II) (BM)' = AM. CM

d'où ce théorème remarquable :

BM [etpar suite aussi DM) est moyen proportionnel entre ÀM et CM.

Par A et C (fig. 20) faisons passer un cercle quelconque et par le point M menons-lui la tangente MT, le théorème connu sur les segments qu'un cercle intercepte sur des sécantes donne

AM. CM = (TM)'

et par suite ÏM' = BM^ = DM^ Le point de contact T de la tangente se trouve donc sur un cercle décrit du point M comme centre avec BM = MD comme rayon ; ce cercle coupe orthogonalement le premier en T, puisque son rayon MT est normal à sa tangente en T. Donc :

Tous les cercles du plan, passant par deux points donnés A et C, sont coupes orthogonalement par tous les cercles tels que les extrémités B et D de leur diamètre BD soient conjugées harmoniques par rapport à Aet C.

La théorie des points harmoniques nous conduit ainsi avec la plus grande facilité aux systèmes de cercles qui se coupent orthogonalement et on peut la prendre pour point de départ de Tétude des systèmes de sphères orthogonales.

L'équation inverse de (I), c'est-à-dire l'équation