OU (}C^ PB^ RP

OB = BP =r PO, ou -, II.

L'équation de la courbe du second ordre s'obtiendra mainlenant en multipliant membre à membre les deux relations :

QR QC, QB^AQ

/VB"~ÂC; ^^ C,B^~/VCj

et en faisant dans le résultat : QB = -^ i/, AB. (\]\^ = ± b^

ACj r- 2.A0 = 2a, 00 = j\ QC, = a -ic et AQ ^a-i-x. Nous avons ainsi

if fl-

ou bien —^±'-h = 1 .

Le signe supérieur donnera l'ellipse et le signe inférieur l'hyperbole.

Cette équation est vérifiée par les coordonnées j:,ij d'un point quelconque P de la courbe du second ordre, quand cette dernière est rapportée à deux diamètres conjugués.

Quand la courbe est. une parabole, on prend habituellement pour axe des ordonnées une tangente quelconque OY (lig. 54) et pour axe des abcisses le diamètre OX qui passe par le point de contact 0 de OY. Deux autres tangentes quelconcjues AP et AP^ qui coupent ÔY en B et B^, constituent les deux côtés opposés d'un quadrilatère, circonscrit à la courbe, dont les deux autres côtés opposés sont OY et la droite à l'inlini ; le point d'intersection S des deux diagonales de ce quadrilatère est donc situé sui- les deux droites PP^ et OX^qui joignent les points

de contact des couples de côtés opposés. Mais comme le quadrilatère A13SB^ est pour cette raison un parallélogramme, que les triangles BPS

et B^SP^ sont semblables et que de plus les ordonnées PQ et P^Q^, ou y et y^, des points P et P, sont pai'allèles, nous avons:

.j;-SP,-B,S-AB'

et de même

11 en résulte que :

V BS AB,

BP ABj a n^

C'est le théorème que nous avons démontré précédemment : deux tangentes quelconques JV et ÂPi d'une parabole sont divisées par toutes les autres tangentes en parties proportionnelles.

Menons ÂR parallèle à OX et prenons K sur ÔY ; nous avons :

AK AB^]^ t

OQ BP?^ ÂK ~" AB ~~ v//

Multiplions ces équations membre ù membre, il vient OQ/r , -H — IL,

C'est-à-dire : les abscisses x et x^ des deux points P et P^ de la parabole sont entre elles comme les carrés des ordonnées correspondantes. Habituellement, on écrit l'équation de la parabole sous la forme

y^ := 2px, en posant ^ = 'ip.

DIXIEME LHOON.

Systèmes réglés et surfaces réglées '

La considération de deux formes fondamentales uniformes projeclives, qui sont situées dans le même plan ou qui appartiennent à la même gerbe de rayons, nous a conduits aux courbes, aux faisceaux de rayons et aux surfaces coniques du second ordre. Nous allons examiner maintenant si deux formes fondamentales projectives de première espèce ne peuvent pas engendrer d'autres formes que celles dites du second ordre. Nous trouvons d'abord que :

Un faisceau de rayons S et une ponctuelle projective u engendrent le même faisceau de plans du premier, ou du second ordre, que le faisceau donné S et le faisceau de rayons qui projette u du sommet S.

En effet, le plan qui réunit im point de u et le rayon correspondant du premier faisceau passe aussi par le rayon correspondant du second faisceau.

Un faisceau de rayons S et un faisceau de plans u qui lui est projectif engendrent la même ponctuelle du premier, ou du second ordre, que le faisceau S et celui suivant lequel u est coupé par le plan de S. En effet, le point où se rencontrent un plan de u et le rayon correspondant du premier faisceau est situé aussi sur le rayon correspondant du second faisceau.

1. La langue française ne contenant pus de mot absolument équivalent au mot regelschaar, nous avons dû traduire ce dernier par système réglé (système qui peut être formé d'un nombre fini de rayons), par opposition à regelfldche surface réglée (qui contient une infinité de rayons).

Deux faisceaux projeclifs de rayons, situés d'une niauière quelconque dans l'espace, n'engendrent pas de forme nouvelle (tout au moins, pas immédiatement). En ellVt, deux rayons quelconques, ([ui se correspondent, ne sont généralement pas dans un môme plan et par suite n'ont pas de point d'intersection commun. De même, une ponctuelle et un faisceau de plans qui lui est projectif n'engendi-ent ])as de forme nouvelle, puisqu'un point de la ponctuelle et le \)hm qui lui coirespond dans le faisceau ne déterminent pas d'élément pouvant appartenir à une troisième forme.

Nous n'obtiendrons donc de formes nouvelles qu'en considérant deux ponctuelles ou deux faisceaux projectifs de plans, situés d'une manière quelconque dans l'espace.

Soient v et v^ deux ponctuelles projectives, non situées dans le

même plan ; elles engendrent un système V, formé des droites qui unissent deux à deux les points correspondants des ponctuelles, et que nous appellerons système de rayons ou système rcglé. Deux quelconques de ces rayons ne sont jamais dans un même plan ; car s'il en était autrement, deux points de ii et deux points de n^ seraient dans ce même plan; il en serait donc de même pour m et w^, ce qui est contraire à l'hypothèse. Le système continu des rayons d'un système réglé constitue une surface courbe, appelée surface réglée, et qui a les propriétés suivantes :

La surface réglée est encore engendrée par un second système U de rayons. Toute droite d'un des systèmes rencontre toutes les droites de Vautre système; au contraire, deux droites d'un même système ne sont jamais situées dans un même plan.

Tout point, situé sur un rayon (le l'un des systèmes, est aussi sur

Tout plan, qui passe par un rayon de Tun des systèmes, con-

nu rayon de l'autre. [ tient aussi un rayon de l'autre.

En eiïet, soient i;, i\, v^, trois rayons quelconques du système V, qui joignent chacun deux points correspondants de u et u^ et soit u^ une di'oite qui rencontre aussi les trois rayons v, v^ v^. Projetons les ponctuelles u et ?/j de l'axe w.^ ; nous obtenons deux faisceaux ])rojectifs de plans, qui ont les trois plans uj), u^t\ et w^y^ communs et qui, par conséquent, ont tous leurs éléments correspondants communs (voir page 55).

Deux points correspondants quelconques de u et u^ sont donc dans un même plan avec ii^-^ et par conséquent u^ sera rencontré par chacun des rayons du système réglé V. Il en sera de même pour toute autre droite u. qui coupe les trois rayons v, v^, i\. Donc :

Le système réglé U se compose de toutes les droites qui coupent trois rayons quelconques v, v^ v^ du système réglé V. De même le système V se compose de toutes les droites qui coupent trois rayons u, Uj, u,, du système U.

Chacun des rayons d'un système est appelé une directrice de l'autre système, et chacun des deux systèmes est dit le système directeur de l'autre. La surface réglée peut donc être décrite de deux manières différentes par une droite qui glisse sur trois droites fixes telles que deux quelconques d'entre elles ne soient pas dans un même plan. Les trois droites fixes sont les directrices du système réglé décrit par la droite mobile. Celle-ci rencontre une fois chacun des jxjints de toute directrice et se trouve une fois dans chacun des plans ([u'on peut faire passer par ime directrice (comp. page 26). Ces considérations démontrent donc les ihéorèmes énoncés précédemment.

Deux faisceaux projectifs de plans, 7i et u^ dont les axes ne sont pas situés dans un jnême plan, engendrent un système réglé. Ce dernier s'obtient aussi au moyen des ponctuelles projectives u et u^ dont la première est la section du faisceau u^ par la droite u et dont la seconde est la section du faisceau u par la droite u^. En effet, chaque droite, suivant laquelle se coupent deux plans correspondants de ces faisceaux, joint aussi l'un avec l'autre deux points correspondants de ces ponctuelles.

Un système réglé est coupé par | Un aystème réglé est projeté de

deux quelconques de ses directrices suivant des ponctuelles projectives.

deux quelconques de ses directrices suivant des faisceaux projectifs de plans.

En effet, soient lu, u\, u\^ trois directrices du syst-Mue réglé, c'està-dire trois droites telles que chaque rayon du systèjue les coupe. Nous obtiendrons autant de rayons du système réglé que nous voudrons, soit en faisant passer une série de plans par w^, et en joignant dans chacun d'eux les deux points où w et ty^ sont coupés par ce plan, soit en prenant une série de points sur w^ et en cherchant la ligne d'intersection des deux plans que chacun de ces points détermine avec w et iv.. Le système réglé sera donc coupé par les deux directrices w et w^ suivant deux ponctuelles perspectives au faisceau de plans il\ ; et en même temps, il sera projeté de lo et u\ suivant deux faisceaux de plans perspectifs à la ponctuelle w^ et par suite projectifs entre eux.

Quatre rayons d'un système réglé sont appelés rayons harmoniques, quand ils sont coupés par une directrice quelconque, et par conséquent par toutes les directrices^ en quatre points harmoniques ; et rjuand ils sont projetés d'une directrice quelconque suivant quatre plans harmoniques.

Soient iv et 2i\ deux directrices du système réglé ; ce dernier détermine sur les directrices deux ponctuelles projectives iv et u\ ; et si quatre rayons quelconques du système réglé sont coupés par iv en quatre points harmoniques, leurs intersections avec u\ seront aussi quatre points harmoniques. Les quatre rayons seront en même temps projetés de u\ par quatre plans harmoniques ; en effet, ces plans passent par les quatre points d'intersection, situés sur w et qui sont harmoniques.

Étant donnés trois rayons a, b, c de l'espace, qui ne sont pas situés deux à deux dans un même plan, ils déterminent un quatrième rayon harmonique d, (|ui est séparé de l'un d'eux, de b par exemple. Si, sur l'une quelconques des droites qui coupent les trois rayons donnés, nous cherchons le quatrième point harmonique aux trois points d'intersection, ce point sera situé sur d. En général, d est un quatrième rayon du système réglé auquel appai'tiennent les rayons a, />, c et, sur ce système, il est harmoniquement séparé de b par a et c.

Quand une droite a plus de deux points communs avec une surface réglée, elle est située tout entière sur cette surface ; en effet, elle coupe

alors plus de deux droites d\m système; elle doit donc être une direc- I rice de ce système et appartenir au deuxième système réglé. En raison de cette propriété, on donne à la surface réglée que nous étudions le nom de surface réglée du second ordre pour la distinguer des autres surfaces à génératrices rectilignes. Un plan qui coupe la surface suivant \\n rayon u de Fun des systèmes et par suite aussi (page 125) suivant un autre rayon v de l'autre système, ne peut avoir avec la surface aucun point commun P, qui ne soit pas situé sur les droites u et v. En effet, s'il en était autrement, toute droite passant par P et coupant u et v, chacune en un point, appartiendrait à la surface et le plan tout entier se confondrait avec celle-ci, ce qui est impossible. Puisque toute droite du plan qui passe par le point d'intersection de u et w, n'a que ce point uv commun avec la surface, nous dirons que ce plan est langent à la surface au point uv.

Le nombre des plans tangents quon peut mener à la surface par une d)'Oïte quelconque est égal au nombre des points communs à la droite et à la surface.

En effet, comme chacun de ces plans tangents contient un rayon d'un des systèmes réglés (et aussi un rayon de l'autre système), la droite donnée a un point d'intersection commun avec ce rayon. Mais deirx de ces points d'intersection ne coïncideront jamais, parce que deux rayons d'un même système réglé ne sont jamais dans un même plan. Il résulte de là qu'uiie droite est tout entière sur la surface réglée, quand elle est l'intersection de plus de deux pians tangents à cette surface.

Imaginons un système réglé engendré par deux faisceaux projectifs de plans et supposons qu'on le coupe par un plan ]S; nous aurons dans ce plan deux faisceaux projectifs de rayons, et chaque point d'intersection de deux de leurs rayons homologues sera situé sur un rayon du système réglé. Supposons au contraire le système réglé engendré par deux ponctuelles projectives et projetons-les d'un même point quelconque S ; nous obtiendrons deux faisceaux de rayons projectifs et concentriques et le plan f{ui joint deux rayons homologues de ces faisceaux passera par un rayon du système réglé. Nous obtenons ainsi la première partie des propositions suivantes :

Un système réglé est coupé par un plan quelconque 2, qui ne contient aucun de ses rayons, suivant

Un système réglé est projeté d'un point S, qui n'est situé sur aucun de ses rayons, suivant un

une courbe du secoiul ordre. Tous les plans tangents à la surface réglée aux points d'une telle courbe du second ordre forment un faisceau de plans du second ordre.

faisceau de plans du second ordre. Tous les points de contact des plans de ce faisceau avec la surface réglée sont situés sur une courbe du second ordre.

Pour démontrer la seconde partie de la pro])osilion de droite, menons un plan ])ar trois des points de contact. Ce plan coupera le faisceau de plans suivant un faisceau de rayons du second ordre, dans lequel les trois points choisis sont des points de contact et qui enveloppe une courbe du second ordre. Mais cette courbe est identique avec celle que le plan détermine par son intersection avec la surface, puisque ces deux courbes ont trois points communs ainsi que les tangentes en ces points. La ])roposition de gauche se démontrerait de même, en faisant passer mi faisceau de plans tangents à la surface réglée par le point où se coupent trois quelconques de ses plans tangents.

Une surface réglée du second ordre s'appelle un hyperholoïde simple. ou hyperholoïde à une nappe (fig. 55), quand aucune de ses droites n'est située à l'infini, et qu'elle n'a qu'une courbe du second ordre commune avec le plan à l'infini. Elle prend au contraire le nom de paraboloïde lujpo'hoUque, ([uand l'un, et par suite aussi l'autre, de ses systèmes réglés a un rayon situé à Tinfini. Dans un paraboloïde hyperbolique, chacun des deux systèmes réglés est couj)é par deux quelconcpies de ses directrices suivant des ponctuelles projectives semblables, dont les points à l'infini se correspondent. Un ])araboloïde hyperbolique peut aussi être décrit par une droite qui glisse le long de deux droites fixes u et u^, qui ne se coupent pas, et qui reste parallèle à un plan fixe qui ne contient pas les directions de u et n^. En effet, la droite mobile coupe non seulement les droites u et Uj^, mais encore la droite à l'infini du plan donné ; elle décrit donc une surface réglée qui contient un rayon, et par suite un second rayon, à l'hifini. Tout plan, qui ne passe par aucun des rayons d'un paraboloïde hyperbolique, le coupe suivant une hyperbole ; la courbe d'intersection est une parabole seulement dans le cas où le plan contient une direction parfaitement déterminée. En efiet, la courbe d'intersection, qui est du second ordre, passe par les deux points où les rayons à l'infini de la surface sont coupés pai' le plan et ces points ne coïncident que lorsque le plan sécant passe pai' le point commun aux deux rayons à l'infini.

L'hyperboloïde à une nappe n'est pas tangent au plan à l'infini comme le paraboloïde, mais il est coupé par ce plan suivant une courbe du second ordre. Les plans tangents aux points à l'infini de l'hyperboloïde sont donc tous des plans propi'es, qui (d'après la page 125) se coupent en un même poijit S et foi'ment un faisceau de plans du second ordre. La surface conique S, enveloppée par ces plans, est tangente à l'hyperboloïde le long de sa courbe à l'infini ; on l'appelle le côjie asymptolique de cette surface. Chacun des rayons du cône asymptotique est parallèle à l'un des rayons des deux systèmes réglés, puisqu'il en contient le point à l'infini. Un plan quelconque, qui ne passe par aucun des rayons de l'hyperboloïde simple, coupe cette surface suivant une hyperbole, une parabole ou une ellipse, suivant qu'il a en comnum avec la courbe à l'infini deux points, un seul point ou aucun point; ou bien, suivant qu'il est parallèle à deux rayons du cône asympotique, ou à un seul, ou enfin qu'il n'est parallèle à aucun d'eux.

Nous ajouterons encore la proposition suivante qui résulte de ce qui précède :

Si par un point donné r/uelconque l'on mène des parallèles à loiis les rayons d'un système réglé, toutes ces parallèles sont situées dans un même plan ou sur un cône du second degré, suivant que la surface réglée, à laquelle appartient le système, est un paraboloïde ou un hyperboloïde à une nappe.

Un paraboloïde hyperbolique est dit équilatère, quand les rayons de ses deux systèmes réglés sont parallèles à deux ])lans perpendiculaires l'un à l'autre. Chaque système réglé du paraboloïde équilatère contient un rayon qui coupe normalement le plan directeur, et par suite un rayon quelconque de l'autre système réglé.

OAZIEMR LEÇON.

Projectivité des formes élémentaires.

Les formes fondamentales uniformes projectives donnent naissance, comme nous l'avons vu, à cinq formes du second ordre qui sont : la courbe ou ponctuelle du second ordre, le faisceau de rayons et le faisceau de plans du second ordre, la surface conique du second ordre et le système réglé. 11 convient, comme Fa fait Von Staudt, de réunir ces cinq formes du second ordre et les trois formes fondamentales uniformes sous la dénomination comnmne de formes élémentaires. Les formes élémentaires com})rennent donc : 1° deux formes de points, les ponctuelles du premier et du second ordre ; 2° deux formes de plans, les faisceaux de plans du premier et du second ordre ; 5° enfin quatre formes de rayons, les faisceaux de rayons du premier et du second ordre, la surface conique et le système réglé.

Nous allons montrer dans cette leçon que les formes élémentaire.^ peuvent être rapportées les unes aux autres d'une manière analogue à celle qu'on a suivie pour les formes fondamentales uniformes. Le champ de nos recherches s'étend ainsi d'une manière notable ; en effet, on voit de suite que nous arriverons de cette façon à un nombre considérable de nouvelles formes de points, de plans et de rayons, qui possèdent des propi'iétés aussi remarquables que celles f(ue nous avons considérées jusqu'ici. Nous serons en mèiue temps conduits à d'autres propriétés importantes des formes du second ordre, qu'il serait difficile d'obtenir aussi simplement en suivant une aul ic marche.

Nous conuuencerons par rappeler d'abord des propositions étabhes

PROJECTIVITE DES FORMES ELEMENTAIRES.

précédemment et qu'on peut considérer aussi comme définissant les éléments harmoniques dans les formes du second ordre.

Quatre points harmoniques d'une courbe du second ordre sont projetés d'un cinquième point ([uelconque de la courbe suivant quatre rayons harmoniques (page 77).

Quatre rayons harmoniques d'une surface conique du second ordre sont projetés d'un cinquième rayon quelconque de la surface suivant quatre plans harmoniques (page 90).

Quatre plans harmoniques d'tni faisceau de plans du second ordre sont coupés par un cinquième plan quelconque du faisceau suivant quatre rayons harmoniques (p. 90) .

Quatre rayons harmoniques d'un faisceau de rayons du second ordre sont coupés par un cinquième rayon quelconque du faisceau suivant quatre points harmoniques (page 77).

Quatre rayons harinoniques cVun système réglé sont coupés pai' toute directrice du système en quatre points harmoniques, et sont projetés de toute directrice suivant quatre plans harmoniques {page 121).

La définition que nous avons donnée précédemment (page 51) pour la projectivité des formes fondamentales peut s'étendre d'une manière générale aux formes élémentaires; ainsi :

deux formes élémentaires sont dites pj'ojectives, cjuand elles sont rapportées Vune à l'autre de telle manière qiCà ciuatre éléments harmoniques de l'une des formes correspondent quatre éléments harmoniques de Vautre. *

Il découle de cette définition que deux formes élémentaires sont projectives l'une à l'autre, qnand elles sont projectives à une seule et même autre forme.

Nous pouvons aussi étendre aux formes élémentaires la notion de perspectivité, définie pour des formes fondamentales uniformes en général, en disant que :

Deux formes élémentaires projectives d'espèce différente sont dites perspectives, quand chaque élément de Vune est situé sur Vêlement correspondant de Vautre.

Par exemple, une courbe du second ordre est perspective à une surface conique qui passe par elle, quand à chacun des rayons de cette surface on fait correspondre le point de la courbe qui est situé sur lui. Une ponctuelle du second ordre est également projetée de chacun de ses

G30 [t:CR[ E CHEMIN.

GEoMETHIE DE POSITION.

points suivant un faisceau de rayons qui lui est perspectif; la même chose a lieu pour un système réglé projeté d'une de ses directrices, etc. Car deux formes élémentaires, dont Tune est ainsi engendi'ée au moyen de l'autre, sont aussi projectives, puisque quatre éléments harmoniques de Tune d'elles correspondent à quatre éléments harmoniques de l'autre. Si à chaque point d'une courbe du second ordre on fait correspondre la tangente en ce point, la courbe et le faisceau de rayons qui l'enveloppe sont perspectifs l'un à l'autre : en effet, quatre points harmoniques quelconques de la courbe sont les points de contact de quatre rayons harmoniques du faisceau (page 88). Deux courbes du

second ordre sont donc projectives l'une à l'autre, quand les faisceaux de rayons qui les enveloppent sont eux-mêmes projectifs entre eux.

On peut rapporter projectivement l'une à l'autre deux formes du second ordre en rapportant projectivement entre elles deux formes fondamentales uniformes qui leur sont perspectives. Deux formes élémentaires projectives peuvent donc toujours être regardées (page 50) comme la première et la dernière d'une série de formes élémentaires telles que chacune d'elles est perspective à celle qui la suit. Deux formes élémentaires peuvent aussi être projectivement rapportées l'une à l'autre, et d'une seule manière, de telle sorte qu'à trois éléments donnés de l'une correspondent respectivement trois éléments de l'autre :

PROJECTIVITÉ DES FORMES ÉLEMENTAIHES.

en elTet, ce théorème a déjà été démontré pour les formes fondamentales uniformes.

Soient, par exemple, deux ponctuelles du second ordre, k et A:^ (fig. 57), situées dans le même plan, qu'il s'agit de rapporter projectivement l'une à l'autre, de telle sorte qu'aux points A, B, G de A; correspondent respectivement les points A^, B^, C^ de k^. Désignons par S et T^ les deux points de k et A-^ qui sont respectivement projetés de A et A^ par le rayon AA^ et projetons maintenant les ponctuelles données de S et T^ suivant les deux faisceaux de rayons S (ABC.) et T^ (A^B^Cj...), Ces deux derniers sont projectifs et en outre ils sont perspectifs, puisqu'ils ont en commun le rayon correspondant AA^. Par conséquent, deux points homologues I) et D^, appartenant aux deux ponctuelles, seront projetés de S et T^ respectivement suivant deux rayons qui se coupent sur une droite déterminée u.

Lorsque deux formes élémentaires projectives de même espèce sont superposées^ elles ont tous leurs éléments correspondants communs^ ou elles en ont deux au plus.

En effet, des formes élémentaires identiques sont en même temps projectives.

Deux courbes du second ordre, qui sont dans le même plan et qid ont un point S commun, sont rapportées projectivement l'une à l'autre, si l'on fait correspondre deux quelconques de leurs points situés sur une droite passant par S.

En effet les courbes sont, de cette manière, perspectives au faisceau S. Tout point commun à ces courbes et différent de S est mi point correspondant commun ; le point S ne peut jouir de cette propriété que si les courbes ont une tangente commmie en S et par suite si elles sont tangentes en ce point.

Deux courbes du second ordre, qui sont dans le même plan et qui ont une tangente commune s, sont rapportées projectivement l'une à l'autre, quand on fait correspondre entre elles deux quelconques de leurs tangentes qui se coupent en un point de s. En efî'et, les deux faisceaux du second ordre qui enveloppent les courbes sont perspectifs à la ponctuelle s. Toute tangente commune différente de S/ est une tangente correspondante commune aux deux courbes; s ne peut jouir de cette propriété que si les courbes sont tangentes en un même point de s.

Deux courbes du second ordre, différentes l'une de l'autre et qui

sont rapportées entre elles d'après la manière indiquée à gauche, ont tout au plus trois joints correspondants connnuns. En elTot. si, en outre de S, elles avaient encore quatre points communs, ou trois points communs et une tangente commune en S, elles seraient identiques (page 78).

De même, les courbes considérées à droite peuvent avoir, tout au plus, trois tangentes correspondantes communes. Nous sommes conduits ainsi à la double proposition qui suit :

Si deux courbes projectives du second ordre ont quatre points correspondants A,B,G,S communs, elles ont tous leurs points correspondants communs et par suite sont identiques.

Si deux courbes projectives du second ordre ont quatre tangentes correspondantes communes, elles ont toutes leurs tangentes correspondantes communes et par suite sont identiques.

Voici comment on démontre le théorème de gauche. On ne peut raj)porter les courbes l'une à l'autre que d'une seule manière pour que les trois points A,B,G de l'une d'elles correspondent aux trois points A,B,G de Fautre ; et l'on établit cette relation en rapportant perspectivement les deux courbes au faisceau de rayons S. Si les deux courbes doivent aussi avoir le point S pour point commun, elles auront encore une tangente commune en ce point et par conséquent seront identiques (page 78). — La proposition de droite se déduit de la précédente au moyen de la loi de réciprocité que nous avons déjà démontrée pour le plan . Le lecteur fera un exercice utile en cherchant une démonstration directe.

Si les deux courbes sont projetées d'un centre quelconque suivant deux surfaces coniques, on a pour ces surfaces une proposition double entièrement analogue. Si une courbe du second ordre est projective à un système réglé ou à une surface conique du second ordre, et si plus de trois points de la courbe sont situés sur les rayons qui leur correspondent, la courbe est perspective au système réglé ou à la surface conique : en effet, elle est identique avec la section que son plan détermine dans l'une ou l'autre de ces surfaces, puisqu'elle lui est projective et qu'elle a plus de trois points correspondants communs avec elle. De même un faisceau de plans du second ordre est en position perspective par rapport à un faisceau de rayons du second ordre ou à un système réglé qui lui est projectif. quand plus de trois de ses plans passent par

PROJECTIVITE DES FORMES ELEMENTAIRES.

les rayons coiTespoiidaiils du faisceau de rayons ou du système réglé. Pour le démontrer, projetons la forme de rayons du second ordre du sommet du faisceau de plans ; nous obtenons un second faisceau de plans du second ordre qui est identique avec le premier ; car il lui est projectif et de plus il a plus de trois correspondants communs avec lui. A ces considérations se rattache la démonstration des théorèmes suivants :

Deux surfaces coniques du second ordre qui ont des sommets différents et qui sont tangentes à un seul et même plan, passant par la droite s qui johit leurs sommets, se coupent suivant une courbe du second ordre.

En eiïèt, rapportons perspectivement les surfaces coniques au faisceau de plans s : elles ont le rayon correspondant s qui leur est commun, et deux autres rayons correspondants quelconques des surfaces ont un point commun, puisqu'ils sont dans un même plan (passant par s) . Le plan qui passe par trois quelconques des points d'intersection des rayons homologues coupe les surfaces coniques suivant deux courbes projectives du second ordre, qui sont identiques, puisqu'elles ont comme points correspondants communs, non seulement ces trois points d'intersection, mais encore un point de s.

Deux courbes du second ordre qui sont situées dans des plans différents et qui sont tangentes en un seul et même point à la droite d'intersection de leurs plans sont situées sur une même surface conique du second ordi'e.

En elIèt, rapportons perspectivement à la ponctuelle s les faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent les courbes : ils ont le rayon correspondant s qui leur est commun (voir page 151), et deux autres rayons correspondants quelconques des faisceaux sont dans un même plan, puisqu'ils se coupent sur s. Les deux faisceaux de rayons sont projetés du point d'intersection de trois quelconques des plans joignant les rayons homologues suivant deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui sont identiques, puisqu'ils ont pour plans correspondants communs, non seulement ces trois plans, mais encore un autre plan passant par s.

La démonstration peut être présentée encore plus simplement. Pour établir la proposition de gauche, faisons passer un plan par trois points

communs auxsmfaces coniques; les courbes d'intersection situées dans ce plan ont ces trois points communs et de plus le point d'intersection de s avec le plan leur est aussi commun. Gomme les courbes sont tangentes en ce dernier point à la droite suivant laquelle est coupé le plan tangent commun aux deux surfaces coniques, elles coïncident (page 7(S). On démontrerait le théorème de droite d'une manière analogue.

Il résulte incidemment de ces propositions que toute courbe du second ordre peut être considérée comme une section d'un cône à base circulaire. En effet, on peut, d'une infinité de manières, amener un cercle dans une position telle, par rapport à une courbe donnée du second ordre, que ces deux courbes soient tangentes entre elles, qu'elles soient situées dans des plans différents et par suite appartiennent à une seule et même surface conique. Les courbes du second ordre sont donc identiques avec les coniques des géomètres anciens. Dans ce qui suit, nous pourrons donc les désigner aussi par ce nom.

Si un faisceau de rayons du premier ordre S est projectif à une courbe s du second ordre et situé dans son plan, sans toutefois lui être perspectif, il passe au plus trois rayons du faisceau par les points qui leur correspondent sur la courbe, mais il en passe au moins un.

Si une ponctuelle du premier ordre est projective à un faisceau de rayons du second ordre et située dans son plan, sans toutefois lui être perspective, il y a au plus trois points de la ponctuelle qui soient situés sur les rayons qui leur correspondent dans le faisceau, mais il y en a au moins un.

En effet, tout faisceau S^ de rayons perspectif à la courbe s est aussi projectif au faisceau S : il engendre donc en général avec celui-ci une deuxième courbe du second ordre, qui doit avoir en commun avec la première tous les points situés sur les rayons correspondants de S . Si donc plus de trois rayons de S passent par les points qui leur correspondent sur s, les deux courbes ont au moins quatre points communs indépendamment de Sj : elles sont donc identiques et S est perspectif à s. — Comme toute courbe du second ordre partage le plan en deux parties distinctes, si les deux courbes précédentes ne coïncident pas, elles sont tangentes en leur point commun S^, ou bien elles se coupent en ce point; mais alors elles se rencontreront en un autre point P, puisque l'une des courbes est située, partie à l'intérieur, partie à l'extérieur de l'autre.

PROJECTIVITE DES FORMES ELEMENTAIRES.

Dans ce dernier cas, les rayons SP et S^ se correspondent et par conséquent SP passe par le point P qui lui correspond sur la courbe s. Dans le premier cas , au rayon 88"^ de S correspond la tangente commune en S^ et par suite le point S^ de la courbe S qui est situé sur SS^. Donc il y a au moins rm ])oint de la courbe situé sur le rayon qui lui correspond dans le faisceau.

Les formes du premier et du second oi'dre dans la gerbe donnent naissance cà des propositions entièrement analogues. Nous en concluons que:

Étant données une forme fondamentale uniforme et une forme élémentaire du second ordre projectivement rapportées lune à Vautre, s'il y a plus de trois éléments de tune qui passent par les éléments qui leur correspondent dans Vautre, les deux formes sont perspectives, c est-à-dire que tout élément de fune passe par Vêlement qui lui correspond dans Vautre.

Si la forme du second ordre est un système réglé et si l'autre forme est une ponctuelle ou un faisceau de plans du premier ordre, nous pouvons conclure de ce qui précède que ces formes seront perspectives toutes les fois que trois rayons du système réglé passeront par les trois points qui leur correspondent dans la ponctuelle, ou par les trois plans qui leur correspondent dans le faisceau de plans. En effet, le lieu de la ponctuelle ou l'axe du faisceau de plans est alors une directrice du système réglé (page 124), puisqu'il coupe trois de ses rayons.

L'importance de ces théorèmes ressort des conséquences mêmes qui s'en déduisent :

Un faisceau de plans du premier ordre et un système réglé [ou une surface conique du second ordre] qui lui est projectif engendrent en général une courbe gauche du tî'oisième ordre, qui a au moins un point et au plus trois points communs avec un plan donné.

Une ponctuelle du premier ordre et un système réglé [ou un faisceau de rayons du second ordre] qui lui est projectif engendrent en général un faisceau de plans de troisième ordre, dont un plan au moins et trois plans au plus passent par un point quelconque donné.

En effet, un plan coupe le système réglé [ou la surface conique] suivant une ponctuelle du second ordre qui lui est perspective et dont

en général trois points au plus sont situés sur les plans qui leur correspondent dans le faisceau.

Si une ponctuelle u du premier ordre et une ponctuelle k du second ordre, qui lui est projective, sont situées dans un même plan, toutes les droites qui joignent leurs points homologues engendrent un faisceau de raijons du troisième ordre, qui a au moins un rayon et au plus trois j-ayons communs avec tout faisceau du premier ordre, qui ne fait pas luimême partie du faisceau du troisième ordre.

Si un faisceau de rayons du premier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, qui lui est projectif, sont situés dans un même plan, tous les points d'intersection de leurs rayons homologues forment une courbe du troisième ordre, qui a au moins un point et au plus trois points communs avec toute droite du plan qui ne fait pas elle-même partie de la courbe du troisième ordi'e.

En effet, soit S un faisceau quelconque du premier ordre perspectif à w et par conséquent projectif à k : ou bien tous ses rayons passent par les points de K qui leur correspondent, ou bien il y en a trois au plus et un au moins qui jouissent de cette propriété.

Si la ponctuelle ii du premier ordre et la ponctuelle k du second ordi'e ont un point correspondant commun P, chaque rayon passant par ce point doit être regardé comme une droite qui joint deux points correspondants (réunis ensemble) , et le faisceau de rayons du troisième ordi'e contient le faisceau du premier ordre P. Les théorèmes qui suivent doivent donc être considérés, non pas comme des cas d'exception, mais bien comme des cas particuliers des théorèmes qu'on vient de démontrer.

Si une ponctuelle du premier ordre u et une ponctuelle du second ordre k, qui lui est projective, ont deux points correspondants communs A et B, elles engendrent un faisceau de rayons du premier ordre.

Si un faisceau de rayons du premier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, qui lui est projectif, ont deux rayons correspondants communs, ils engendrent une ponctuelle du premier ordre.

Soit Cj le point de k qui correspond à G de u et S le point de k qui

PROJECTIVITE DES FORMES ELEMENTAIRES.

est projeté de C^ suivant le i-ayon CG^. Rapportons ii et k perspectivement au faisceau de rayons S ; ces deux formes se trouvent alors rapportées projectivement entre elles de telle manière qu'aux trois points A, B, G de u correspondent respectivement les trois points A, B, Gj de /t. Mais, comme la projectivité de u et /■: est déterminée complètement par trois couples de points homologues (pages 151), les droites qui joignent les points homologues forment effectivement un faisceau de rayons du premier ordre dont le centre est situé sur la courbe h.

Une courbe du second ordre et deux droites a et b, ({ui ont chacun un point comnmn avec la courbe, mais qui ne sont pas situées dans son plan et ({ui ne sont pas elles-mêmes dans un même plan, déterminent un système réglé, perspectif à la courbe et dont les deux droites sont des directrices.

En effet, les deux faisceaux de plans aeib, perspectifs à la courbe, engendrent le système réglé.

Un faisceau de plans du second ordre et deux droites a et b, (\u\ sont projetées de son sommet suivant deux de ses plans, mais qui ne se rencontrent pas, déterminent un système réglé, pei'spectif au faisceau et dont les deux droites sont des directrices.

En effet, les deux ponctuelles rectilignes a et b, perspectives au faisceau de plans, engendrent le système réglé.

Le système des directrices du système réglé contient les droites a et b : de même il est respectivement perspectif à la courbe et au faisceau de plans du second ordre.

Si une ponctuelle rectiUgne et une courbe au second ordre, projectives entre elles, ont un point correspondant A commun, mais ne sont pas situées dans un même plan, elles engendrent un système réglé qui leur est perspectif.

Si un faisceau de plans du premier ordre et un faisceau de plans du second ordre, projectifs l'un à l'autre, ont un plan correspondant commun, mais si l'axe du premier faisceau ne passe pas par le sommet du second, ils engendrent un système réglé qui leur est perspectif.

Soient A, B^, C^ (théorème de gauche), les points de la courbe qui correspondent aux points A, B, G de la ponctuelle rectiligne ; le système

réglé perspectif à la courbe, auquel appartiennent les droites BB,, GGj, est aussi perspectif à la ponctuelle rectiligne, puisque les trois points A, B, C de cette dernière sont situés sur les rayons qui leur correspondent dans le système réglé (page 155). La proposition de droite se démontre d'une manière entièrement analogue.

D'un point quelconque, non situé dans le plan de la courbe, on projette cette dernière suivant une surface conique du second ordre et le système réglé suivant un faisceau de plans du premier ou du second ordre. Un plan quelconque coupe le faisceau de plans du second ordre suivant un faisceau de rayons du second ordre, et le système réglé suivant une ponctuelle du premier ou du second ordre. Donc :

Si une ponctuelle rectiligne et une surface conique du second ordre sont projectives et si un point de la première forme est situé sur le rayon qui lui correspond dans la seconde, les deux formes engendrent un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif.

Si un faisceau de plans du premier ordre et un faisceau de rayons du second ordre sont projectifs et si un plan du premier faisceau passe par le rayon qui lui correspond dans le second, les deux faisceaux engendrent une ponctuelle du premier ou du second ordre, qui leur est perspective.

Si l'on remarque que toute courbe du second ordre peut être considérée comme une section d'une surface conique du second ordi'e, ce théorème conduit immédiatement au suivant :

Si une ponctuelle rectiligne et une courbe du second ordre, projectives l'une à l'autre, sont situées dans un même plan et ont un point correspondant commun, elles engendrent un faisceau de rayons du premier ou du second ordi'e, qui leur est perspectif.

Si un faisceau de rayons du premier ordre et un faisceau de rayons du second ordre, projectifs l'un à l'autre, sont situés dans le même plan et ont un rayon correspondant commun, ils engendrent une ponctuelle du premier ou du second ordre, qui leur est perspective.

Deux systèmes réglés a b c et a^ h^ c^, projectifs entre eux et tels que chacun d eux constitue un système de directrices de Vautre, engendrent en même temps une courbe du second ordre et un faisceau de plans du second ordre qui leur sont perspectifs.

PROJECTIVITE DES FORMES ELEMENTAIRES.

En effet, les deux systèmes réglés ne peuvent être rapportés projectivement l'un à Tautre que d'une seule manière pour que les rayons «, b, c de l'un des systèmes correspondent aux rayons a^, b^, c^ de l'autre. Or cette relation existe réellement ([uand on fait correspondre deux à deux les rayons qui se coupent en un seul et même point du plan qui passe par les trois points aa^, bb^^, cc^ ou qui sont projetés par un seul et même plan du point d'intersection des trois plans aa^, bb^^ti cc^.

Deux courbes du second ordre, projectives entre elles, et qui sont placées l'une sur l'autre, engendrent un faisceau du second ordre qui leur est perspectif, ou bien il existe un point par lequel passent les droites qui joignent deux à deux les points homologues des courbes.

Deux faisceaux de rayons du second ordre, projectifs entre eux et qui sont placés l'un sur l'autre, engendrent une courbe du second ordre qui leur est perspective, ou il existe une droite sur laquelle se coupent deux à deux les rayons homologues des faisceaux.

En effet, tout système réglé perspectif à l'une des courbes engendre avec son système directeur, que nous pouvons rapporter perspectivement à l'autre courbe, un faisceau de plans du second ordre qui est perspectif aux quatre formes ; suivant que le sommet de ce faisceau sera placé en dehors du plan des courbes, ou sur ce plan même, nous aurons l'un ou l'autre des deux cas que nous venons de citer. — Si donc, parmi les droites qui joignent deux à deux les points homologues des courbes, trois quelconques passent par un seul et même point U (voir plus loin les figures 60 et 61), toutes ces droites se coupent en ce même point.

Deux courbes projectives du second ordre ABCD et ABC^D^, qui ont deux points correspondants A et B communs, mais qui ne sont pas situées dans le même plan, engendrent une forme de rayons du second ordre qui leur est perspective ; c'est un système réglé ou une surface conique du second ordre.

Deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui ont deux plans correspondants communs, mais qui ne sont pas concentriques, engendrent une forme de rayons du second ordre qui leur est perspective ; c'est un système réglé ou un faisceau de rayons du second ordre.

En effet, le système réglé ou la surface conique perspective à la courbe ABGD, à laquelle appartiennent les rayons CCl^ et DDj,est également perspectif à la courbe ABC/Dj (page 152). Ces courbes engendrent une surface conique f[uand leurs tangentes en G et C^ coupent la droite ÀB en un seul et même point. En effet, si dans ce cas elles donnaient naissance à un système réglé, le plan mené par ces tangentes contiendrait non seulement le rayon CC^, mais encore une directrice de ce système (page 122) : il aurait donc sur cette directrice un point, différent de G ou Cj, commun avec l'une des courbes ou avec toutes les deux, ce qui est impossible. 11 résulte de là que :

Si deux courbes du second ordre sont situées dans des plans diflerents et si elles interceptent sur la droite d'intersection de ces plans un seul et même segment AB, il existe deux surfaces coniques qui passent chacune par les deux courbes.

Deux surfaces coniques du second ordi'e non concentriques, inscrites dans un seul et même dièdre, se coupent suivant deux courbes du second ordre.

En effet, il y a deux manières de rapporter les courbes projectivement 1 une à Tauti'e ; soit que les extrémités A et B de leur corde commune soient des points correspondants communs, soit que les tangentes en deux autres points homologues G et G^ se coupent en un même point de la droite AB.

Nous sommes maintenant en état de démontrer le théorème suivant qui se rapporte à la perspectivité de deux formes élémentaires du second ordre :

Si une courbe et un faisceau du second ordre, ou bien une surface conique et un faisceau de plans du second ordre, sont projeclifs entre eux, et si cinq éléments A, B, G, D, E, de la première forme, sont situés sur les éléments a, p, y, 3, £, qui leur correspondent dans la seconde, ces deux formes sont perspectives Vune à Vautre.

Nous supposerons que la première forme soit une courbe du second ordre u et la seconde un faisceau de plans du second ordre S. Tous les autres cas pourront se ramener à celui-ci. Il nous suffira alors de faire voir qu'on peut construire une forme de rayons qui soit perspective en même temps à la courbe et au faisceau de plans ; car il sera démontré

de la sorte- que tout point de la courbe est situé sur le plan ([ui lui correspond dans le faisceau .

Supposons que le plan u de la courbe soit un élément du faisceau S. Son intersection avec ce faisceau se composera d'un faisceau de rayons du premier ordre u (a 6 y 3 s) perspectif à S, qui sera aussi perspectif à la courbe u (A B C D E), puisqu'il y a plus de trois rayons qui passent par les points qui leur correspondent sur la courbe (page 155) : le point S est donc situé sur la courbe. Réciproquement, si le point S est situé sur la courbe, projetons cette dernière de S suivant le faisceau du premier ordre S (A B G D E) qui est perspectif au faisceau de plans S (a ^ 78 s), puisqu'il y a plus de trois de ses rayons contenus dans les plans de S ([ui leui- correspondent : le plan u appartient donc au faisceau de plans S dont il est un élément.

Supposons maintenant que le point S ne soit pas sur la courbe et rpie par consé(iuent le plan u de cette dernière n'appartienne pas au faisceau S ; soit A^ le point de la courbe qui est projeté de A par le plan a, c'est-à-dire le second point d'intersection de ce plan avec la courbe, point qui coïncidera avec A, si la courbe est tangente

a Cf..

Par A^ traçons dans le plan a une droite g diiïérente de AA^ et projetons de celte droite la courbe du second ordre suivant un faisceau de plans du premier ordre g (A B G D E). Ce faisceau est projectif au faisceau du second ordre S et engendre avec lui un système réglé qui leur est perspectif à tous deux, puisqu'ils ont le plan a qui est un plan correspondant commun; ce système réglé est aussi perspectif à la courbe du second ordre, puisque quatre de ses rayons passent i)ar les points qui leur correspondent sur la courbe (page 157).

Si une courbe du second ordre A?>GDE et un système réglé ahcde sont projectifs, sans être perspectifs, et si deux points A, B de la courbe sont situés sur les rayons a, b qui leur correspondent dans le système réglé, ces deux formes engendrent un faisceau de plans du premier ou du second ordre qui leur est perspectif.

Si un faisceau de plans du second ordre et un système réglé sont projectifs, sans être perspectifs, et si deux plans du faisceau passent par les rayons qui leur correspondent dans le système réglé, ces deux formes engendrent une ponctuelle du premier ou du second ordre qui leur est perspective.

Les trois plans Ce, De/, Ee, qui joignent les points C, D, E de la courbe avec les rayons correspondants r, rf, e du système réglé, se coupent suivant une môme droite ou en un même point, et le faisceau de plans qui projette le système réglé a b c d edc cette droite ou de ce point est aussi perspectif à la courbe A B G D E.

Deux courbes projectives du second ordre, situées dans un même plan et ayant deux points correspondants communs, engendrent un faisceau de rayons du premier ou du second ordre qui leur est perspectif, ou bien il existe un point qui n'est situé sur aucune d'elles, mais par lequel passent les droites qui joignent deux à deux les points correspondants de ces courbes.

Deux faisceaux projectifs de rayons du second ordre, qui ont deux rayons correspondants communs, engendrent une ponctuelle du premier ou du second ordre, qui leur est perspective, ou bien il existe une droite qui n'appartient à aucun des deux faisceaux, mais sur laquelle se coupent deux à deux les rayons qui sont correspondants dans ces faisceaux.

En effet, tout système réglé, perspectif à l'une des courbes, engendre avec l'autre un faisceau de plans du premier ou du second ordre, et ce dernier est coupé en général par le plan de la courbe suivant un faisceau de rayons du premier ou du second ordre. C'est seulement quand le faisceau de plans est du second ordre et quand son sommet se trouve dans le plan des courbes, que le dernier cas de notre théorème se réalise.

Si deux courbes projectives du second ordre sont dans un même plan, sans avoir de point correspondant commun, elles engendrent un faisceau de rayons d'ordre plus élevé dont, en généi'al, quatre rayons au plus passent par un même point. En effet, si par un point S du plan il passait plus de quatre de ces rayons, il en paierait une infinité; car un faisceau de plans du second ordre, ayant le point S pour sommet et perspectif à l'une des deux courbes (par exemple, un faisceau qui projette un système réglé perspectif à cette courbe), serait aussi perspectif à l'autre courbe. Des points S de ce genre ne peuvent se présenter qu'isolément. De même, deux faisceaux projectifs de rayons du second ordre, situés dans le même plan, engendrent une courbe d'ordre plus élevé

(du quatrième) qui, en général, n'a pas plus de ([uatre points communs avec une droite. Nous nous contentons, quant à présent, de signaler en passant ces formes et celles qu'engendrent les formes projectives élémentaires du second ordre.