DIAMÈTRES ET AXES

Sur ce diamètre sont situés les points de contact des deux tangentes qu'on peut mener à la courbe parallèlement aux cordes ([ue le diamètre divise en deux parties égales.

Les deux tangentes menées à la courbe aux extrémités d'ujic de ces cordes se coupent en un |)oiiil du diamètre (page 97); la corde est donc conjuguée au diamètre.

Nous avons trouvé précédemment (page 90) que les polaires de tous les points d'une droite se couj)ent au pôle de cette droite. Pour les diamètres d'une courbe du second ordre, cette proposition s'énonce ainsi :

Tous les diamètres cVune courbe du second ordre se coupent en un seul et même point (jui est le pôle de la droite à Vinfîni.

Si la courbe est une parabole, elle est tangente à la droite à l'infini et le point de contact lui-même (page 97) est le pôle de la droite à l'infini ; ou autrement dit :

Les diamètres d'une parabole sont parallèles et passent tous par le point delà parabole qui est situé à V infini.

Si, au contraire, la courbe est une ellipse ou une hyperbole, le pôle de la droite à l'infini est un point propre ; on lui donne le nom de centre de la courbe, parce qu'il jouit de la propriété suivante :

Toute corde menée par le centime d'une courbe du second ordre est divisée par ce point en deux parties égales.

La parabole n"a pas de centre; cela résulte du théorème qui suit :

Si deux cordes d'une courbe du second ordre se coupent mutuellement en deux parties égales^ leur point d' intersection est le pôle de la droite à Vinfini et ces cordes elles-mêmes sont par conséquent des diamètres de la courbe.

On reconnaît que ce théorème est exact, en remarquant que le point d'intersection des cordes est harmoniquement séparé par la courbe des points à l'infini sur ces cordes. Comme le pôle de la droite à l'infini par rapport à une parabole est identique avec le point de cette courbe qui est situé à l'infini, il n'y a pas, dans la parabole, de cordes qui puissent se couper mutuellement en deux parties égales.

Les asijmptotes d'une hyperbole se coupent au centre de cette courbe.

En effet les tangentes aux points où une droite rencontre une courbe du second ordre passent par le pôle de cette droite. — Le centre d'unehyperbole est extérieur à la courbe; au contraire le centre d'une ellipse est à l'intérieur (page 98).

A tout diamètre d'une ellipse ou d'une hyperbole correspond un dia-

no

mètre qui lui est conjugué ; chacun d'eux passe par le pôle de Tautre (qui est situé àTinfini).

Toute corde (Vwie ellipse ou d'une hyperbole, qui est parallèle à un diamètre de la courbe, est divisée eti deux parties égales par le diamètre conjugué au premier.

Kii elVet, elle passe par le pôle de ce second diamètre. Élaiit donnés deux diamètres conjugués, si l'un d'eux coupe la courbe, les tangentes aux deux points d'intersection sont parallèles à l'autre. Cette propriété doinie le moyen de trouver simplement le diamètre conjugué à un diamètre donné.

Dans tout parallélogramïne circonscrit à une courbe du second ordre, les diagonales sont deux diamètres conjugues.

Dans tout parallélogramme inscrit dans une courbe du second ordre, les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués.

Les diagonales du parallélogramme inscrit, aussi bien que celles du

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parallélogramme circonscrit (fig. 48) sont des diamètres de la courbe, parce que leur point d'intersection a pour polaire la droite à l'infini. Par ce point d'intersection menons deux parallèles p et q aux côtés du parallélogramme inscrit ; chacune d'elles divise en deux })arties égales les côtés parallèles à l'autre ', p et q sont donc deux diamètres conjugués. Les pôles des quatre côtés du parallélogramme inscrit sont aussi situés sur p et q; autrement dit, p et q sont les diagonales du quadrilatère circonscrit, dont les côtés sont tangents à la courbe du second ordre aux sommets du quadrilatère insciit. Mais le quadrilatère circonscrit est un parallélogranune, parce que les tangentes aux extrémités d'un diamètre sont parallèles; et le parallélogramme ainsi construit peut être regardé comme un parallélogramme quelconque circonscrit à la courbe.

Le théorème précédent peut aussi s'énoncer comme il suit :

DIAMETRES CONJUGALES.

Les deux cordes, qui joignent un point quelconque d' une ellipse ou d' une hyperbole aux extrémités d'un diamètre, sont parallèles à deux diainètres conjugués de la courbe.

D'api'ès cela, étant (louiiés deux couples de diamètres conjugués et LUI point d'une courbe du second ordre, ou peut facilement trouver cinq autres })()ints de la courbe. A cet eflet, on mène le diamètre qui passe par le point donné P, et l'on détermine le second point Q où cette droite rencontre la courbe, en s'appuyant sur ce que le centre divise PQ en deux parties égales. Sur PQ comme diagonale, on construit ensuite deux parallélogrammes dont les côtés sont respectivement parallèles à chacun des couples de diamètres conjugués. Les deux couples de nouveaux sommets de ces parallélogrammes sont également situés sur

la courbe du second ordre. On peut de même construire facilement cinq tangentes à une courbe du second ordre, quand on connaît déjà une tangente et deux couples de diamètres conjugués de cette courbe.

-S'ï deux diamètres quelconques d'une courbe du second ordre sont toujours perpendiculaires Vun à Vautre, la courbe est un cercle.

Dans ce cas, en effet, les côtés de tout parallélogramme inscrit sont perpendiculaires entre eux ; le parallélogramme est donc un rectangle et ses diagonales, qui sont deux diamètres conjugués quelconques, ont même longueur ; il en est donc de même pour tous les diamètres de la courbe.

Le cercle est une courbe du second ordre ; cela résulte de la propriété dont jouissent les angles inscrits dans le même segment (connue L ASB et LAS^B, fig. 49) d'être égaux entre eux. En effet, en vertu de cette propriété, le cercle est engendré par deux faisceaux de rayons S et S^ égaux entre eux et par conséquent projectifs. On peut de même démontrer directement que toutes les tangentes d'un cercle forment un

il2 GÉOMÉTRIE DE POSITION.

faisceau du second ordre. Les coniques des anciens, c'est-à-dire les courbes obtenues en coupant par un plan une surface conique à base circulaire, sont donc des courbes du second ordre.

En effet, une surface conique à base circulaire peut être ])rojetée de deux de ses rayons suivant deux faisceaux projectifs de plans. Nous démontrerons plus tard que non seulement une conique est une courbe du second ordre, mais que léciproquemont toute courbe du second ordre est une conique, ou bien que par toute courbe du second ordre on peut faire passer des surfaces coniques, qui jiourront être coupées suivant des cercles.

Comme les propriétés projectives des cercles s'obtiennent de la manière la plus simple, tous les auteurs qui, à l'exemple de Steiner et Ghasles, ont fondé la géométrie moderne sur le calcul, ont pris le cercle pour point de départ de leur étude des courbes du second ordre. En'suivant cette marche, il faut encore prouver que deux formes fondamentales uniformes projectives ne peuvent engendrer d'autres courbes du second ordre que les coniques. En effet, s'il en avait d'auti'es, il faudrait démontrer à nouveau pour ces courbes tous les théorèmes établis pour le cercle; il faudrait prouver, par exemple, qu'elles sont projetées de deux quelconques de leurs points suivant deux faisceaux projectifs de rayons et que toutes leurs tangentes sont coupées par deux quelconques d'entre elles suivant des ponctuelles projectives. En effet, ces théorèmes ayant été étabhs pour le cercle, ils ne peuvent s'appliquer directement qu'aux sections faites dans des cônes à base circulaire.

Si une courbe du second ordre a plus d'un couple de diamètres conjugués rectangulaires^ c'est 7in cercle.

En effet, par les extrémités A et B d'un diamètre menons des parallèles à deux diamètres conjugués rectangulaires ; nous formerons un rectangle inscrit à la fois à la courbe du second ordre et à un certain cercle. Un autre couple de diamètres conjugués rectangulaires nous donnera un autre rectangle ayant la même diagonale AB. En outre des points A et B, le cercle aura donc au moins quatre points comnmns avec la courbe et par conséquent il se confondra avec elle (page 75).

Quand deux diamètres conjugués sont rectangulaires, on leiu' donne le nom à' axes et l'on appelle sommets les points où ils coupent la courbe. Le cercle est la seule courbe du second ordre qui ait plus d'un couple d'axes, puisque deux quelconques de ses diamètres conjugués constituent un couple d'axes. Pour résoudre ce problème:

Construire les axes cViine ellipse ou d'une hyperbole.

Nous procéderons de la manière suivante. Du centre de la courbe nous décrirons une circonférence qui ait un diamètre AB (fig. 50) de la courbe pour diamètre ; cette circonférence coupera les tangentes menées aux extrémités du diamètre et par suite la courbe elle-même. Chacune des deux demi-circonférences, séparées par le diamètre, se trouve donc en partie à Tintérieur et en partie à l'extérieur de la courbe. Les quatre points d'intersection de la circonférence avec la courbe sont les sommets d'un rectangle inscrit, aux côtés desquels les axes sont parallèles. Il résulte de cette construction ([ue :

Lellipse, de même que lliyperhole, na qiiun seul couple d'axes.

On peut dire aussi qu'un axe, dans une courbe du second ordre, est

no. 50

un diamètre perpendiculaire aux cordes qui lui sont conjuguées et qu'il divise en deux parties égales. La parabole n'a qu'un axe ; il renferme les points milieux de toutes les cordes perpendiculaires à la direction commune des diamètres de cette courbe. Chaque axe sépare une courbe du second ordre en deux moitiés symétriques.

Deux droites conjuguées sont harmoniquement séparées (page ^) par les deux tangentes qu'on peut mener à la courbe par leur point d'intersection.

Donc :

Deux diamètres conjugués de lliyperbole sont harmoniquement sépares par les asymptotes. Vun d'eux coupe donc la courbe, mais l'autre ne la rencontre pas. Les axes de l'hyperbole sont les bissectrices des angles formés par les asymptotes (page 45).

Les asymptotes déterminent donc sur toute droite parallèle à un diamètre un segment dont le point milieu est situé sur l'autre diamètre

(page 45). Si la droite coupe la courbe ou lui est tangente, le milieu (le la corde interceptée sur la droite, ou son point de contact, coïncide avec le milieu de ce segment. De là résultent ces théorèmes (voir fig. 52).

Les deux segments de toute sécante à llnjperhole, compris entre la courbe et ses asymptotes, sont écjaux.

Le segment intercepté par les asymptotes sur la tangente à une hyperbole est dirisc en deux parties égales par le point de contact.

La première de ces propriétés peut être utilisée pour construire l'hyperbole d'une manière très simple, ({uand on en connaît les deux asymptotes et un point propre. En eiïet, on ]jeut immédiatement trouver un second point de la courbe sur une sécante quelconque menée par le point donné.

Les axes de l'hyperbole ne déterminent que deux sommets sur cette courbe ; l'ellipse au contraire en a quatre, puisque ses deux axes la coupent tous les deux; la parabole n'a qu'un sommet propre, puisque son axe la rencontre pour la seconde fois en ini point situé à l'infini.

Une hyperbole est dite équilatèie, quand ses asymptotes sont perpendiculaires entre elles. Les angles que font entre eux deux diamètres conjugués de l'hyperbole équilatère ont les asymptotes pour bissectrices (page 45). D'après cela, quand un diamètre pivote autour du centre, son conjugué tourne en sens inverse, mais d'une manière telle que les deux faisceaux décrits par ces diamèti-es sont égaux. Les faisceaux projectifs de rayons suivant lesquels l'hyperbole équilatère est projetée des extrémités d'un diamètre sont donc égaux entre eux ; en efï'et deux rayons correspondants de ces faisceaux sont parallèles à deux diamètres conjugués (page 111), puisqu'ils se coupent en un point de l'hyperbole.

Joignons le milieu D d'une corde ÂB d'une parabole au point de concours C des tangentes en A et B ; la droite ainsi obtenue est un diamètre de la parabole ; en effet, c'est la polaire du point à l'infini sur AB (page 97). Mais G et D sont harmoniquement séparés l'un de l'autre par les deux points d'interseclion de la droite CD avec la parabole. Or l'un de ces points est à l'infini ; donc l'autre E divise en deux parties égales le segment CD et par conséquent :

La droite qui, dans la parabole^ joint le jiôle d*une cordeau milieu de cette corde, est divisée en deux parties égales par la parabole.

On voit de la môme manière que, dans une hyperbole, les deux droites parallèles aux asymptotes, menées d'un point quelconque du

plan à la polaire de ce point, sont divisées en deux parties égales par la courbe.

Telles sont les relations métriques les plus importantes qu'on peut déduire dès maintenant de la théorie des polaires dans les courbes du

Fi^ 51.

second ordre. Les théorèmes sur les quadrilatères et les triangles inscrits et circonscrits nous conduisent à quelques propriétés métriques de ces courbes qui ne manquent pas non plus d'intérêt. Prenons en particulier le théorème suivant (page 82) :

Les deux diagonales d'un quadrilatère BB^^D^D circonscrit à une courbe du second ordre se coupent en un point S, situé sur la droite qui joint les points de contact de deux quelconques des côtes opposés.

Supposons que la courbe soit une hyperbole et que les deux couples de

côtés opposés soient les deux asymptotes et deux tangentes quelconques (fig. 52). S est situé sur la droite à l'infini et les deux diagonales BD^ et B^D sont parallèles. Les deux triangles D^DB et D^B^B, qui ont même base DjB, ont donc des surfaces équivalentes, et il en est encore de même pour les triangles D^AD et B^AB qui ne dilïèrent des précédents que par le triangle commun D^AB. Donc :

Les triangles formés par les asymptoles (Tune hyperbole et par des tangentes quelconques ont d^s aires égales.

Les deux diagonales parallèles BD^ et B^D et le centre A interceptent sur les asymptotes des segments proportionnels ; nous avons ainsi :

'-liL :^ ^ ; ou bien : A ]\ x A P,, = A 1) x A D^,

c'est-cà-dire que le produit des segments déterminés sur les deux asymptotes par une tangente BB^ (ou DDJ est constant. Par le point de contact P de la tangente BB^, menons une parallèle PQ à l'une des asymptotes jusqu'à sa rencontre avec Tautre. Comme P divise en deux parties égales le segment BB^ intercepté sur la tangente (page 114),

PO ou y = ^^ AB, AQ 011 X =: - AB

Mais comme le produit AB X AB^^ ne change pas, quand la tangente BBj occupe une autre position, xy reste aussi constant quelle que soit la position du point P sur l'hyperbole. Donc :

Si Von choisit les asymptotes d'une hyperhole pour axes d'un système de coordonnées parallèles^ V équation de cette courbe sera xy = const.

On met ainsi en évidence la liaison qui existe entre la théorie synthétique et la théorie analytique de l'hyperbole.

Dans les éléments de la géométrie analytique, on a l'habitude de rapporter l'ellipse et l'hyperbole, exprimées en coordonnées ordinaires, à deux diamètres conjugués. En appliquant ce procédé aux courbes du second ordre, nous démontrerons sans grande peine leur identité avec les courbes représentées analytiquement par des courbes du second degré.

Étant donnés deux diamètres conjugués 0\, 0 V (fig. 55), il y en a au

moins un, OX par exemple, qui coupe la courbe du second ordre (page 114), et les tangentes u et z/j aux deux points A et G où il rencontre la courbe sont parallèles à l'autre diamètre conjugué OY. Nous allons d'abord démontrer la proposition suivante:

Le produit des segments ÂB et C^Bj, interceptés sur les tangentes

Il et Uj par une tangente quelconque BBj de la courbe du second degré, est constant.

En effet, une quatrième tangente quelconque DD^ forme avec les trois précédentes un quadrilatère circonscrit à la courbe, dont les diagonales ^^^ et BJD se coupent en un point S du diamètre ÀG^. On déduit de là la proportion.

^ = ^ •' ou bien AB x G.B . = AD x C,D,

Ge produit est donc constant ; il sera positif, et aura pour valeur + h^ quand la courbe est une ellipse ; h est fe diamètre de l'ellipse dirigé suivant UY, comme on le voit aisément en menant DD^ parallèle à OX. Dans le cas de l'hyperbole, le produit AB x G^B^ est négatif et égal à — 6^, parce que les segments AB et G^Bi ont des directions opposées; h est la grandeur absolue du segment déterminé par chacune des asymptotes sur les tangentes parallèles w et m^.

Les trois tangentes u, u^ et BB^, dont la dernière a pourpoint de contact le point P, forment un triangle circonscrit à la courbe, qui a pour sommets B, Bj et le point à l'infini sur le diamètre OY; les trois droites, qui joignent les points de contact des côtés aux sommets opposés, se

coupent donc en un même point (page 85) ; c'est-à-dire que le point R, où se cou])ent les droites BC^ et AU^, est situé sur l'ordonnée y ou PQ (In point P, Mais comme :

il faut que