FORMES PROJECTIVES CONCORDANTES ET OPPOSÉES

pons par une droite v, nous obtenons sur celle-ci deux ponctuelles projectives «j et u^ (pii ont les deux points d'intersection de v avec u et S^ S.^ comme points correspondants communs. Ces deux points coïncident quand S^ S^ passe par liv.

jetons d'un point T du plan, ce point sera le centre de deux faisceaux projectifs de rayons qui ont pour rayons correspondants communs les deux lignes, qui joignent T avec S et avec u^^ u^. Ces deux rayons coïncident quand u^ u^ est situé sur wST.

Pour plus de clarté nous ajouterons que, dans la proposition de çauclie, deux points A^ et A, appartenant respectivement à u^ et u^ se

correspondent si les rayons S^ A^ et S.^ A^ se coupent en un point A de w. Les trois ponctuelles ii, u^ et r<, ont donc le point uv comme élément correspondant commun, tandis que ii^ et «, ont comme point correspondant commun l'intersection de v avec le rayon S^S.^ qui est commun aux faisceaux S^ et S,.

Etant données deux ponctuelles projectives u et u,, si l'une d'elles ii est décrite d'un mouvement continu parunpoint P, le point correspondant Pj de Wj décrit en même temps cette autre ponctuelle, si P et Pj restent constamment homologues Tune de l'autre. Mais si it et 7/^ sont situés sur une même ligne droite, les points P et Pj peuvent se mouvoir dans le même sens ou dans des directions opposées (fig. 23 et 24). Dans le premier cas (fig. 24), nous dirons que les ponctuelles sont projectives concordantes; dans le second (fig. 23), nous les appellerons projectives

opposées. De même si deux faisceaux projectifs de rayons S et S^ sont concentriques et situés dans le même plan (fig. 25 et 26), ou bien si deux faisceaux projectifs de plans ont le même axe, nous dirons qu'ils sont projectifs concordants (fig. 26) ou projectifs opposés (fig. 25) suivant que les deux éléments qui les décrivent tournent dans le même sens ou dans des sens opposés. Dans les formes fondamentales de pre-

AT

mière espèce projectivement opposées, les éléments mobiles qui se correspondent doivent nécessairement coïncider deux fois ; ce qui nous donne ce théorème :

Les formes fondamentales de première espèce projectivement oppo-

Fi^. 24

sées ont toujours deux cléments correspondants commu7is ; ces éléments

séparent V un de V autre deux autres éléments homologues quelconques.

Au contraire deux formes projectives concordantes n'ont deux

éléments correspondants communs que si un segment (ou un angle) AB

Fio . 20

de l'une est compris tout entier dans le segment (ou Tangle) correspondant de l'autre (fig. 24) ; dans des cas particuliers elles n'ont qu'un élément commun et souvent (fig. 26) elles n'en ont aucun. Deux ponctuelles projectives u et Wj, qui ont trois points correspondants communs A,B,G doivent, d'après le théorème précédent, être projectives concordantes.