SIXIEME LEÇON

Courbes, faisceaux et surfaces coniques du second ordre .

Bans la dernière leçon nous sommes arrivés aux deux importantes propriétés qui suivent :

Si deux faisceaux projectifs de rayons sont situés dans le même plan, mais ne sont ni concentriques, ni perspectifs, l'ensemble des points d'intersection de leurs rayons homologues constitue une courbe ou ponctuelle du second ordre qui n'a jamais plus de deux points comnmns avec une droite.

Si deux ponctuelles projectives sont dans un même plan, mais ne sont ni sur la même droite, ni perspectives, l'ensemble de toutes les droites qui joignent leurs points homologues constitue un faisceau de rayons du second ordre qui n'a jamais plus de deux rayons comnmns avec un faisceau de premier ordre.

Pour donner de suite une idée bien déterminée de ces formes du second ordre, nous ajouterons que les courbes du second ordre sont identiques avec les coniques et que, par suite, on les obtient aussi en coupant par un plan un cône ordinaire à base circulaire. Un faisceau du second ordre se compose au contraire de toutes les tangentes d'une coni(iue. ^ous démontrerons plus loin ces deux assertions.

Aux deux théorèmes précédents de la géométrie du plan correspondent les suivants dans la géométrie de la gerbe :

Si deux faisceaux projectifs de Si deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes se coupent, ne rayons, dont les plans se coupent*

sont pas perspectifs, l'ensemble des di'oiles d'intersection de leurs plans homologues constitue une surface conique du second ordrc^ qui n"a jamais plus de deux de ces droites d'intersection communes a\ec un plan. Le point d'intersecùon des axes, par leciuel passent tous les rayons de la surface conique, s'appelle le centre de cette surface.

sont concentriques sans être pers})ectifs, tous les plans (\m réunissent les rayons homologues deux à deux conslituent un faisceau de plaiis du second ordre, qui n'a jamais plus de deux plans communs avec un faisceau de plans du premier ordre. Le centre des faisceaux, par lequel passent tous les plans du faisceau du second ordre, s'appelle le centre de ce dernier faisceau.

Nous pouvons engendrer les surfaces coniques et les faisceaux de plans du second ordre au moyen des courbes et des faisceaux de rayons du second ordre, en projetant ces dernières formes d'un point non situé dans leur plan. Car les deiLX faisceaux projectifs S et Sj (fig. 51 et 55 ci-après), qui engendrent une courbe du second ordre, sont projetés d'un point 0 (notre œil, ])ar exemple) suivant deux faisceaux projectifs de plans qui donnent naissance à une surface conique du second ordre, passant par la courbe et ayant son centre en 0. De même, les deux ponctuelles u et v^ (fig. 52 ci-après), qui engendrent un faisceau de rayons du second ordre, sont projetées de 0 suivant deux faisceaux projectifs de rayons, et ces derniers à leur tour donnent naissance à un faisceau de plans du second ordre, qui passe par le faisceau de rayons el qui a son centre en 0. Réciproquement, tout plan ({ui ne ])asse j)as par le sommet d'une surface conique du second or(h'e, la coupe sui\aiit une cour!»' du second ordre; en ellêl, les deux faisceaux projectifs de plans , qui engendrent la surface conique sont coupés par le plan sécant suivant deux faisceaux projectifs de rayons qui engendrent la courbe d'intersection. Si donc, il se ti-ouvait plus de deux rayons de lu surface coniciue dans un plan, il y auiait aussi plus de deux points de la courbe d'intersection sur une droite; ce qui est inq:)Ossible. d'apivs le théorème qu'on a énoncé à nouveau en commençant. Le même raisoimeinent s'apj)liquerait aisément'au faisceau de plans du second ordre. Nous reconnaissons en môme temps l'exactitude du théorème suj\ant :

Une courbe ou un faisceau de

rayons du second ordre est projeté d'un point, non situé dans son plan, suivant une surface conique ou suivant un faisceau de plans du second ordre.

Une surface conique on un fais^ ceau de plans du second ordre est coupé par un plan, ne passant pas par son centre, suivant une courbe ou suivant un faisceau de rayons du second ordre.

On voit de la sorte que tous les résultats qu'on oblieiit pour les formes planes du second ordre s'appliquent inimédiatenient par projection aux formes analogues dans la gerbe. C'est pour cette raison que nous nous boinerons à étudier les courbes et les faisceaux de rayons du second ordre : et nous énoncerons tout d'abord les propriétés suivantes :

La courbe k du second ordre, engendrée par les intersections de deux faisceaux projectifs de rayons S et S^ (f]g. 51) passe par les centres de ces faisceaux. En effet, les faisceaux n'étant pas perspectifs, au rayon SSj, ou p du faisceau S, c'est-à-dire à la droite qui joint les deux centres, il correspond dans le faisceau S^ un rayon p^ 'différent de SS,. Le point S, d'intersection des rayons p et p^ appartient donc à la courbe k; et il en est de même pour le point S.

Le faisceau de rayons du second ordre K, qui est engendré par les deux ponctuelles projectivesi< et î/j (fig. 52), contient aussi les droites u et Wj, lieux des ponctuelles. En effet, les ponctuelles n'étant pas perspectives, au point ii n^ ou P de la ponctuelle ii, il correspond dans Wj un point V^ différent de P.

La droite Mj, que joint P et l\, fait donc partie du faisceau K ; et il en est de même pour ii.

Dans la figure 51, p^ est le seul rayon de Sj qui n'ait avec la courbe k qu'un seul point commun, le point S,. Tout rayon a^ du faisceau S,, différent de p^, sera coupé par le rayon a^ différent de p, en un autre point de la courbe k différent de S^. Pour cette raison, nous dirons que le rayon p^ touche la courbe/.- en S^, ou qu'il est tangent à cette courbe en ce point.

De même, dans la figure 52, P^ est le seul point de ï/j par lequel il ne passe qu'un seul rayon u du faisceau K. En effet, par tout autre point

Aj de Wj, il passe encore un second rayon A V, de K; et romme A ne se

confond pas avec. P, A A, ne peut pas coïncider avec Jl^. Nous dirons

pour cette raison que P^ est un point de contact, du faisceau K sur le rayon ii^. Nous pourrons alors énoncer les propriétés suivantes :

Au rayon commun de deux faisceaux projectifs de rayons correspond dans chacun d'eux une tangente à la courbe du second ordre engendrée par ces faisceaux.

Au point commun de deux ponctuelles projectives correspond sur chacune d'elles un point de contact du faisceau du second ordre engendré par ces ponctuelles.

On se rappelle qu'étant données deux formes fondamentales de première espèce, il n'y a qu'une seule manière de les rapporter projectivement Tune à l'autre, de telle sorte qu'à trois éléments arbitrairement choisis dans l'une correspondent trois éléments déterminés de l'autre. Supposons que nous voulions construire une courbe du second ordre, au moyen de deux faisceaux projectifs de rayons. Dans le plan qui contient SSj, nous pouvons prendre arbitrairement non seulement les sommets S et S^ (fig. 51) des faisceaux, mais encore trois autres points de la courbe, qui sont les points d'intersection de trois couples de rayons correspondants. Si l'un de ces trois points se confond avec S, nous connaîtrons par là même la tangente en ce point ; il peut en être de même pour Sj.

Supposons que nous voulions engendrer un faisceau de rayons du second ordre, au moyen de deux ponctuelles projectives. Dans le plan qui passe par les droites u et w^, lieux des ponctuelles (fig. 52), nous pouvons prendre à volonté non seulement les droites u et u^^ mais encore trois autres rayons du faisceau qui joignent deux à deux les points appartenant à trois couples de points correspondants. Si l'une de ces droites se confond avec m, nous connaîtrons le point de contact du faisceau du second ordre sur le rayon u ; il peut en être de même pour Wj.

11 est donc possible de résoudre les problèmes :

Construire une courbe du second ordre, connaissant cinq de ses points, ou quatre points et la tangente à l'un d'eux S, ou enfin trois points et les tangentes à deux d'entre eux, S et S,.

Construire un faisceau du second ordre, connaissant cinq de ses rayons, ou quatre rayons et le point de contact de l'un d'eux u, ou enfin trois rayons et les points de contact de deux d'entre eux, u et Mj.

On les ramène aux problèmes suivants :

Deux faisceaux projectifs de rayons S et S^ sont donnés par trois couples de rayons correspondants a et ttj, b et 6^, c et c^.

Construire autant de points qu'on

Deux ponctuelles projectives sont données par trois couples de points correspondants A et ^^, B et B,, C et C^. Construire autant de rayons qu'on voudra du fais-

voudra de la courbe /.• du second i ccau K de rayons du second ordre qu'ils engendrent par leurs [ ordre, qu'elles engendrent, intersections.

La question consiste en ceci : un élément quelconque étant pris comme quatrième élément d'une des formes fondamentales, trouver celui qui lui correspond dans l'autre forme; en effet, on obtiendra de la sorte un nouvel élément de la forme du second ordre engendrée par les deux précédentes. Nous pourrions l'envoyer à la construction que nous avons fait connaître dans la leçon précédente (page 60). Nous allons néanmoins traiter le problème actuel encore une fois et d'une manière

plus symétrique; sa solution nous conduira du reste à plusieurs théorèmes importants. Elle consiste à chercher une troisième forme qui soit perspective à chacune des formes données.

Par le point d'intersection aa^ de deux rayons correspondants quelconques a et a^ appartenant aux faisceaux projectifs S et Sj (fig.. 55), menons deux droites u et «1. La première coupe le faisceau S {abc) suivant une ponctuelle w:(ABG) et la seconde rencontre le faisceau S^ {a^b^c^) suivant une

Sur la droite AA^ qui joint deux points correspondants A et Aj des ponctuelles projectives u et u^, prenons deux points S et Sj comme sommets de deux faisceaux de rayons. Le premier S [abc] projette la ponctuelle u (ABC) et le second Sj {(llb^c^) projette la ponctuelle Wj (A^BjCJ. Ces faisceaux

ponctuelle n^ (A^BjCj). Ces deux ponctuelles u et u^ sont projectives entre elles, parce qu'elles sont les sections de deux faisceaux projectifs. De plus, elles sont perspectives, parce que deux points homologues A et Aj sont confondus avec leur point d'intersection (page 56). Elles sont donc les sec-

soiit projectifs entre eux, parce qu'ils sont les projections de deux ponctuelles projectives. De plus, ils sont perspectifs, parce que deux rayons homologues a et a^ se confondent avec la droite SSj qui joint leurs sommets (page 56). Ils sont donc les projections d'une même ponctuelle à laquelle appartiennent

tiens d'un même faisceau S,, au sommet duquel se coupent les rayons BBj et GC^.

Pour avoir maintenant le rayon d^ de Sj qui correspond à un rayon quelconque d du faisceau S, projetons le point du ou D du sommet Sj sur Wj en D^; D^ est alors le rayon cherché d^. Le point dd^^,

les points d'intersection de bb^ et et cc^.

Pour avoir maintenant le point Dj de u^ qui correspond à un point quelconque D de u, coupons la droite DS ou d par u^ et de Sj projetons le point d'intersection sur la droite v^ à l'aide du rayon d^. La projection d^u^ est le point cher-

OU P, est sur la courbe h du second ordre.

ché Dj. Le rayon DDj appartient au faisceau K du second ordre*.

Les constructions que nous venons d'effectuer donnent du même coup la solution des problèmes suivants :

Sur un rayon quelconque de S (ou de SJ, trouver le second point d'intersection [différent de S (ou SJ] de ce rayon avec la courbe du second ordre.

Pai- un point quelconque de u (ou de u^), mener le second rayon [différent de ît (ou u^)]. qui fait partie du faisceau de rayons du second ordre.

Cherchons, d'après la manière qui vient d'être indiquée, les deux rayons qui correspondent au rayon commun des deux faisceaux, ou les deux points qui correspondent au point commun des deux ponctuelles. Nous aurons ainsi la solution des problèmes ci-après :

Construire au centre de deux faisceaux projectifs de rayons les tangentes à la courbe du second ordre qu'ils engendrent.

Étant données deux ponctuelles projectives qui engendrent un faisceau de rayons du second ordre, trouver les points de contact de ce faisceau situés sur les ponctuelles.

La construction que nous avons indiquée nous conduit de la manière suivante à un autre résultat important. D'une part (théorème de gauche) (fig. 35), menons lerayon S^S^ ou m^ qui est coupé par u^ au point Mj et par u au point M. Son correspondant dans le faisceau S est le rayon SM; en effet, si l'on amène Dj à coïncider avec M,, D et F coïncident en même temps avec M. Le point M est donc le second point d'intersection de la courbe k par la droite u. De même le point L^, où u^ coupe la courbe k pour la seconde fois, se trouve sur la droite ^. Nous rappellerons ici que les droites u et ii^ choisies arbitrairement ne sont assujetties qu'à une seule condition, celle de se couper en un point de la courbe k.

D'autre part (théorème de droite) (fig. 54), joignons le point d'intersection ifjWj ou Qj avec S. Le point Q de w qui correspond au point Q^ de u^ est

1. Dans la figure 34, le faisceau K du second ordre est indiqué pur le moyen de la courbe qu'il enveloppe.

THEOREMES DE PASCAL ET DE BRIANCIION.

situé sur celte droite, ou, autrement dit, SQi est un rayon du faisceau K du second ordre; de même le rayon S^R qui projette le point d'intersection de u et w, à partir du sommet Sj est aussi un rayon de K. Or les points S et S^ ont été arljitrairement choisis sm* un rayon a du faisceau K. Xous avons donc résolu de cette manière le double problème suivant :

Étant donnée une droite u, qui coupe une courbe du second ordre k en un point donné A, trouver son second point d'intersection avec k.

Étant donné un point S, situé sur un rayon donné d'un faisceau K du second ordre, tracer le second rayon du faisceau qui passe par ce point.

Notre construction nous conduit pour ainsi dire d'elle-même aux deux importants théorèmes de Pascal et de Brianchon, dont nous avons parlé dans l'introduction. En outre des cinq points S, S,, A, M et L^, déterminons encore un sixième point P quelconque sur la courbe k (fig. 55). Par suite de la construction même de P, le point d'intersection D de SP et de w, et le point d'intersection D^ de S^P et u^ sont situés sur une même droite passant par S^. Mais D, D^ et Sj sont précisément les points d'intersection des côtés opposés de l'hexagone SPS^MAL,.

En outre des cinq rayons u^ u^, SS^, SQ^ et SR^ du faisceau K du second ordre, construisons encore un sixième rayon DD^ (fig. 34). Par suite de la construction même, les droites SD et S^Di doivent se couper sur la droite QjR ou u^. Mais ces trois droites, qui passent par un seul et même point, sont les diagonales principales de l'hexagone SS^RDD^Q^, c'est-à-dire les droites qui joignent ses sommets opposés.

Nous avons ainsi démontré les propositions suivantes:

Théorème de Pascal.

Dans tout hexagone simple, inscrit dans une courbe du second degré, les trois couples de côtés opposés se coupent en trois points situés sur une même droite.

Théorème de Brianchon.

Dans tout hexagone, formé par six rayons d'un faisceau du second ordre, les droites qui joignent les trois couples de sommets opposés se coupent en un même point.

Rigoureusement parlant, il nous reste encore à faire disparaître les cloutes qui pourraient subsister sur l'exactitude a])solue de ces théorèmes.

Les deux hexagones que nous avons considérés sont composés d'éléments qui n'ont pas été choisis arbitrairement ; par exemple, pour le théorème de gauche, les sommets \, M, Lj et P sont bien quelconques, mais S et S^ ne sont pas des points pris arbitrairement sur la courbe. Toutefois, il n'est pas présumable que les sommets S et Sj des faisceaux projectifs, ([ui engendrent la courbe, se distinguent des autres points par des propriétés telles que le théorème de Pascal, par exemple, n'ait lieu que ])our les hexagones inscrits qui comptent S et S, au nombre de leurs sommets. Nous allons dissiper tous les doutes en montrant que deux autres points ({uelconques de la courbe peuvent, tout aussi bien que S et S^, être les sommets de faisceaux projectifs, qui engendreront cette même courbe; et que, par conséquent, nous pouvons remplacer S et Sj par deux autres points jiris arbitrairement sur la courbe. 11 en sera de même pour les droites z/ et ii^ (théorème de droite), qui figurent au nombre des côtés de l'hexagone de Brianchon.

Imaginons que, dans l'hexagone de Pascal SPSj MÂL^ (fig. 33), tous les sommets restent fixes à l'exception de A et que ce dernier seul se déplace sur la courbe. La droite LjA ou u^ pivote autour de L^ et la droite MA ou ii autour de M; les points 1\ et J) se meuvent sur les droites fixes cl^et d, mais dételle sorte que la droite DD^ passe toujours par le point fixe S^. Le théorème de l^iscal sera encore vrai pour tout hexagone ainsi constitué. Les points D, et D décrivent en conséquence deux ponctuelles perspectives d^ et d qui sont les sections du faisceau de rayons Sj. Mais u^ et u^ décrivent en même temps autour de Lj et M respectivement deux faisceaux j)rojectifs de rayons, qui sont les projections des deux ponctuelles perspectives d^ et d. Nous pouvons donc regarder la courbe /.• comme engendrée par deux faisceaux projectifs de rayons L^ et M, dont les sommets sont deux points arbitrairement choisis sur la courbe.

Imaginons de même que, dans l'hexagone de Brianchon SSjRDDjQ, (fig. ôi) tous les côtés restent fixes à l'exception du côté SS^ et que ce dernier se déplace, mais sans jamais cesser d'être un rayon du faisceau du second ordre K. Le point S, décrit aloi's une ponctuelle S^R ou Tj et le point S une ponctuelle SQ,, ou ry, projective à la précédente. En