POINTS ET RAYONS HARMONIQUES

effet, le point d'intersection des diagonales SjUj et SD se meut sur la droite fixe Q^R et y décrit une ponctuelle m^, à laquelle q et r^ sont perspectives. Nous pouvons donc regarder aussi le faisceau du second ordre comme engendré par les ponctuelles projectives q et 7\. Nous avons démontré de la sorte que les tliéorèuies de Pascal et de Brianchon sont vrais d'une manière générale et nous arrivons en même temps aux théorèmes suivants, qui sont fondamentaux pour les courbes et les faisceaux de rayons du second ordre :

Une courbe du second ordre est projetée de deux quelconques de ses points suivant deux faisceaux projectifs de rayons; les rayons correspondants dans ces deux faisceaux sont ceux qui joignent leurs centres à un même point de la courbe.

Un faisceau de rayons du second ordre est coupé par deux quelconques de ses rayons suivant deux ponctuelles projectives ; les points correspondants de ces ponctuelles sont ceux qui sont situés sur un même rayon du faisceau.

Nous nous servirons de ces tliéorèmes dans la suite pour rapporter |)rojectivement les formes du second ordre les unes aux autres et aux formes fondamentales uniformes (ou du premier ordi'e), de la même manière que nous l'avons fait précédemment pour ces dernières. A cet effet, nous nous appuierons sur les deux derniers théorèmes pour établir les définitions suivantes :

Quatre points d'une courbe du second ordre sont dits points harmoniques, quand les rayons qui les projettent d'un point quelconque, et par conséquent d'un cinquième ]:)oint quelconque de la courbe , sont quatre rayons harmoniques.

(huître rayons d'un faisceau du second ordre sont dits rayons harmoniques, quand un rayon ({uelconque, et par conséquent un cinquième rayon quelconque du faisceau, les coupe en quatre points harmoniques.

Doue, étant donnés trois points d'une courbe, ou trois rayons d'un faisceau de second orthe, on peut déterminer sans ambiguïté et construire immédiatement le quatrième harmonique, à la condition qu'on sache quel est celui des trois points ou rayons donnés dont l'élément cherché doit être séparé.

En ayant égard à un théorème énoncé précédenmient sur les tan-

gentes aux courljes du second ordre et les points de contact des faisceaux du second ordre (page 70), nous déduisons des théorèmes fondamentaux que :

Par tout point d'une courbe du Sur loni ra\on d'un faisceau du

second ordre passe une tangente à second ordre est situé un ]wint de

cette courl)e.

contact de ce faisceau.

Toute courbe du second ordre est donc enveloppée par un système de tangentes et tout faisceau de l'ayons du second ordre enveloppe un système de points de contact. \ous démontrerons dans la prochaine leçon que ce système de tangentes et ce système de points de contact constituent respectivement un faisceau de layons et une ponctuelle du second ordre.

Les théorèmes suivants expriment d'autres propriétés très importantes des courbes et faisceaux du second ordre (|ue nous emploierons souvent :

Deux courbes du second ordre coïncident lorsqu'elles ont en commun cinq points, ou quatre points et la tangente en l'un d'eux S, ou trois points et les tangentes en deux de ces points, S et S'.

En eflét, projetons tous les points de ces deux courbes du point commun S au moyen d'un faisceau de rayons. Ce faisceau est projectif aux deux faisceaux qui projettent les deux courbes du point commun Sj. Mais ces deux derniers sont identiques, puisqu'ils ont trois rayons correspondants communs; ce sont : dans le premier cas, les trois rayons qui vont aux points communs autres que S et S^ ; dans le second, ce sont les rayons qui Vont aux deux autres points corn-

Deux faisceaux de l'ayons du second ordre coïncident lorsqu'ils ont en commun cinq rayons, ou (juati'e rayons et le point de contact de l'un d'eux m, ou trois l'ayons et les points de contact de tieux d'entre eux, u et u^.

En eftet, coupons les rayons des deux faisceaux suivant une ponctuelle, au moyen du rayon commun u. Cette ponctuelle est projective aux deux ponctuelles suivant lescpielles les deux faisceaux sont coupés par le rayon commun i(j. Mais ces deux dernières sont identiques, parce qu'elles ont trois points correspondants communs ; ce sont : ou les trois points situés sur chacun des rayons différents de M et 1/^ ; ou les points situés sur deux rayons différents de u et u^

muns et le rayon S^S, quand les deux courbes ont une tangente commune en S ; enfin dans le troisième cas, ce sont le rayon qui va au troisième point commun, la droite S^S et la tangente commune en Sj. Tout rayon de S projette donc un point commun aux deux courbes.

et le point uu^ quand les faisceaux ont un point de contact commun situé sur u ; ou enfin les points situés sur le rayon diflerent de h et Wj, le point uu^ et le point de contact commun situé sur u^. Donc, par tout point de u, il passe un ravon commun aux deux faisceaux.