés NK, KL LM et MIS quatre nouveaux points S, T, U ei V. Les lignes SX, TU, UV et VS qui les joignent peuvent être considérées comme les secondes diagonales des quadrilatères KSQT, LTQU, MUQV, et NVQS ; mais deux de ces lignes qui sont opposées passent par B et les deux autres par D. INous avons alors un quadrangle STUV dont tous les côtés opposés passent respectivement deux à deux par B et D et les diagonales par A et G. Il en résulte que dans une ponctuelle harmonique deux couples de points séparés peuvent aussi être échangés entre eux sans que les quatre points cessent d'êti'e harmoniques. D'où ce théorème :Si ABCD est une forme harmonique, il en est de même non seulement pour ABCB, CBAD et CDBÂ, 7nais encorepour DCBA, DABC, BCDA et BADC.

Ce théorème a tout naturellement lieu aussi pour les rayons et les plans harmoniques, puisque np^us les avons définis par le moyen des points harmoniques.

Nous dirons souvent que deux éléments séparés d'une forme harmonique sont harmoniquement séparés par les deux auti'es éléments, ou bien qu'ils sont conjugés harmoniques. En outre, pour pouvoir énoncer une proposition d'une manière plus concise et plus simple, nous nous servirons souvent des expressions suivantes : «. deux éléments d'une forme sont harmoniquement séparés par deux autres éléments qui n'appartiennent pas à la forme » ; cela voudra dire que les derniers éléments déterminent dans la forme deux éléments par lesquels les premiers éléments sont séparés harmoniquement. Par exemple, nous dirons que deux points A et G sont harmoniquement séparés par deux plans 3 et S, si ces derniers coupent la droite AG en deux points B et D tels que ABGD soient quatre points harmoniques. De même 3 et 3 seront dits harmoniquement séparés par A et G, s'ils sont harmoniquement séparés par les plans qui projettent les points A et G de leur ligne d'intersection ^5. Par exemple, pour les formes contenues dans le plan, nous avons la proposition double :

Deux droites et un point situé en dehors d'elles déterminent une troisième droite ; elle passe par le point d'intersection des deux premières et elle contient tous les points qui sont harmoniquement séparés du point donné par les deux droites données.

Une droite et deux points situés en dehors d'elle déterminent un troisième point ; il est sur la ligne qui joint les deux premiers, et toutes les droites qui sont harmoniquement séparées de la première par les deux points donnés

passent par ce pomt.

Par le fait, cette double proposition n'est qu'une répétition de la précédente étendue aux formes dans le plan. La proposition de gauche et la suivante servent de base à la solution du problème indiqué dans l'introduction ( page 4, fig. 1 ). Par le point inaccessible oîi se coupent deux droites, mener une troisième droite.

D'après tout ce qu'on a dit jusqu'ici, le lecteur démontrera très facilement les propriétés suivantes du quadrangle et du quadrilatère complet ( voir fig. 15 ).

Dans un (juadrangle plan complet, les côtés opposés (comme KM et LN ) sont deux à deux séparés harmoniquement par les deux points ( A et G ) où les autres cou-

Dans un quadrilatère plan complet les sommets opposés ( comme A et G ) sont deux à deux harmoniquement séparés par les deux droites ( KM et LN ) qui joignent

pies de côtés opposés se coupent I deux à deux les autres sommets deux à deux. | opposés.

Remarquons ici que, dans la figure 15, il faut non seulement considérer K, L, M, N comme les sommets d'un quadrangle complet, mais qu'il faut aussi regarder AL, AN, CL etCN comme les côtés d'un quadrilatère complet, dans lequel A et C, K et M, L et N sont trois couples de sommets opposés.

APPENDICE

Relations métriques dans les formes harmoniques.

Nous ne pouvons clore le chapitre qui traite des formes harmoniques sans indiquer les plus importantes des relations métriques qui s'y rat-

tachent, ainsi que nous l'avions promis dans l'introduction. Nous y arrivons de la manière la plus simple au moyen du théorème suivant :

Si, sur une droite^ deux points A et C sont à égale distance d'une troisième C, ils sont harmoniquenient séparés par ce troisième et par le point D à V infini sur la droite; ou, autrement dit, les (juatre points ABCD sont quatre points harmoniques.

En effet prenons dans un plan mené par ABC deux points à l'infini K et M (fig. 17) et joignons les à A et G (par deux couples de parallèles) ; les lignes de jonction se coupent en deux nouveaux points L et N. La ligne LN, étant la deuxième diagonale du parallélogramme ALCN, passe par le point B qui bissecte le segment AG. Dans le quadrilatère KLMN,

deux côtés op])osés KL et MN" se coupent alors en A, deux autres LMet NK en G, la diagonale LN passe par B et la deuxième diagonale qui est la droite KM à l'infini passe par 1) ; il en résulte que ABGD sont bien réellement quatre points harmoniques.

Comme quatre points harmoniques sont projetés d'un cinquième S suivant quatre rayons harmoniques, il en résulte (fig. 48) que :

Si par le sommet S cVun triangle ASC, on mène deux droites, Vvne d parallèle à AC , Vautre b qui passe par le milieu du segment AC, ces deux droites sont harmoniquement séparées par les deux côtés adjacents A et C du triangle.

Si ASC est isocèle, b est perpendiculaire à AC et par suite aussi à d; et les angles su})plémentaires adjacents formés par a et c sont aussi bissectés par b et d. Donc :

Les bissectrices de deux angles adjacents sont harmoniquement séparées par les côtés de ces angles. \[y FiV.18

Le réciproque de ce théorème peut s'énoncer ainsi :

Si dans un faisceau de quatre rayons harmoniques, deux rayons séparés {ou conjugés) sont perpendiculaires Vun sur Vautre, ils bissectent les angles formés par les deux autres rayons.

La démonstration se déduit immédiatement de la proposition suivante qui admet elle-même une réciproque (fig. 18).

Si Von coupe un faisceau harmonique abcd par une droite u parallèle à Vun de ses rayons, Vun des points d'intersection de cette droite avec les trois autres rayons bissecte le segment déterminé par les deux autres points .

En effet les points d'intersection de u avec abcd sont quatre points harmoniques et l'un d'eux se trouve à l'infini.

Ces propositions, auxquelles on peut en ajouter d'autres semblables pour les plans harmoniques, peuvent s'employer dans la solution de toute une série de problèmes. Par exemple, le problème :

Construire le quatrième harmonique à trois points ou trois rayons est susceptible d'une solution bien plus simple que celle que donne le quadrilatère complet, pourvu ([u'on admette l'emploi de droites, parallèles et de segments égaux. Car étant donnés les rayons a^b,c,d (fig. 18),

s'il faut construire le (juatrième rayon a, harmoniquement séparé de c, coupons 6 et c par une parallèle u à d aux points B et C et prenons sur celle-ci AB = BC ; le rayon a du faisceau mené par A est le rayon cherché. Si, étant donnés trois points A,B,G. on demande (fig. 20) de chercher le quatrième point D harmoniquement séj)aré de B ; sur une droite quelconque menée par B nous porterons à partir de B deux segments égaux AjB et BGj ; nous déterminerons le point S d'intersection des droites ÀAj, ou a et CC^, ou c; en menant par ce point une parallèle d à AjBCi, cette droite coupera la droite AjBG^au point D cherché. Car puisque AjB,Ci et le point à l'infini de A^BCj sont quatre points harmoniques, S (A^BCiD) ou abcd doit être un faisceau harmoni-

que, et par suite ABCD, qui en est une section, est une ponctuelle harmonique.

Si l'on donne un segment AG et son point miheu B, on peut au moyen d'une construction purement linéaire tracer une parallèle à ABC par un point quelconque K (fig. 19). Nous menons les lignes KA et KG et nous les coupons respectivement en L et N au moyen d'une droite quelconque passant par B. Déterminons maintenant le point d'intersection M de CL et AN ; la droite cherchée passe par ce point. Car KM, qui est la seconde diagonale du quadrangle KLMN, coupe la droite ABC en un quatrième point, conjugé harmonique de B, mais qui est à l'infini, puisque B bissecte le segment AG. Réciproquement, si l'on donne deux parallèles, un segment quelconque situé sur Tune d'elles peut être divisé en deux parties égales au moyen de constructions linéaires. On voit immédiatement comment ces constructions peuvent s'apj^liquer dans l'arpentage.

11 existe un rapport remarquable entre les segments que quatre points

harmoniques ABCD déterminent sur une droite. Pour le trouver, projetons ces points harmoniques par un faisceau harmonique quelconque abcd (fig. 20) etmenons en même temps par B une parallèle au rayon d. Cette droite rencontre les rayons a et c en deux points A, et G, qui sont équidistants de B ; on a en même temps deux couples de triangles semblables, à savoir AAjB=^ ASDet BGjG =^DSG. On en déduit alors les rapports :