FORMES A ELEMENTS CORRESPONDANTS COMMUNS

Nous pouvons maintenant démontrer le Ihéorème suivant qui est fondamental pour la (jéonit'trie de pofiHion.

Si deux formes fondamentales élémentaires sont projectives et ont trois éléments correspondants A, B, C, communs, elles ont tous leurs éléments correspondants communs, et par suite sont identiques.

Supposons d'abord que les deux formes fondamentales projectives soient deux ponctuelles u et u^ (fig. 27) ; tout point qui est harmoniquement séparé d'un des trois points correspondants communs A,B,C par les deux autres doit coïncider avec son correspondant parce que celui-ci est complètement déterminé et parce que quatre points harmoniques de Wj doivent toujours correspondre à quatre points harmoniques de u (par définition). Supposons que, sur le segment AB qui ne renferme pas le point C, il y ait un point P de u qui ne coïncide pas avec le point correspondant Pj de i/j. Faisons alors décrire à P la ponctuelle u dans le sens ABC, Pj décrira la ponctuelle u^ dans le même sens et il se confondra ou coïncidera avec P soit en B, soit en avant de B, en un point

A p B C Du

B'. Si P se meut dans le sens opposé GBA, P^ se mouvra aussi dans le sens GBA etcoïncidra avec Psoit en A soit en avant de A en un point A'. Nous obtenons de la sorte un segment A'B' qui est égal à AB, ou est une portion de AB, et dont aucun point, excepté les points extrêmes A' et B', ne coïncide avec son correspondant. Mais ceci est impossible puisque, d'après ce qui précède, le point harmoniquement conjugué de G par rapport à A' et B' doit coïncider avec son correspondant ; il en résulte que les ponctuelles u et u^ doivent avoir en commun tous les points du segment AB ; par suite il en sera de même de tout autre point Q de la droite, parce que Q est harmoniquement séparé par A et B d'un point du segment AB.

Nous pouvons démontrer le théorème d'une manière entièrement analogue pour deux faisceaux projectifs de rayons ou de plans ; ou plus simplement, nous pouvons ramener ces cas au précédent en coupant les faisceaux par une seule et même droite suivant deux ponctuelles. Ces dernières sont projectives; elles ont trois éléments correspondants communs et il en est de même pour les deux faisceaux.

Deux formes élémentaires projectives peuvent donc avoii- tout au

plus deux éléments correspondants communs si chaque élément de Tune ne doit pas coïncider avec Télément correspondant de l'autre. Une autre conséquence importante de notre théorème fondamciita! est la suivante : Si une ponctuelle est projeclive à un faisceau, ou un faisceau de rayons à un faisceau de plans, cl si trois éléments de la première forme sont situés sur les trois éléments correspondants de la seconde, la première forme est une section de la seconde.

Et en effet la première forme a en commun avec la section de la seconde qui est le lieu de la première trois éléments, et par suite aussi tous ses éléments ; elle est donc identique avec elle.

Si deux faisceaux projectifs de rayons S et S^ ( fig. 28 ) situés dans un même plan, mais non con-

Si deux ponctuelles projectives ( fig. 29 ) i< et u^ qui se coupent ont connue élément commun

centriques, ont comme élément correspondant commun le rayon A ou Aj qui joint leurs centres, ils sont les projections d'une seule e^ même ponctuelle u et par suite sont perspectifs. Car joignons par une droite BC, ouw, les points B et G

leur point d'intersection A ou Aj elles sont les sections d'un seul et même faisceau et par suite sont perspectives. Car joignons deux points quelconques B et G de ii^ avec les points Bj et C^ qui leur correspondent respectivement dans