DOUZIEME LEÇON
Formes élémentaires en involution.
Étant données deux formes élémentaires de même espèce u et u^ (par exemple, deux ponctuelles) projectives entre elles et placées l'une sur l'autre, on peut rattacher un élément P quelconque de leur lieu commun aussi bien à lune des formes u qu'à l'autre u^ ; cet élément a donc pour correspondants deux autres éléments, l'un sur m, l'autre sur u^.
Fi^.58
P Û Q fi
En général, ces deux éléments qui correspondent à P sont différents l'un de l'autre (comme dans la fig. 58 où les points P^, Qj, Rj de u^, correspondent respectivement aux points P, Q, R de ii)] mais il peut aussi ariiver qu'ils coïncident (comme dans la fig. 59) et qu'à l'élément P cori-esponde doublement un autre élément P^. A l'élément P de la pre-
Fi^.59.
y fi ,
mière forme u correspond alors l'élément P^ de la seconde forme Wj et à l'élément P de u^ correspond également l'élément Pj de u.
Lorsque deux formes projectives u et u^ n'ont pas tous leurs éléments correspondants communs, mais quà chaque élément de lune correspond doublement un élément de Vautre, nous dirons que les
FORMES ELEMENTAIRES EN INVOLLTION.
formes sont en situation involutive ou qiC elles sont en involution. De même^ deux formes élémentaires projectives d'espèces différentes {par exemple, une ponctuelle et un faisceau de raijons) seront dites en involution, quand Vune d'elles sera en involution avec une section ou une projection de l'autre.
Par exemple, deux ponctuelles projectives du second ordre, superposées sur la même courbe, sont en involution quand trois droites et par suite (page 159) toutes les droites qui joignent deux à deux les points correspondants se coupent en un même point ; au contraire, elles ne sont pas en involution, quand elles engendrent un faisceau de rayons du
Ftg.GL
second ordre qui leur est perspectif. Étant donnée une droite u, située dans le plan d'une courbe du second ordre mais qui ne lui est pas tangente, si à chaque point de la droite Ton fait correspondre sa polaire par rapport à cette courbe, on obtient un faisceau de rayons du premier ordre qui non seulement est rapporté projectivement à la poiu-îiirllc u. mais qui est en involution avec elle (pages 99 et 101).
GKOMKTRIE CHEMIN.
lu
Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant :
Deux ponctuelles du second ordre, projectives l'une et Vautre et superposées sur la même courbe, sont en involution lorsqu'à un point quelconque A de Vune correspond doublement un point A^^ de Vautre.
Soient B et Bj (figures GO et 01) deux autres points corre.^^pondants quelconques des ponctuelles, de sorte qu'aux points A, Aj, B de Tune d'elles correspondent respectivement les points A,. A, Bj de l'autre; soit de plus U le point d'intersection de AAj et BB^ et u sa polaire par rapport à la courbe du second ordre. Les deux faisceaux de rayons B^ (AAj B) et B (Aj A Bj), qui projettent respectivement de Bj et B les ponctuelles A AjB et Aj A Bj, sont alors perspectifs à la forme rectiligne u. En effet, ils sont projectifs aux ponctuelles du second ordre et par suite projectifs l'un à l'autre ; et comme ils ont le rayon B, B ou BBj correspondant commun, ils sont les projections d'une seule et même ponctuelle rectiligne; cette dernière est située sur w, parce que (page 97) le point d'intersection de deux rayons coi'respondants B, A et B Aj, Bj Aj et B A est situé sur u. Deux autres points quelconques G et G^ de la courbe, situés sur une droite passant par U, seront projetés de la même manière par deux couples de rayons homologues des faisceftux B et Bj perspectifs à m ; ce sont par conséquent deux points des ponctuelles du second ordre qui se correspondent doublement l'un à l'autre. Il suit de là et des propositions établies précédemment (page 97) que :
Si deux courbes projectives du second ordre sont en involution^ les rayons qui joignent les points homologues se coupent en un même point U, et tous les points d'intersection des tangentes homologues sont situés sur la polaire u de ce point U. La droite u est appelée l'axe d'involution et le point U le centre d'involution des courbes.
Les deux faisceaux de rayons du second ordre qui enveloppent deux courbes du second ordre en involution sont aussi en involution ; car les tangentes en deux points homologues doivent également se correspondre doublement. Ces faisceaux seront donc coupés par chacun de leurs ravons suivant deux ponctuelles du premier ordre en involution. De même, deux courbes du second ordre en involution sont projetées de chacun de leurs points suivant deux faisceaux de rayons du premier ordre en involution, et de tout point extérieur à leur plan, suivant deux surfaces coniques en involution. Un système réglé, perspectif à l'une des deux courbes, est en involution avec l'autre, etc;
