FORMES PERSPECTIVES

OÙ deux rayons b et c du faisceau S rencontrent les rayons b^ et c^ qui leur correspondent respectivement dans Sj, les deux ponctuelles suivant lesquelles ii coupe les faisceaux S et Sj sont identiques parce

i/j au moyen de deux droites b et c et appelons S le point d'intersection de ces dernières ; les deux faisceaux par lesquels les ponctuelles u et u^ sont projetées de S sont identiques par-

(ju'ellessontprojectives etontcom- ' ce qu'ils sont projectifs et qu'ils

me points correspondants communs [ ont les rayons SA, SB et SC ou a

les trois points ua, ub wc ou A, B \ b c comme rayons correspondants

et G. 1 communs.

Cette proposition double a pour analogue dans la géométrie du faisceau la proposition double qui suit.

Si deux faisceaux projectifs de plans dont les axes se rencontrent ont comme élément correspondant commun le plan qui réunit ces axes, ils sont les projections d'un seul et même faisceau de rayons et par suite sont perspectifs. Joignons en effet les lignes suivant lesquelles se rencontrent deux couples quelconques de plans homologues et coupons les deux faisceaux par le plan ainsi obtenu ; nous avons deux faisceaux projectifs de rayons qui ont trois rayons correspondants communs et par suite sont identiques.

Si deux faisceaux projectifs de rayons qui sont concentriques, mais situés dans des plans différents, ont connue élément commun la droite d'intersection de ces plans, ils sont les sections d'un seul et même faisceau de plans et par suite sont perspectifs. Projetons en effet les deux faisceaux de la ligne d'intersection des plans qui joignent deux couples quelconques de rayons homologues ; nous obtenons deux faisceaux projectifs de plans, qui ont trois plans correspondants communs et par suite sont identiques.

Les démonstrations de cette proposition double et de la précédente sont entièrement analogues, comme on a pu le remarquer. La proposition suivante se démontrera exactement de la même manière.

Deux faisceaux de rayons S^ et S^(fig 28) projectifs, mais non concentriques, sont en position perspective, si trois des points d'inter-

Deux ponctuelles u et ?<i ( fig. 29) projectives, mais non situées l'une sur l'autre, sont en position perspective, si les lignes qui joignent

section de leurs rayons homologues se trouvent sur une même droite u. Car les ponctuelles projectives suivant lesquelles les deux

deux à deux trois couples quelconques de points homologues passent par un môme point S. Car les faisceaux projectifs qui pro-

faisceaux de rayons sont coupés par j jettent les deux ponctuelles du point la droite if ont en conmiun ces trois i S ont en commun ces trois rayons points B, C, D et par suite aussi ; BB^. CCj, Dl)^, et par suite tous leurs

tous leurs points correspondants sont communs ; tous les points d'intersection des rayons homologues des deux faisceaux se trouvent donc sur la droite u.

rayons correspondants sont aussi communs ; toutes les lignes qui réunissent les points correspondants de V et 7/j passent donc par S.

Le lecteur trouvera et démontrera facilement les propositions analogues pour les faisceaux de rayons et de plans dans la géométrie de la gerbe.

Si deux faisceaux de rayons rapportés l'un à l'autre sont dans un même plan, mais ne sont pas concentriques, les points d'intersection de leurs rayons homologues se succèdent les uns aux autres d'une manière continue ; car si un rayon décrit un des faisceaux en tournant d'une manière continue autour de son centre, le rayon correspondant se meut lui-même en tournant d'une manière continue et décrit l'autre faisceau; par suite le point d'intersection de ces deux rayons décrit une ligne. Si les deux faisceaux sont projectifs, sans être cependant en situation perspective, tous les points d'intersection de leurs rayons homologues sont situés sur une courbe qui, d'après le théorème précédent, ne peut avoir plus de deux points communs avec une droite. A cause de cette propriété caractéristique, nous lui donnerons le nom de courbe on ponctuelle du second ordre ; partout où cela sera nécessaire, on désignera la forme rectiligne sous le nom de 'ponctuelle du premier ordre pour la distinguer de la précédente.

Si deux ponctuelles projectives sont situées dans un même plan, mais en position oblique, toutes les lignes qui joignent deux à deux leurs points correspondants forment une série continue de rayons, et par un point quelconque du plan il n'en peut passer plus de deux. Nous donnerons à l'ensemble de toutes ces lignes le nom de faisceau de rayons du second ordre et pour faire disparaître toute ambiguïté, nous désignerons le faisceau ordinaire de rayons sous le nom de faisceau de rayons du premier ordre.

FORMES PROJECTIVEMENT RAPPORTEES ENTRE ELLES.

Les courbes et faisceaux du second ordre seront donc dt'-finis de la manière suivante, d'après leur mode de génération :

Deux faisceaux projectifs de rayons (du premier ordre) situés dans un même plan, mais en position oblique , engendrent une courbe ou ponctuelle du second ordre, chaque rayon d'un faisceau coupant le rayon correspondant de l'autre en un point de cette courbe.

Une droite quelconque ne contient pas plus de deux points d'une courbe du second ordre.

Deux ponctuelles projectives (du premier ordre) situées dans un même plan, mais en position oblique, engendrent un faisceau de rayons du second ordre, chaque point d'une des ponciuelles projetant le point correspondant de l'autre par un ra^on appartenant à ce faisceau.

Par un point quelconque, il ne passe pas plus de deux rayons d'un faisceau du second ordi'e.

Les faisceaux projectifs de rayons ou de plans en position oblique donnent naissance dans la gerbe à des formes du second ordre entièrement analogues aux précédentes. Nous étudierons de plus près toutes ces nouvelles formes dans les prochaines leçons.

Nous parvenons à la construction des courbes et faisceaux du second ordre en démontrant le théorème important f[ui suit :

Deux formes fondamentales élémentaires peuvent toujours être projectivcment rapportées Vune à ï autre de telle sorte qiià trois éléments quelconques de l'une on fasse correspondre trois éléments choisis arbitrairement dans Vautre ; on peut alors construire sans ambiguVé Vêlement de Vune de ces formes qui correspond à un élément arbitrairement choisi dans Vautre.

La démonstration de ce théorème peut se déduire directement de la définition de la projectivité et de ce théorème que trois éléments d'une forme fondamentale élémentaire déterminent un quatrième élément unique qui est harmoniqueraent séparé 'd'un des trois premiers par les deux autres. Des considérations analogues à celles qu'on a données plus haut (page 55) montrent qu'à l'aide de trois couples d'éléments homologues on peut rapporter entre eux une infinité de couples d'éléments du même genre et conséquemn'ient qu'il n'existe dans une des formes aucun élément qui n'ait son homologue dans l'autre.

Nous allons cependant en donner une autre démonstration, mais seulement pour le cas de deux ponctuelles, puisque toutes les autres

peuvent facilement s'y ramener. En efiet si Tune seulement ou si chacune des deux formes fondamentales est un faisceau, nous pourrons toujours lui substituer sa section par une droite, par conséquent une ponctuelle.

Supposons d'abord (pie deux [)onctuelles n et u^ (fig. 29 bis) Ç) situées dans un même plan doivent être projectivement rapportées l'une à l'autre de manière qu'elles aient pour point correspondant commun le point d'intersection A ou A^ de leurs lieux ou supports; et que de plus aux points B et G de n doivent respectivement correspondre les points Rj et Cj de u^ ; l'une des ponctuelles devra alors être une projection de l'autre faite du point d'intersection S de BBj et CG^. A un quatrième point quelconque D de w correspond donc sa projection D, sur w^, faite sur un rayon passant par S.

Supposons maintenant que deux ponctuelles u et w, (fig. 30) non situées sur la même droite doivent être projectivement rapportées entre elles de telle sorte qu'aux points A, B et G de w correspondent respectivement les points A^, Bj et G^ de ii^^. Sur une des lignes qui joignent les points correspondants, sur AA^ par exemple, prenons un point S différent de A et A^ et menons par Aj une droite de k^ différente de u^ et de AAj et qui coupe la droite de n. Du centre S projetons la ponctuelle n sur u^ et soient A^, B^, G.^ les projections de A,B,G, notre problème se trouve évidemment ramené au précédent. Gar nous avons maintenant à rapporter projectivement u^ et ii^ entre elles de manière qu'elles aient le point A^ ou A^ correspondant commun et qu'aux points Bj et Gj correspondent respectivement les points B^ et G,. Les ponc-

(1) Nous reproduisons ici cette figure pour la plus grande commodité du lecteur.