HUITIEME LEÇON

Pôles et polaires par rapport aux courbes du second ordre.

Les théorèmes sur les 'quadrilatères, inscrits ou circonscrits à une courbe du second ordre, nous conduisent à une série de propriétés très importantes de ces courbes ; nous en avons déjà indiqué quelques-unes dans l'introduction. Nous y arrivons par les considérations suivantes:

Soit donné un point U (fig. 41, 42), choisi arbitrairement dans le plan d'une courbe du second degré, mais non situé sur la courbe elle-même.

Par ce ])oint menons deux droites qui coupent la courbe (sécantes, transversales) A G et BD; nous pouvons les considérer comme les diagonales d'un quadrilatère simple ABCD, inscrit dans la courbe. Les deux couples de côtés opposés BC et AD, AB et CD de ce quadrilatère se coupent respectivement aux points P et Q, les deux tangentes a et c aux sommets opposés A et G se rencontrent en un troisième point R et ces trois points P,Q et R sont situés sur une même droite u. Les deux tangentes b et d qu'on peut mener aux sommets B et D se coupent aussi sur cette droite (Voir les théorèmes sur le quadrilatère inscrit, pages 82 et 86).

Désignons par V et W les points d'intersection de la droite u avec ÏG et BD ; nous voyons immédiatement que V est harmoniquement séparé de U par A et G. En effet, dans le quadrilatère PBQD, les côtés opposés se coupent deux à deux en A et G, tandis que la diagonale BD passe par U et la diagonale PQ parV. De même, U est harmoniquement séparé de W par B et D. Nous pourrions donc aussi trouver u en menant J)ar U une sécante A G, en cherchant sur celle-ci le point Y harmonique-

POLES ET POLAIRES

ment séparé de U par les points A et G de la courbe et en joignant ce point V au point R où se coupent les deux tangentes menées en A et G

à la courbe. Donc, de quelque manière qu'on mène par U une seconde sécante BD, la droite u, qui se trouve déjà entièrement déterminée par la première sécante, devra contenir les points suivants:

Y\iM

'^ 1" les points P et Q, où se coupent les côtés opposés du quadrilatère ABCD,

2" le point cV intersection S des deux tangentes menées en lî et D,

7)" le point W, qui est liai'inoniquement séparé de U par les points BetD.

Nous appellerons U le pôle de la droite ii ainsi déterminée et réciproquement, nous dirons que u est \s. jjolaire du point U. Etant donné un point, on peut donc trouver facilement sa polaire par rapport à une courbe du second degré, en procédant de dilTérentes manières et au moyen de constructions linéaires. Réciproquement, on peut construire le pôle U d'une droite donnée u., en menant par deux points R et S de cette droite deux couples de tangentes a, c et b, d à la courbe du second ordre (fig. il et 42). Par le point U passent donc :

r Les diagonales du quadrilatère simple a b c d,

2° Les droites AG et RD qui joignent les points de contact de chaque couple de tangentes,

5° Les deux rayons, dont l'un est harmoniquement séparé de u par a et c, et l'autre b et d.

En elTet, le point d'intersection U de KG et BD"est le pôle de u; car, d'après ce qui précède, sa polaire se confond avec ^^, puisque les points de rencontre des tangentes menées en A et C, de même qu'en R et D, sont situés sur cette droite. De plus, la droite RU est harmoniquement séparé de u par a et c, puisque les points U et V qui appartiennent respectivement à ces deux droites sont harmoniquement séparés par les points de contact A et G de ces tangentes; de même, SU est harmoniquement séparée de u par b et d, ce qui prouve la 3** proposition. La démonstration de la r*' proposition résulte immédiatement des théorèmes précédemment établis sur le quadrilatère inscrit (page 86).

Si la polaire u d'un point U (fig. i2) coupe la courbe du second ordre, les deux droites qui joignent le point ^ aux points d'intersection sont tangentes à la courbe. En effet, si l'une de ces droites avait un autre point commun avec la courbe, ce point devrait être harmoniquement sépai'é du pi-emier par U et u et par conséquent le pi-emier point ne pourrait pas être situé sur u. Dans ce cas, la droite u est appelée la corde de conlacl du point U, c'est-à-dire la droite qui joint les points de contact des deux tangentes menées à la courbe par le point U.

Tous ces résultats peuvent être réunis dans la double proposition qui suit :

Si par un point U, situé dans le | Si par un nombre quelconque

POLES ET POLAIRES

plan de la courbe du second ordre, mais non sur cetle courbe, on mène à celle-ci un nombre quelconque de sécantes arbitraires et si Ton détermine :

1" Dans chaque quadrilatère simple inscrit à la courbe, et qui a pour diagonales deux quelcon ques de ces sécantes, les points d'intersection des côtés opposés;

2" Sur chaque sécante, le point qui est harmoniquement séparé de U par les deux points de la courbe ;

0° Le point commun aux deux tangentes menées à la courbe par les points où une sécante coupe cette dernière ;

i° Les points de contact des tangentes qu'on peut mener à la courbe par le point U ;

Tous ces points sont situés sur une même droite w, qu'on appelle lu polaire du point U, par rapport à la courbe du second ordre.

de points d'une droite u, située dans le plan d'une courbe du second degré, mais non tangente à cette courbe, on mène les deux tangentes à la courbe, et si l'on détermine :

[° Dans chaque quadrilatère simple circonscrit à la courbe, et qui a pour côtés opposés deux de ces couples de tangentes, les diagonales ;

2° Pour chaque point de u, la droite qui est harmoniquement séparée de u par les deux tangentes à la courbe, issues de ce point ;

5° La droite qui johit les points de contact de chaque couple de tangentes ;

4" Les deux tangentes aux points d'intersection de u avec la courbe, quand cette droite la coupe ;

Toutes ces droites passent par un même point U qu'on appelle le pôle de la droite u par rapport à la coui-be du second ordi'e.

Supposons qu'un point A soit situé sur la courbe du second ordre et soit a la tangente en ce point ; on dira que a est la polaire de A et que réciproquement A est le pôle de a. Il résulte de là, et de ce qui précède, que tout point du plan a une polaire par rapport à une courbe du second ordre et que, réciproquement, toute droite a un pôle.

Un point étant donné dans le plan d'une courbe du second ordre, nous dirons que ce point est extérieur ou intérieur à cette courbe, suivant qu'on pourra mener du point en question deux tangentes à la courbe ou qu'on n'en pourra mener aucune. Tous les points d'une tangente sont donc extérieurs à la courbe; le point de contact seul est situé sur la courbe.

CÉOMIÎTRIE CIIEMIX. 7

Toute droite, contenue dans le plan de la courbe, renferme une infinité de points extérieurs à cette courbe, puisque la droite a un point commun avec chacune des tangentes; et ces points se suivent d'une manière continue, puisque les tangentes se suivent elles-mêmes d'une manière continue. Tous les points d'une droite, qui sont intérieurs à la courbe, se suivent donc aussi d'une manière continue. Si donc la droite qui unit deux points A et B, extérieurs à la courbe, est cou])ée par cette dernière, ces points ne sont pas séparés l'un de l'autre par les points d'intersection ; mais on peut aller de A en B en suivant le segment extérieur à la courbe (et, nécessairement, en passant par le point à Tinfmi) sans franchir aucun point de la courbe. De même, deux points intérieurs à la courbe ne sont pas séparés l'un de l'autre par celle-ci, mais sont situés sur un segment de leur ligne de jonction qui est emprisonné par la courbe. Si donc deux points sont séparés l'un de l'autre par la courbe, l'un d'eux lui est extérieur et l'autre intérieur; car, d'après ce qu'on vient d'établir, ils ne peuvent être tous les deux ni extérieurs, ni intérieurs à la courbe. Donc :

Une courbe du second ordre divise en deux régions le plan dans lequel elle est située. On peut aller d'un point à un autre point de la même région sans traverser la courbe; mais cela nest plus possible^ quand les deux points appartiennent à deux régions différentes. Les points de lune des régions sont extérieurs à la courbe et de chacun d'eux on peut mener deux tangentes à cette courbe; les points de Vautre région, au contraire, sont intérieurs à la courbe et d'aucun d'yeux on ne peut mener de tangente à celle-ci.

Un point intérieur à la courbe est donc harmoniquement séparé de chacun des points de sa polaire par la courbe ; toute droite menée par ce point coupe la courbe en deux points, tandis que sa polaire ne la rencontre pas. Au contraire, un point R extérieur à la courbe n'est pas séparé par celle-ci de tous les points de sa polaire ; si par R l'on mène les deux tangentes à la courbe, ces droites déterminent sur la polaire un segment dont tous les points sont harmoniquement séparés de R.

La courbe, avec tous les points qu'elle enclôt, est située tout entière dans l'un des deux angles complets que forment les deux tangentes.

Dans la suite, nous aurons souvent occasion de faire usage de ces propositions, qui peuvent sembler évidentes, mais qui à notre point de vue méritent d'être démontrées. Par leur moyen, nous établissons immédiatement le théorème fondamental de la théorie des polaires :

POLES ET POLAIRES

Les polaires de tous les points d'une droite u passent par le pôle U de cette droite.

Supposons un point de u intérieur à la courbe du second ordre ; il est liarnioniquement sépai'é de U et par conséquent sa polaire doit passer par U. Supposons au contraire un point R de u (fig. 41 et 42) extérieur à la courbe, nous pouvons mener })ar ce point deux tangentes à la courbe. La droite qui joint le point de contact d'une de ces tangentes avec U est la polaire de R, puis([ue son pôle doit se trouver à la fois sur u et sur cette tangente. Supposons enfin qu'on prenne un point de u sur la courbe, la tangente en ce point est la polaire de ce même point, et elle passe également par U.

Les pôles de tous les rayons issus d'un point U sont situés sur la polaire u de ce point.

Si un rayon issu de U confie la courbe du second ordre, on obtient son pôle en menant les tangentes aux deux points d'intersection et en cherchant leur point de l'encontre. Ce dernier, comme on Ta démontré précédemment , est situé surlapolaire deU. Si, au contraire, un rayon issu de U ne rencontre pas la courbe, son pôle est intérieur à celle-ci ; il est harmoniquement séparé de tout point du rayon, et en particulier de U ; il est donc encore situé sur u. Si enfin le rayon est langent à la courbe, son point de contact se trouve sur u et il est en même temps le pôle de ce rayon.

Ces théorèmes et ceux ([ui les précèdent démontrent et établissent la loi de réciprocité, au moins pour le système plan et, en général, pour les formes fondamentales de seconde espèce. En eflét, à l'aide d'une courbe du second ordre, nous pouvons construire le système plan réciproque d'un système plan donné, en prenant les polaires de chacun des points et les pôles de chacune des dioites du système dojiné. C'est pourquoi, à l'avenir, quand il s'agira de deux propositions réciproques relatives aux systèmes plans, nous nous contentefons de démontrer seulement l'une d'elles.

Brianchon a déduit son théorème de celui de Pascal au moyen des polaires. A cet effet, il a construit le pôle de chacun des côtés de l'hexagone inscrit à la courbe en menant les tangentes aux extrémités de chaque côté et en cherchant leur point d'intersection (fig, 45). Aux côtés et aux sommets de l'hexagone inscrit correspondent ainsi les sommets et les côtés de l'hexagone circonscrit, et le point d'intersection de deux côtés quelconques de la 'première figure a })our polaire la droite

qui joint les sommets correspondants de la seconde. Mais comme les trois points, où se coupent les trois couples de côtés opposés de l'hexagone inscrit, sont situés sur une même droite w, les trois droites, qui joignent les côtés opposés de Thexagone circonscrit, passent alors par un même point U, qui est le pôle de la droite u.

On voit déjà par cette seule application quels avantages on peut retirer de la théorie des polaires. Au moyen d'une courbe du second ordre, on peut par exemple trouver, pour chaque courbe plane, un faisceau de rayons, réciproque à cette courbe, puisque tout point de la courbe a pour polaire un rayon du faisceau. Aux propriétés de la courbe

ri^A3

correspondront des propriétés du faisceau. Dans la suite, nous étudierons des relations de ce genre, mais encore plus générales.

Soient P et Q deux points quelconques d'une droite u (fig. 41 et 42); d'après les théorèmes précédents, leurs polaires p et q passent par le pôle U de u. Prenons P arbitrairement sur m, et choisissons au contraire pour Q le point d'intersection de u etp; P, Q et U sont alors les sommets d'un triangle et leurs polaires p, q et u sont les côtés opposés de ce même triangle. On donne à ce triangle le nom de triangle polaire de la coiirhe du second, ordre; chac[ue sommet est le pôle du côté qui lui est opposé. Gomme on le voit immédiatement, ces triangles polaires nous donnent la double proposition qui suit :

Les trois couples de côtés opposés de tout (piadrilatèi-e complet, inscrit dans une courbe du second degré, se coupent aux som-

Les trois couples de sommets opposés de tout quadrilatère complet, circonscrit à une courbe du second degré, sont situés sur les

POLES ET POLAIRES. 101

mets d'un triangle polaire de la courbe.

côtés d'un triangle polaire de la courbe (pages 96-07).

A tout triangle polaire PQU correspondent une infinité de quadrilatères inscrits à la courbe et dont les trois couples de côtés opposés se coupent en P, Q et U. Menons par P une sécante quelconque BG à la courbe (fig. M et 42), joignons les deux points B et G de la courbe au point U et prolongeons les droites BU et GU jusqu'à ce qu'elles coupent de nouveau la courbe respectivement aux points D et A ; ABGD est l'un de ces quadrilatères inscrits (dont le nombre est infini), comme on le démontre facilement.

Supposons maintenant que, dans le quadrilatère inscrit, les sommets A et G ainsi que le point U lui-même restent fixes, mais que le point P se meuve sur la polaire w de U; le sommet B se déplacera sur la courbe. Les droites PB et QB décriront donc autour des centres G et A deux faisceaux projectifs de rayons et les points P et Q décriront aussi deux ponctuelles projectives qui sont des sections de ces faisceaux. Nous en déduisons que le faisceau, décrit autour de U par la polaire UQ ou p du point P, est projectif à la ponctuelle u que décrit en même temps le point P en se déplaçant sur u. Donc :

Si un point P décrit une ponctuelle u, sa polaire p décrit en même temps un faisceau de rayons U, qui est projectif à la ponctuelle.

Gette proposition fait connaître d'une manière plus intime la dépendance qui existe entre une figure quelconque et sa figure polaire. Par exemple, nous en déduisons le théorème suivant :

Etant données dans un même plan deux courbes du second ordre X et X, cherchons les polaires par rapport à Vune d'elles X de tous les points de Vautre courbe x; toutes ces polaires enveloppent une troisième courbe du second ordre.

En effet, imaginons que x soit engendrée au moyen de deux faisceaux projectifs de rayons U et V ; ces faisceaux ont pour figures correspondantes deux ponctuelles u ei v qui leur sont projectives et qui par suite sont projectives entre elles. Ges ponctuelles engendrent le faisceau de rayons du second ordre qui enveloppe la troisième courbe.

Dans la théorie des courbes du second ordre, on emploie souvent les dénominations qui suivent :

Deux points du plan sont dits | Deux droites du plan sont

conjugués par rapport aune courbe du second ordre, quand l'un d'eiLX, et par suite quand chacun d'eux, est situé sur la polaire de l'autre.

dites conjuguées par rapport à une courbe du second ordre, quand l'une d'elles, et par suite quand chacune d'elles, passe par le pôle de l'autre.

I^n point est donc conjugué à tout point de sa polaii'e et une droite à toute droite qui passe par son pôle. Les sommets, et par suite aussi les côtés de tout triangle polaire de la courbe sont ainsi conjugués deux à deux. Un point situé sur une courbe du second ordre est conjugué à lui-même, puisqu'il se trouve sur sa polaire qui est la tangente; et une tangente de la courbe est conjuguée à elle-même puisqu'elle passe par son pôle, qui est son point de contact.

Si la droite . f[ui joint deux points conjugués A et B, coupe la courbe du second ordre, A et B sont harmoniquement séparés par les deux points d'intersection. En effet, la polaire de A passe par B et contient tous les points qui sont harmoniquement séparés de A par deux points de la courbe.

Si, par le point d'intersection de deux droites conjuguées a et b, il est possible de mener des tangentes à la courbe du second ordi-e, a et b sont harmoniquement séparés par ces tangentes. En effet le pôle de a est situé sur b et par ce point passent tous les rayons qui sont harmoniquement séparés de a par deux tangentes de la courbe.

La courbe du second ordre contient donc dans son intérieur un sommet de tout triangle polaire, et les deux autres sommets lui sont extérieurs ; elle coupe donc deux des côtés d'im triangle polaire quelconque, mais ne rencontre pas le troisième.

De la définition des points et droites conjugués il résulte encore que :

Si deux points A et B sont conjugués tous deux à un même point C, la droite AB est la polaire de C.

En effet, la polaire de C doit passer aussi bien pnr A que ])nr R.

Si deux droites a etb sont conjuguées toutes les deux à une même droite c, leur point d'intersection ab est le pôle de c. En effet, ce pôle doit être situé aussi bien sur A que sur B.

POLES ET POLAIRES

SoieiU n et v fleux droites du plan, qui sont conjuguées l'une a l'antre; atout point 1' de » nous pouvons faire correspondre le point P, de. qui lui est conjugué; les ponctuelles « et , sont alors pvojecttves l'^ne à l'autre. En eiïet, v est une section du faisceau de rayons V, qm se t, compose des polaires de tous les poinis de u et qui (d'après lapjtge 101) est proiectif à la ponctuelle u. Les droites qui joignent les pomts coniu<.uésP et P, situés sur les droites u et v formeront donc un faisceau défrayons du premier ou du second ordre, suivant que le point u« sera coniugué à lui-même (c'est-à-dire situé sur la courbe du second ordre) ou qu'il ne le sera pas. Gomme P est co njngué en même temps aux points P, et U^,P:C est la polaire de P et PP, est conjuguée a la droite FD Nous obtiendrons donc ces mêmes faisceaux du premier ou du second ordre, en menant par chaque point P, de v le rayon qui est con-

iuffué à la droite FjO.

Soient maintenant, d'autre part, U et V deux points du plan, non conjugués ; à tout rayon v passant par D nous |,ouvons faire correspondre

de rayons U et Y sont alors projectifs l'un à l'autre. En eflet U est une projection de la ponctuelle v à laquelle appartiennent les pô es de tons les ravons de V et qui est projective au faisceau de rayons V. Les taisceaux'u et V engendreront donc une ponctuelle du premier ou du second ordre, selon que le rayon commun UV sera ou ne sera pas conjugué à lui-même (c'est-à-dire sera ou ne sera pas tangent a la courbe donnée du second ordre). Comme ,,, est conjugué en même temps aux ravons p et v, pv est le pôle de p, et le point pp, est conjugue au point „;. Nous obtiendrons la ponctuelle du premier ou du second ordre, dont il vient d'être parlé, en déterminant sur chaque rayon p de U le point qui est conjugué au point pv. Nous avons de la sorte les théo-

rèmes ci-après : i -.^ .,

Étant donnés dans le plan d'une courbe du second ordre «ne droite ,

et un point V non situé sur cette droite :

Déterminons sur chaque rayon Menons par cliacine point de ,

passant par U le point conjugué dn point d'intersection de ce rayon avec la droite v ; tous ces points seront situés sur une courbe du second

le rayon coi.ijugué de la droite qui joint ce point au point U ; tous ces rayons envelopperont une courbe du second ordre tangente à la

ordi^, passant par le pôle V de la ! polaire u de U, à . et aux tangentes

GÉ<mE'IT,lE DE POSITION.

droite v, par U et ])ai' les points de contact des deux tanf2;entes qu'on peut mener du point l) à la courbe du second ordre donnée.

Dans le cas où v passe par l'un de ces points de contact, et où, par conséquent la droite UV est une tangente à la courbe donnée du second ordre, nous obtenons une ponctuelle rectiligne, au lieu d'une courbe du second ordre'.

menées aux deux points où la courbe du second ordre donnée est coupée par v. Dans le cas où U est situé sur une de ces tangentes et où, par conséquent, le point uv appartient à la courbe donnée, nous obtenons un faisceau de rayons du premier ordre, au lieu du système des tangentes à une courbe du second ordre.

La courbe du second ordi'e et le point U donnés, restant invariables, à tout point du plan correspond un point conjugué qui est situé avec le j)renùer sur un rayon passant par U; au contraire, à toute droite correspond en général une courbe du second ordre.

Supposons, maintenant, que la courbe du second ordre et la droite v données (proposition de droite) restent fixes ; à tout rayon du plan correspond un rayon conjugué qui coupe le premier en un point situé sur V ; à tout faisceau de rayons du premier ordre correspond, en général, un faisceau de rayons du second ordre. Nous arrivons, de cette manière, à deux cas particuliers de là correspondance géométrique du second ordre.

Notre mode de démonstration (page 105-104) nous fournit encore les théorèmes suivants :

Étant donné un triangle ^MB^ (fig. 44), inscrit dans une courbe du second ordre, toute droite conjuguée à lun des côtés AB^ coupe les deux autres côtés en deux points

Étant donné un triangle UVW (fig. 45), circonscrit à une courbe du second ordre, tout point conjugué à l'un des sommets est projeté des deux autres sommets sui-

1. Comme cas particulier du théorème de gauclie, nous citerons la proposition suivante :

Les points milieux de touica les cordes d'une courbe du second ordre, i/ui convergent vers U7i mrme point propre donné, et d'ailleurs quelconque, sont situes sur une autre courbe du second ordre.

Dans ce cas, la droite v est située à linlini et ciiaciin des points 'milieux est harmoniquement séparé par la courbe d'un point situé à l'inlini; il est donc conjugué à ce dernier.

POLES ET POLAIRES

conjugués. Et réciproquement, si une droite coupe deux des côtés

vaut deux rayons conjugués. Et réciproquement, si un point est

du triangle en deux points conjugués, elle passe par le pôle du

projeté de deux des sommets du triangle suivant deux rayons con-

troisième côté.

jugués, il est situé sur la polaire du troisième sommet.

En effet, les ponctuelles AM ou u et B^M ou v (fig. 44) sont perspectives l'une à l'autre, si à chaque point de u on fait correspondre le point de V qui lui est conjugué ; car le point M, commun à m et z;, est conjugué à lui-même. Mais le sommet S du faisceau de rayons engendré par 21 et V doit être situé sur la tangente menée en A, puisque le point d'intersection Aj de cette droite avec v est conjugué au point A; pour la même raison, S est situé sur la tangente au point B^. Donc S est le pôle de ABj et toute droite menée par ce point coupe u et v en deux points conjugués. Le théorème de droite peut se démontrer d'une manière

analogue; son exactinifle s'établll du rcslc au uioyen de la loi de réciprocité.

Nous terminerons cette séi-ie de théorèmes en démontrant celui qui suit ; nous laisserons au lecteur le soin de ti-ouver son réciproque.

Si. une coiirhe du second ordre est coupée par deux rayons conjugués AC et BD {fig. 46), les quatre points d'intersection A, B, G, 1) sont quatre poi?its harnwnicpi es, et les tangentes a, b, c, d en ces points sont quatre tangentes liarnioniques de la courbe.

Le pôle Q de AC où se coupent les tangentes a et c doit se trouver sur la droite BD, pai'ce (pie cette dernière est conjuguée à AC ; de même le point d'intersection \\ de h Qid est situé sur AC. Soit P le point d'intersection de AC et BD; P, B, Q, D sont quatre points harmoniques et RQ, 6, RP et d sont quatre rayons harmoniques. Donc les rayons C\, CB, c et CD sont quatre rayons harmoniques et les points ca.

ch, C et cd sont quatre points harmoniques. Les points A, B, C, D «ont projetés de C, et par suite de tout autre point de la courlje, suivant quatre rayons harmoniques, et les tangentes «, h, c, d sont coupées par c, et conséquemment par toute autre tangente de la courbe, en quatre points harmoniques.

Tous les théorèmes qu'on vient d'établir pour les courbes du second ordre, s'appliquent immédiatement aux cônes du second ordre, puisqu'un plan sécant, ne passant pas par leur sommet, les coupe suivant des courbes du second ordre. Nous ne répéterons ici que les théorèmes qui suivent :

Étant donnés, dans une gerbe de rayons, une surface conique du second ordre et un rayon s, non situé sur cette surface, menons par s un nombre quelcojique de plans, qui coupent cette surface, et déterminons '

POLES ET POLAIRES. 107

1» Denis chaque plan, le rayon qui est liarmoniquement sépare' de s par la surface conique;

2" La droite commune aux deux plans lanqents à la. surface, suivant les rayons oii le plan sécaiil la rencontre;

3° Les rayons suivant lesquels se coupent les faces opposées de tout quadrarête, inscrit dans la surface et dont les phois diagonaux sont deux plans sécants quelcompies menés par s;

4" Le rayon de contact de chacun des plans tanyeuts quou peut métier j)a.r s à la surface:

Tous ces rayous sont situés dans un même plan - qu'on apjielle le PLA^ poLAiHK du rayon s.

Nous laissons au lecteur le soin d'étenrlre aux surfaces conii(|ues du second ordre les autres théorèmes de la théorie des polaii-es; nous ajouterons seulement f[u'on donne à .9 le nom de rayon polaire (hi plan il ])ai' rap])ort à la surface comique du second orche.