A. AS1]A1] A. GSB CB A. ASD^AD^^A. CS1)~CD

Mais la surface d'un triangle est égale à la moitié du produit de ses côtés par le sinus de l'angle qu'ils comprennent. Représentons d'une manière générale par {pq) l'angle compris entre deux rayons y et ry, nous obtenons alors pour les surfaces des trois triangles :

A. ASB = ;rAS.SB. Sin [ab); A. A8D = ^AS.SD. Sin [ad) A. GSB^icS.SB. Sin [cb)\ A. CSD=-:icS.SD. Sin (cdj

Si îious introduisons maintenant ces valeurs dans les proportions

64 GKOMETIUE DE POSITION.

ci-dessus et si nous supprimons les fadeurs communs au numérateur et au dénominateur, nous avons :

SB. Sïniab) VI> . SB J^injcô) CB SDrSiiTfrTrri ~" VI) ' ''^ S!). Sin (cd) ~ O)

Dixisuiis la première de ces équations ])ar la seconde et supprimons cp le l'acteur connnun ^- nous obtenons la propoilion cherchée sous la

forme suivante :

Sin (ab) ^ Sin {cb)kB Œ Sin [ad) ' Sin {cd,) ~ ÂD ' CD

Chaque terme de cette proportion, est un rapport ; par exemple,

CB

j^ est le rapport des deux segments suivant lesquels le segment BD est

eu

divisé par le point C qui peut lui être intérieur ou extérieur. (Dans la

fig. 29, le point C est en dehors de BD): et ^^^ — — ^^ est le rapport des

sinus deux angles suivant lesquels Tangle [bd) est divisé par le rayon c. Le premier et le second membre de l'équation (l) sont donc les rapports de deux rapports; ils constituent ce qu'on appelle un double rapport ou un rapport anharmonique (cette dernière expression est le plus généralement usitée en France). On reconnaît facilement la manière particulière ilont est formé le l'apport anharmonique précédent. On obtient le rapport anharmonic[ue de droite entre les segments limités par A,B,C et D en cherchant d'abord les rapports suivants lesquels le segment BD est divisé par les deux autres points A et G et en divisant ces deux rapports l'un par l'autre ; l'autre rapport anharmonique entre les sinus s'établit d'une manière entièrement analogue. De la façon même dont nous avons déduit notre équation, il résulte aussi qu'il est indilTérent de considérer tel segment ou tel angle comme étant celui qu'on divise, pourvu qu'on établisse les deux rapports anharmoniques de la même manière ; car un autre choix de nos quatre triangles nous aurait conduit à l'équation suivante :

Sin [ad] . Sin [bd) M) . 151) Sin [ac) ' Sin [bc] ~~' A C * BC

RAPPORT ANHARMONIQUE. 65"

et l'on peut sans difficulté établir encore prusieurs autres équations semblables pour ces points et ces rayons.

Il est digne de remarque que ces équations continuent à subsister si nous amenons la ponctuelle ii dans une autre position quelconque oblique par rapport au faisceau de rayons. Ainsi, sur une autre droite quelconque u^ (fig. 29, page 56), qui coupe respectivement les rayons a,b,c,cl en Aj,Bj,CpD,, nous aurons des segments pour lesquels a lieu l'équation suivante analogue à (1) :

/m Sin {ab) Sin (c'^)__A^B, , G^B^

^ ^ Sin [ad) ' Sln7^)~Â,D; ' G^D;

et de même A.B,C et D seront projetés d'un point quelconque Sj différent de S (fig. 28, page 56) par quatre rayons aj,bj,Cpdj tels que