LEÇON V

Projectivité des formes fondamentales élémentaires

Dans la présente leçon nous allons revenir sur une idée que nous avons déjà énoncée antérieurement et la développer plus complètement; il s'agit par le fait de rapporter l'une à l'autre deux formes fondamentales de telle manière qu'à un élément de l'une corresponde un élément de l'autre et qu'à chaque série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'une il corresponde une série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'autre. Parmi les manières très simples de rapporter entre elles les formes fondamentales de première espèce, nous avons rencontré les suivantes. Sont rapportés l'un à l'autre :

1° Ln faisceau et une ponctuelle (fig. 6, page 20) ou un faisceau de plans et un faisceau de rayons, (|uand chaque élément de la seconde forme se trouve placé sur l'élément correspondant de la première;

2° Deux ponctuelles, quand elles sont les sections d'un seul et même faisceau de rayons (fig. 8, page 21);

5" Deux faisceaux de rayons, quand ils projettent une seule et même ponctuelle (fig. 7, page 21) ou (|uand ils sont les sections d'un seul et même faisceau de plans ;

4" Deux faisceaux de plans^ quand ils sont les projections d'un seul et même faisceau de rayons.

Deux foi'nies fondamentales élémentaires étant ainsi rapportées l'une à l'autre, nous dirons qu'elles sont en position perspective, ou plus brièvement qu'elles sont perspectives; il s'en suit que, de deux formes fondamentales perspectives d'espèces dilférentes, l'une est une section de l'autre et qu'au contraire deux formes fondamentales perspectives de

PROJECTIVITÉ DES FORMES GEOMETRIQUES ÉLÉMENTAIRES. 51

même espèce sont des sections ou des projections d'une troisième forme fondamentale.

Si deux formes fondamentales élémentaires sont perspectivement rapportées à une troisième (par exemple, deux ponctuelles à une troisième) elles sont aussi rapportées l'une à l'autre, sans cependant être en général en position perspective. Nous arrivons ainsi à une seconde position de deux formes fondamentales rapportées l'une à l'autre à laquelle on donne le nom de position oblique; elle se déduit de la position perspective de la manière suivante. On déplace l'une par rapport à l'autre les deux formes fondamentales projectives ; chaque élément de l'une continue à rester rapporté à l'élément correspondant de l'autre, mais en général elles perdent leur situation perspective.

Nous pouvons d'un nombre infini de manières rapporter l'une à l'autre deux formes fondamentales, par exemple deux faisceaux de rayons, en les considérant comme les projections d'une seule et même courbe. Mais la manière qu'on a donnée plus haut pour établir cette correspon dance, aussi bien pour les formes en position perspective que pour celles en position obhque, diffère de toutes les autres par un point important. En effet, si l'on considère quatre éléments harmoniques dans l'une des formes, il leur correspond évidemment dans l'autre quatre éléments qui sont aussi harmoniques, puisque les projections et les sections d'éléments harmoniques sont encore des éléments harmoniques. Cette propriété caractéristique n'existe pas en général dans les autres modes d'établir la correspondance, et nous conduit, ainsi, à formuler la définition suivante :

Deux formes fondamentales sont dites projeclivement liées Vune à Vautre^ ou plus brièvement projectives, quand elles sont rapportées Vune à Vautre de telle manière que quatre éléments harmoniques de Vune correspondent toujours à quatre éléments harmoniques de Vautre.

Deux formes fondamentales élémentaires perspectives sont donc aussi projectives; elles n'ont de remarquable que leur position particulière l'une par rapport à l'autre. Les expressions conformes et homographiqueê qu'ont respectivement employées Paulus et M. Chasles ont la même signification que projectives.

Von Staudt a introduit le signe  pour remplacer le mot projectif.

De la définition de la corrélation ou liaison projective, il découle immédiatement que :

Si deux formes sonl projeclives à une troisième, elles sont aussi projeclives entre elles.

Par exemple, si deux ponctuelles soiil perspectives avec une troisième, elles sont projeclives entre elles ; mais elles ne sont en situation perspective que dans des cas particuliers. 11 en est de même pour des formes fondamentales quelconques de première espèce.

Deux formes fondamentales projectives et de même espèce peuvent aussi être placées l'une sur Tautre, c'est-à-dire avoir le même support ou le même lieu. Par exemple deux faisceaux projectifsde plans peuvent être placés de manière à avoir le même axe; de même deux ponctuelles projectives peuvent se trouver sur la même droite de telle sorte que chaque point de cette droite doit être considéré comme double. 11 est

de la plus haute importance pour ce qui suit de rechercher combien deux formes fondamentales élémentaires, qui sont projectives et placées Tune sur Tautre, ont d'éléments correspondants communs, c'est-à-dire combien de fois un élément d'une des formes se confond ou coïncide avec l'élément qui lui correspond dans l'autre. La proposition double qui suit montre d'abord qu'il peut réellement se présenter le cas où deux formes ont un ou deux éléments correspondants communs.

Soient donnés dans im plan deux faisceaux de rayons S^ et S^ (fig. 21) qui soient les projections d'une seule et même ponctuelle u et par suite projectifs ; .^i nous les cou-

Soient données dans un j)lan deux ponctuelles u^^ et w, (fig. 22) qui soient les sections d'un seul et même faisceau S de rayons et par suite perspectives ; si nous les pro-