FORMES PR0.IECT1VEMENT RAPPORTEES ENTRE ELLES

tuelles u et u^ peuvent donc être regardées comme les projections d'urje seule et même troisième ponctuelle u,. Pour déterminer le point D^ de u^ qui correspond à un point quelconque D de u, cherchons d'abord la projection D^ de D sur u^. La règle établie pour le cas précédent nous donne alors Dj.

S'il s'agit enfin de rapporter projectivement l'une à l'autre deux ponctuelles u et u^ (fig. 25 et 24 page 54) situées sur une seule et même droite de manière que les points A,B,G de u correspondent respectivement aux points A^, B^,C^ de «,. nous ramènerons ce cas au précédent

en projetant i<, sur une autre droite w^. Si par exemple deux points correspondants A et A^ coïncident, il sera avantageux de mener u^ par un pareil point double, parce que nous ramènerons immédiatement le dernier cas que nous avons considéré au premier.

De cette recherche ressort le théorème suivant : Deux formes fondamentales projectives peuvent toujours être considérées comme la première et la dernière d'une série de formes dont chacune est perspective à celle qui la précède et à celle qui la suit. Par exemple, deux ponctuelles projectives peuvent être regardées comme la première et la dernière de trois ou de plus de trois ponctuelles dont chacune est la projection de celle qui la touche immédiatement. Ce théorème donne aussi l'explication bien nette et la justification du mot « projecfif »

De ce (]iii iirécède, un déduit d'une manière très simple toute une série de théorèmes compliqués en apparence. >ous indiquerons seulement les suivants :

Si les côtés a^, a.^, «„ d"un n — latère simple variable tournent respectivement autour de n points fixes Sp S.^... S„ tandis que [n — 1) de ses sommets afl^^a.^i.^^...a^^.^a^^ se meuvent respectivement sur [n — 1) droites fixes, w^z/^,... w„.p le dernier sommet a„«^, de même que tout autre point d'intersection des côtés du //-latère, décrit une courbe du second ordre ou une droite ; ce sera en particulier une droite si les centres de rotation 8^,8^... S„ sont tous sur une droite g. — En effet les côtés a^, «,,,... a„ décrivent tous autour de Sj,S.j,. S„ respectivement des faisceaux de rayons dont chacun est perspectif au suivant puisque les ponctuelles Wj,m.^...m„.i sont des sections qui leur sont respectivement perspectives. Donc, deux quelconques de ces faisceaux sont projectifs et en particulier le premier et le dernier; ils engendreront donc une courbe du second ordre, s'ils ne sont pas perspectifs, (îe dernier cas se produira en particulier si les centres des faisceaux sont sur une même droite g ; car cette dernière est alors un rayon correspondant commun à tous les faisceaux, parce (|ue dans le mouvement du n-gone tous les côtés coïncident une fois avec g^

Si les sommets Aj,\,,A.... A,, d'un n^ gone simple variable parcourent respectivement n droites fixes u^,i(,^...u^i tandis que (n — ]) côtés AjÂ^, A^\.,...A„.jA„ tournent respectivement autour des points fixes S,, S, ...S,,,, le dernier côté

A„Aj, de même que toute autre diagonale du n-gone, décrit un faisceau de rayons du second ordre, ou bien tourne autour d'un point (ixe; ce dernier cas se produira notamment si les droites î/^,?/,...

//„ se coupent toutes en un même point. En effet les sommets A^A^, A^, dérivent sur u^,u,,v^^ des ponctuelles dont chacune est perspective à la précédente, puisque Sj,S,,..S„ sont les centres de perspective.

Donc ces ponctuelles sont projectives deux à deux, entre autres la ])remière et la dernière, et celles-ci engendreront un faisceau du second ordre si elles ne sont pas perspectives l'une à l'autre. Ce dernier cas se produira en particulier si les droites »pi/^,...w„ se coupent en un même point P ; car elles ont toutes ce point comme correspondant commun, parce que dans le mouvement du ?i-gone, tous les sommets coïncident une fois avecP;

RELATIONS MÉTRIQUES. — RAl'PORTS ANIIARMONKjUES. 63

Ces propositions, dont l'une (celle de gauche) est la généralisation d'un théorème de Mac-Laurin et de lîraikenridge et dont l'autre (celle de droite) est due à Poncelet, nous donnent le moyen de trouver autant de points d'une courbe du second ordre ou autant de rayons d'un faisceau du second ordre que nous le voulons, à l'aide de constructions linéaires. Ces constructions seront tout naturellement les plus simples pour n = ù.

Al'l'IîNlIICE

Relations métriques des lortnes fondamentales projectives de première espèce.

Entre les angles et les segments qui sont limiiés par quatre éléments homologues de deux formes fondamentales projectives, il existe une proportion importante (pie nous allons indiquei' en finissant. \ous partons d'un faisceau S (fig. 28 et 129, page 56) et d'une ponctuelle qui lui est perspective. Quatre rayons quelconques a, b, c, cl de S passent par les points A, B, C, D de u qui leur correspondent. Les triangles limités par u et par ces rayons et dont le sommet commun est S ont même hauteur. Leurs surfaces sont donc entre elles comme leurs bases situées sur u ; de sorte qu'on a par exemple :