SEPTIEME LEÇON

Conséquences des théorèmes de Pascal et de Brianchon.

Les propriétés importantes que nous avons établies pour l'hexagone, dans les courbes et les faisceaux de rayons du second ordre, nous conduisent à d'autres théorèmes non moins importants sur les pentagones, les quadrilatères et les triangles. Mais il convient auparavant de faire quelques remarques sur les tangentes des courbes et les points de contact des faisceaux du second ordre.

Nous avons appelé tangente à la courbe en un point Sj (fig. 51) une droite p^ située dans le plan de la courbe et qui n'a que le point Sj commun avec cette courbe ; et nous avons trouvé qu'il ne peut exister qu'une seule tangente pour chaque point de la courbe. Tout autre rayon a^ du plan, qui passe par S^, coupe la courbe en un second point A. Faisons pivoter le rayon a^ autour de S^ ; le point d'intersection A parcourt la courbe et s'approche indéfiniment du point S^ quand a^ s'approche indéfiniment de la tangente p^. La tangente se présente donc à nous comme la position limite de la droite qui Joint deux points de la courbe se rapprochant indéfiniment Vun de Vautre; et cette définition s'applique non seulement aux tangentes des courbes du second ordre, mais à celles de courbes quelconques.

D'une manière analogue, nous avons appelé point de contact d'un rayon u^ d'un faisceau K du second degré le point P^ (fig. 52) par lequel il ne passe qu'un seul rayon w^ de ce faisceau, et nous avons trouvé que, sur chaque rayon du faisceau K, il n'y a qu'un seul point de contact. Pai' tout autre point A, de </, il passe donc encore un second rayon

a du faisceau. Faisons mouvoir A^ sur Wp a parcourt, le faisceau K et s'approche indéfiniiuent du rayon u^ f[uand A^ s'approche indéfiniment du point P. Le point de contact se présente ainsi comme la limite du point d'intersection de deux rayons du faisceau qui vont en se rapprochant indéfiniment.

D'après cela, si dans un hexagone inscrit dans une courbe du second ordre, deux sommets consécutifs se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre, le côté qui les joint se trouve remplacé par une tangente à la courbe. Et si dans un hexagone, dont les côtés appartiennent à un faisceau du second ordre, deux côtés consécutifs se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre, le sommet suivant lequel ils se coupent sera remplacé par un point de contact du faisceau. Suivant que un, deux ou trois couples d'éléments voisins coïncident, l'hexagone se transforme en un pentagone, un quadrangle ou un triangle.

En conséquence, pour le pentagone, les théorèmes de Pascal et de Brianchon s'énonceront ainsi qu'il suit :

Dans tout pentagone insciit dans une courbe du second ordre, les points d'intersection de deux couples de côtés non consécutifs déterminent une droite, et le point d'intersection du cinquième côté et de la tangente au sommet opposé se trouve sur cette droite (fig. 55).

Dans tout pentagone formé de rayons d'un faisceau du second ordre, les diagonales qui joignent deux couples de sommets opposés se coupent en un point, et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé passe par ce point (fig. 36).

Fig. 35.

Fig.3G

Cette double proposition renferme la solution des problèmes suivants :

GEO.METRIE CHEMIN.

Étant donnés cinq points quelconques d'une courbe du second ordre, construire les tangentes en ces points en ne se servant que de la règle (fig. 55).

Étant donnés cinq rayons quelconques d'un faisceau du second ordre, construire les points de contact situés sur ces rayons, en ne se servant que de la règle (fig. 56).

Pour le quadrangle, nous obtenons les propositions suivantes (fig. 57;

Bans tout quadrangle inscrit dans une courbe du second ordre,

Dans tout quadrilatère formé de ravons d'un faisceau du second

les points d'intersection des côtés opposés et ceux des tangentes en deux sommets opposées quelconques sont tous situés sur une même droite.

ordre, les diagonales et les droites qui joignent les points de contact des deux côtés opposés quelconques se coupent en un môme point.

Enfin le triangle nous fournit les énoncés qui suivent

Étant donné un triangle inscrit dans une courbe du second ordre, les trois points où les côtés de ce triangle sont rencontrés par les tangentes aux sommets opposés sont situés sur une même di'oite.

Étant donné un triangle formé de rayons d'un faisceau du second ordre, les droites qui joignent chacun des sommets aux points de contact des côtés opposés se coupent en un seul et même point.

Tous ces théorèmes, qu'on peut employer pour résoudre une série de problèmes simples (par exemple, ceux de la page 71), peuvent aussi s'établir directement, sans recourir à l'hexagone. Comme exemple, nous donnerons la démonstration directe du théorème relatif au quadrangle, parce qu'elle nous fera découvrir en même temps des propriétés nouvelles et fort remarquables des formes fondamentales projectives, et que de plus nous nous servirons des théorèmes relatifs au quadrilatère dans des recherches ultérieures.

Étant donnés deux faisceaux projectifs de rayons, s et s^ (fig. 53), pour trouver dans l'un d'eux le rayon qui correspond à un rayon de l'autre, nous avons fait usage d'un troisième faisceau de rayons s^, perspectif aux deux premiers. A cet effet, nous avons coupé s et s^ respectivement suivant les ponctuelles u et u^ au moyen de deux droites menées par le point d'intersection A de deux rayons homologues a et a^. Comme ces ponctuelles sont perspectives, le faisceau s^, dont elles sont des sections, est le faisceau cherché.

Ces conclusions subsistent encore lorsque u coïncide avec a^ et k^ avec a; de sorte que (fig. 58) les points ba^ et 6^a (ouB et BJ, ou ca^ et c^a (ou C et C^) etc. suivant lesquels deux rayons correspondants a et a^ sont mutuehement coupés par deux autres rayons h Qih^, ou c et c^. sont sur une même ligne droite avec un point fixe \.

Si nous menons par ce point -^^ une droite quelconque D D ^ qui coupe respectivement en D et D^ les rayons a^ et «, SD et SJ)j sopt des

rayons correspondants des faisceaux S et S^. Faisons maintenant coïncider Dj avec S; SD devient alors S S, ou 7, de sorte que ce rayon de S a pour correspondant dans S^ le rayon SjS ou 7, qui joint les centres S et S^ des faisceaux. La droite SS^ ou 7 est donc une tangente cà la courbe du second ordre engendrée par S et S^ et il en est de même pour 8^S, ou p^. En d'autres termes, le point lixe S, est alors le point d'intersection des deux tangentes 7 et p^ qui appartiennent respectivement à S et Sj, c'est-à-dire des deux rayons ([ui correspondent au rayon commun S^^ dans chacun des deux faisceaux S et S^. Nous parviendrions donc toujours à ce même point S,, en faisant coïncider avec les droites u et ?;^, soit a et a^, soit tout autre couple fie l'ayons correspon-

Fi^ 38.

dants, conmie />et h^^ ou c et c^. Tfoncloide droile qui joint deux points (comme hc^ et b^c), où deux couples {bj\ et c^^c^ de rayons correspondants se coupent mutuellement, passe par le point S,.

Étant données deux ponctuelles projectives u et n^ (fig. .Il), ponr trouver facilement le point de Tune qui correspond à un point quelconque de Tauti'e, nous avons déterminé de la manière suivante une troisième ponctuelle w^, perspective à chacune des deux ponctuelles données. Nous avons projeté u et u^ par deux faisceaux de rayons S et S^, dont nous avons pris arbitrairement les centres sur un rayon quelconque a joignant deux pouits correspondants A et A^ des ponctuelles. Ces faisceaux étant perspectifs, la ])onctuelle //,, dont ils sont les projections, était la ponctuelle cherchée.

Faisons maintenant coïncider S avec A^ et S^ avec A (fig. 09) ; ?/, passe alors par les deux j)oinfs de u et ?/, qui correspondent respectivement au point d'intersection uu^^. Deux points correspondants quelconques D et Dj se projetteront respectivement de \j et \, suivant deux rayons X^n et ADj qui se coupent sur la droite v^. Il est bien évident que si

CONSÉQUENCES DES THÉORÈMES DE PA.sCAI,, ETC.

l'on amène D à coïncider avec uu^ ou P, le point d'intersection des deux rayons précédents, et par conséquent aussi D^ coïncidera avec le point Mjî/, ou Pli de sorte que u, passe eiïectivement par l'un (et aussi par l'autre) des deux points P^ et Q qui correspondent respectivement dans ?/i et u au point d'intersection P Qi de u et u^. En d'autres termes, î/j joint les ])oints de contact, situés sur u et u^, du faisceau de rayons du second ordre engendi'é par ces deux ponctuelles. Nous obtiendrons

donc toujours la même droite m., en faisant coïncider respectivement les sommets S^ et S, soit avec \ et A^ soit avec tout autre couple de points homologues (comme B et B„ C et Q. Donc tout point dïntersection de deux rayons (BC^ et B^) à l'aide desquels deux couples quelconques de points correspondants (B.B^ etCGJ sont mutuellement projetés, est situé sur la droite u^.

Les résultats auquels nous venons ainsi d'arriver peuvent être exprimés sous la forme des deux propositions suivantes :

Les deux points a Z>^ et a^b, où se coupent mutuellement deux couples quelconques a^a^ et b,b^ de rayons homologues de deux faisceaux projectifs S etSj, sont toujours sur une même droite avec le point d'intersection S^ des deux rayons qui correspondent au rayon commun S S ^ des faisceaux-

Les deux droites AB^ et A^B, par lesquelles deux couples quelconques de points correspondants A,Aj et B,B^ des ponctuelles projectives u et /q sont mutuellement projetés, se coupent sur la droite **2 ^^^ JO"^t les deux points qui correspondent dans chaque ponctuelle au point connnun u ii^^ de ces ponctuelles.

r.EOMETRlE DE PO?^ITION,

Oiiand nous aurons oncore ajouté les quelques i-emarques qui suivent, on reconnaiira iniinédialeineni dans ces propositions les théorèmes reatifs au quadrilatère dans les coijrbes et les faisceaux de rayons du second ordre.

Dans la coui-be du second ordre, engendrée par les faisceaux S et S^, les points S, aa^, S^ et />&j forment un quadrilatère insciit dont les côtés opposés sont a et h^, a^ et b; et Sg est le point d"intersection des deux tangentes qui touchent la courbe en S et S^.

Dans le faisceau de rayons du second ordre, engendré par les ponctuelles u et u^, les rayons u, A \j, ?/j et liBj forment un quadrilatère dont A et Bj, A^ et B sont les côtés opposés; et les deux points de contact du faisceau sur les côtés opposés n et ?/^ sont situés sur w.

On voit aisément que les théorèmes précédents sont tout jmrticulièrement propres à déterminer l'élément qui, dans l'une des deux formes fondamentales projectives simples, correspond à un élément quelconque de l'autre forme. Si, par exemple, on donne trois couples d'éléments homologues de deux ponctuelles projectives n e< ?/j, on peut en déduire immédiatement la ponctuelle ii.^ qui fournit très simplement le point de ?/.^ correspondant à un point quelconque de u.

Les théorèmes relatifs au quadrilatère dans les courbes et les faisceaux de rayons du second ordre, théorèmes que nous venons de démontrei' ainsi de plusieurs manières différentes, peuvent être énoncés sous une forme plus générale ainsi qu'il suit (fig. 57) :

Quatre points K, L, M, N d'une courbe du second ordre formant mi ([uadrangle complet,, et les tangentes //, /, m, n en ces ]ioints formant un quadrilatèi'e conqilet, les sonmiets opposés du quadrangle sont situés deux à deux sur les droites qui joignent les points X, Y, Z, où les côtés opposés du rmadrilatère se coupent entre eux.

Quatre rayons /.-, l, m, n d'un faisceau du second ordre formant un quadi'ilatère complet, et leurs points de contact K, L, M, N constituant un quadrangle complet, les côtés opposés du quadrilatèi-e passent deux à deux par les trois ])oints X, Y, Z où se coupent les trois droites qui joignent les sommets opposés du quadrangle.

En effet, les théorèmes démontrés pivcédeninient oui lieu : à gauche,

pour chacun des trois quadrangles simples, dont se compose le quadrangle complet KLMN, et à droite, pour chacun des trois quadrilatères simples qui composent le quadrilatère complet klmn.

Envisagé ainsi, le théorème de gauche énonce la même propriété que celui de droite; tous deux expriment que le triangle, dont les côtés joignent deux à deux les sommets opposés du quadrangle complet est identique avec le triangle qui a pour sommets X, Y, Z, points où les côtés opposés du quadrilatère se coupent deux à deux. Réciproquement, étant donnés un quadrangle inscrit KLMN et un quadrilatère circonscrit klmn situés l'un par rapport à l'autre ainsi qu'on vient de l'indiquer, on peut construire à volonté une courbe du second ordre, qui soit tangente aux droites /v, /, m, n aux points K, L, M, N et un faisceau du second ordre dont les points de contact sur les rayons k, /, m, n soient respectivement les points K, L, M, N. En eflet, d'après notre théorème, une courbe du second ordre, qui passe par les points K, L, M, N et qui est tangente à la droite k en K, a aussi les droites /, m, n pour tangentes. Et le faisceau du second ordre, qui contient les rayons k,l,m. n et qui a le point K pour point de contact sur /.-, a aussi les points L, M, N pour points de contact. Donc quatre tangentes d'une courbe du second ordre, avec leurs quatre points de contact, peuvent toujours être considérées comme quatre rayons d'un faisceau du second ordre, avec leurs quatre points de contact.

Une courbe du second ordre, qui passe par trois points de contact K, L, M d'un faisceau du second ordre et qui a pour tangentes en deux de ces points K et L les rayons correspondants /.• et / du faisceau, passe donc aussi par tout quatrième point de contact N du faisceau et a pour tangente en ce point le rayon correspondant n du faisceau.

Réciproquement, un faisceau du second ordre contient toutes les tangentes d'une courbe du second ordre du moment qu'il en contient trois et que les points de contact de deux d'enti-e elles sont situés sur la courbe. On a ainsi les belles relations suivantes entre les courbes et les faisceaux du second ordre :

Toutes les tangentes d'une courbe du second ordre forment un faisceau de rayons du second ordre.

Tous les points de contact d'un faisceau de rayons du second ordre forment une courbe du second ordre.

En raison de son importance, nous allons encore démontrer cette

double proposition d'une autre manière, qui nous conduira en même temps à une pi'opriété nouvelle et intéressante des courbes du second ordre.

Etant dojniés les quatre sommets K, L, M, N (fig. 57) d'un quadrangle inscrit dans une courbe du second ordre, supposons que l'un d'eux K se déplace sur la courbe, tandis que les trois autres et leurs tangentes /, m, n ne changent pas de position. La tangente k du point K se meut aussi en glissant le long de la courbe et ses points d'intersection E et A avec les tangentes n et / se déplacent en même temps.

]\Iais on reconnaît aisément que, dans ce mouvement, E et A décrivent respectivement deux ponctuelles projectives sur w et / et que, par suite, la tangente k parcourt un faisceau du second ordre. En eflet, les deux diagonales EB et AD du quadrilatère Idmn se coupent toujours en un ])oint Y de la di'oite fixe LN ; elles décrivent par conséquent deux faisceaux perspectifs de rayons autour des sommets fixes B et D et les ponctuelles n et Z, que décrivent les points E et A, sont des sections de ces faisceaux. Le théorème de gauche se trouve donc démontré de la sorte et on prouverait le théorème de droite d'une manière analogue.

La droite jMK passe également par le point Y ; dans le mouvement du point K, elle décrit donc aussi autour du point fixe M un faisceau de rayons, qui est perspectif au faisceau B décrit par BE, et qui par conséquent est aussi projectif à la ponctuelle n décrite par le point E. Supposons que le point K passe successivement par tous les points de la courbe, il s'ensuit que :

Etant donnes un point fixe quelconque M (Tune courbe du second ordre et une tangente fixe quelconque n de cette courbe^ si nous prenons comme correspondant à tout rayon ^ qui projette à partir de M un point quelconque k de la courbe, le point de n par lequel passe la tangente k du point K, le faisceau de rayons M et la ponctuelle n seront projectifs Vun à Vautre.

Cette proposition, que M. Chasles a prise pour point de départ dans son Traité des Sections Coniques, est réciproque à elle-même; en effet, on a démontré plus haut, et il découle de cette proposition elle-même, que les tangentes d'une courbe du second ordre forment toujours un faisceau du second ordre. Nous n'en tirerons maintenant qu'une seule conclusion : c'est la suivante :

Les tangentes en quatre points harmoniques d'une courbe du second ordre sont quatre tangentes harmoniques.

En effet, une cinquième tangente quelconque les coupe en quatre points liaruioniques, puisque leurs quatre points de contact sont projetés d'un cinquième point quelconque de la courbe suivant quatre rayons harmoniques.

Le théorème qui établit qu'un faisceau du second ordre est coupé par deux quelconques de ses rayons suivant des ponctuelles projectives, peut maintenant s'énoncer de la manière suivante :

Toutes les tangentes d'une courbe du second ordre sont coupées par deux quelconques d'entre elles suivant des ponctuelles projectives.

Le théorème de Brianchon peut aussi être envisagé de la manière suivante, qui le met en parallèle avec celui de Pascal.

Dans tout hexagone circonscrit à une courbe du second ordre [ou dont les côtés sont tangents à la courbe), les trois diagonales principales se coupent en un même point.

Nous l'exprimerons généralement sous cette forme et nous énoncerons d'une manière analogue les théorèmes concernant le pentagone, le quadrilatère et le triangle dans le faisceau de rayons.

Nous nous contenterons maintenant de présenter sous cette nouvelle forme les théorèmes démontrés précédemment, ainsi que leurs réciproques, en les appliquant aux formes du second ordre dans la gerbe. D'après une proposition établie antérieurement (page 09), toute courbe et tout faisceau de rayons du second ordre seront projetés d'un point, non situé dans leur plan, suivant une surface conique ou un faisceau de plans du second ordre. Chaque tangente de la courbe se projettera suivant un plan, qui n'aura qu'un seul rayon commun avec la surface conique et que pour cette raison Ton appelle plan de contact. De même, chaque point de contact du faisceau de rayons du second ordre sera projeté suivant un rayon, dit raijon de contact du faisceau de plans, et par lequel il ne passe qu'un seul des plans de ce faisceau. Mais comme réciproquement toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont respectivement coupés par un plan, ne passant pas par leur sommet, suivant une courbe ou un faisceau de rayons du second ordre, il s'ensuit que :

Tous les plans de contact d'une surface conique du second ordre forment un faisceau de plans du second ordre.

Tous les rayons de contact d'un faisceau de plans du second ordre forment une surface conique du second ordre.

Tous les rayons d'une surface conique du second ordre sont projetés de deux quelconques d'entre eux suivant tleux faisceaux projectifs de plans (comp. page 77).

Tous les plans de contact d'une surface conique du second ordre sont coupés par deux quelconques d'entre eux suivant deux faisceaux projectifs de rayons (page 77).

Par analogie avec ce que nous avons dit plus haut (page 77), nous pouvons poser les définitions suivantes :

Quatre rayons d'une surface conique du second ordre sont dits rayons harmoniques, quand on peut les projeter d'un rayon quelconque, et par suite d'un cinquième rayon quelconque de la surface, suivant cjuatre plans harmoniques.

Quatre plans tangents d'une surface conique du second ordre sont dits plans de contact harmoniques, quand ils sont coupés par un plan quelconque, et par conséquent par un cinquième plan de contact quelconque, suivant quatre rayons harmoniques.

Les théorèmes de Pascal et de Brianchon s'énoncent comme il suit pour les surfaces coniques du second ordre :

Dans tout sexarète inscrit dans une surface conique du second ordre, les trois couples de faces opposées se coupent suivant trois rayons situés dans un seul et même plan.

Dans tout hexaèdre circonscrit à une surface conique du second ordre, les plans diagonaux principaux se coupent suivant une seule et même droite.

Le lecteur fera bien, comme exercice, de transporter et d'appliquer aux formes géométriques dans la gerbe les plus importants des théorèmefs que nous avons établis pour les formes planes.

Revenons maintenant aux courbes du second ordre. Du théorème qui exprime qu'une droite ne peut avoir plus de deux points communs avec une courbe de ce genre, nous allons déduire d'importantes conséquences sur leur manière d'être dans le plan. En effet, d'après ce théorème, la courbe n'aura aucun point commun avec la droite à l'infini dans le plan, ou bien elle n'en aura qu'un seul, et elle sera tangente en ce point à la droite à l'infini, ou enfin elle aura deux points d'intersection com-

muns avec cette droite. Dans le premier cas, tous les points de la courbe sont des points propres et toutes les tangentes sont des rayons propres du plan; la courbe prend alors le nom (V ellipse (voirfig. 35 à 59), Dans le second cas, la courbe s'étend à Finfini suivant deux branches qui se dirigent vers le point où elle est tangente à la droite de l'infini ; elle prend alors le nom de parabole (fig. 52). Enfin, dans le troisième cas, la courbe se compose de deux parties courbes, dont chacune s'étend, par deux branches, vers les deux points à l'infini où se rejoignent les deux parties courbes; on donne à cette courbe le nom dlii/perbole (fig. 51). Comme la droite de l'infini du plan coupe l'hyperbole, toutes les tangentes de cette courbe sont des rayons propres du plan ; il en est de même, en particulier, pour les tangentes aux points de la courbe situés à l'infini. Il existe donc deux tangentes, auxquelles l'hyperbole est tangente à l'infini, et auxquelles on a donné le nom d'asymptotes.

Nous pouvons aussi obtenir ces trois espèces de courbes du second ordre, en faisant des sections dans un cône dont le sonnnet n'est pas situé à l'infini. En effet, un plan -, mené par le sommet de la surface conique du second ordre, n'a que ce point commun avec elle, ou lui est tangent suivant un rayon s, ou enfin la coupe suivant deux rayons p et q. Dans le premier cas, tout plan 2^ parallèle à 2, coupera tous les rayons de la surface conique en des points propres et cette surface elle-même suivant une ellipse. Dans le second cas, la courbe d'intersection est une parabole, parce que le plan I.^ coupera le rayon s, qui lui est parallèle, en un point infiniment éloigné ; et la droite d'intersection de -j avec le plan de contact - sera la tangente de la parabole, qui est située à l'infini. Enfin, dans le troisième cas, la courbe d'intersection est une hyperbole, parce que les deux rayons p et q sont coupés par D^ en leurs points situés à l'infini ; et l'hyperbole se compose de deux parties courbes séparées, puisque le plan \ coupe les deux nappes de la surface conique. Nous pouvons regarder l'hyperbole, de même que toute autre courbe du second ordre, comme une courbe fermée, rentrant en ellemême, puisque toute surface conique propre, au moyen de laquelle une courbe de ce genre se projette, est une surface fermée, rentrant en ellemême.

Deux faisceaux projectifs de rayons, en position oblique l'un par rapport à l'autre dans un plan, engendrent ime ellipse, une parabole ou une hypeibole, suivant qu'ils n'ont aucun couple de rayons parallèles, qu'ils en ont un ou qu'ils en ont deux. Déplaçons l'un des faisceaux

dans son plan de manière à l'amener à être concentrique avec l'autre, mais toutefois sans changer la direction de ses rayons ; ces deux faisceaux concentriques n'auront aucun élément correspondant conuuun dans le premier cas; ils en auronl un dans le second cas et deux dans le troisième. Ce dernier cas se réalisera, si les deux faisceaux sont projectifs opposés. D'après cela, on pourra, dans bien des circonstances, reconnaître immédiatement si une courbe du second ordre, déterminée par un nombre suffisant de conditions, par exemple par cinq de ses points, est une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Cette recherche est plus difficile, quand la courbe est définie par des tangentes ou par deux ponctuelles projectives qui engendrent le faisceau du second ordre circonscrit à la courbe. Cependant, on reconnaît immé-

diatement que deux ponctuelles projectives engendreni toutes les tangentes d'une parabole à la condition que leurs points à l'infini se correspondent, et rien qu'cà cette condition ; en effet, c'est seulement dans ce cas que la droite à Finfini du plan est l'une des tangentes à la courbe.

Quand deux ponctuelles projectives ont leui-s points à l'infini qui se correspondent, on dit qu'elles sont projectivement semblables (ou projectives semblables). Mettons-les en position perspective (fig. 40), en plaçant l'un sur l'autre deux de leurs points propres qui se correspondent ; elles se présentent alors connue des sections d'un faisceau de rayons parallèles, car le centre de projection est situé sur le rayon à l'infini et se trouve en même temps à l'infini. Il en résulte, en passant, pour les tangentes de la parabole la relation métrique suivante : Deux tangentes quelconques U et Uj iVune parabole sont divisées en parties proportionnelles par les autres tangentes AA^, BB^, GC^, etc. (fig. 52). Cet exemple fait bien comprendre le sens de l'expression projectif semblable.

Nous profitons de cette occasion ponr donner les théorèmes suivants: Si les sommets (Vun IriaiKjle se meuvent, sur trois droites données, situées dans un même plan, de telle sorte que deux des côtés ne elianf/ent pas de direction, le troisième côté décrit, ou bien un faisceau dé rayons parallèles, ou bien un faisceau de rayons du second ordre, qui enveloppe une parabole.

En eflet, les faisceaux de rayons parallèles, décrits par les deux premiers côtés du triangle, engendrent sur deux des droites données deux ponctuelles projectives semblables à celle décrite sur la troisième droite et, par conséquent, ])rojectives semblables entre elles.

On donne dans un même plan iine ponctuelle u et un faisceau de rayons S, rapportés projectivement Vun à Vautre, et par chaque point de u on mène une parallèle au rayon correspondant de S. Toutes ces parallèles se coupent en un même point, ou enveloppent une parabole.

En effet, coupons le faisceau S par la droite à finfini du plan, nous obtenons une ponctuelle à Finfmi, qui est projective à u. Si elle n'est pas perspective à w, elle engendre avec u un faisceau de rayons du second ordre qui contient la droite de l'infini et qui, par conséquent, enveloppe une parabole.

Projetons une courbe du second ordre d'un point à finfini et non situé dans son plan; nous obtenons une surface conique dont le sommet est à l'infini et dont les rayons sont par consé([uent parallèles. On donne à cette surface le nom de surface cylindrique du second ordi'e. Deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes sont parallèles, engendrent donc un faisceau de rayons parallèles ou une surface cylindi'ique du second ordre. \ous diviserons les surfaces cylindriques en surfaces elliptiques, paraboliques ou hyperboliques, suivant qu'un plan quelconque, ne passant pas ])ar leur centre à l'infini, les coujiera suivant des ellipses, des paraboles ou des hyperboles; ou ce (pii revient au même, suivant qu'elles n'auront aucun rayon à l'infini, ou qu'elles en auront un ou deux.