FORMES ELEMENTAIRES EN INVOLUTION

D'après cela, nous pouvons étendre à toutes les formes élémentaires l'un des théorèmes établis précédemment et dire :

Deux formes élémentaires de môme espèce, projectives et situées Vune sur Vautre, sont en involution lorsque deux quelconques de leurs éléments se correspondent doublement.

En effet, supposons que les deux formes élémentaires soient deux formes de rayons situées Tune sur l'autre; construisons alors deux ponctuelles du second ordre situées l'une sur l'autre et qui leur soient projectives. Comme ces dernières formes sont en involution, puisque deux de leurs points se correspondent doublement, les deux formes de rayons doivent aussi être en involution. Si, au contraire, les formes élémentaires sont deux faisceaux de plans ou deux ponctuelles rectilignes, nous construirons deux formes de rayons, qui leur soient perspectives et qui soient situées Tune sur l'autre ; d'après ce qu'on vient de démontrer, ces dernières formes sont alors involution ; donc il en est de même des premières.

Deux formes de même espèce en involution sont souvent considérées comme une seule forme involutive dont les éléments sont dits conjugués deux à deux ou accouplés involutivement. Par exemple, les points d'une droite u, placée d'une manière quelconque dans le plan d'une courbe du second ordre, sont accouplés involutivement, quand on rapporte deux à deux les points conjugués situés sur cette droite (page 145). De même, tous les diamètres conjugués d'une courbe du second ordre forment un faisceau de rayons en involution. jNous pouvons ajouter de plus que :

Dans une courbe involutive du second ordre (figures 60 et Cl), les points conjugués entre eux se trouvent deux à deux sur des droites qui passent toutes par un même point, non situé sur la courbe ; et deux tangentes quelconques, conjuguées entre elles, se coupent sur la polaire de ce point par rapport à la courbe du second ordre.

Dans une surface conique involutive du second ordj'e, les rayons conjugués entre eux se trouvent deux à deux dans des plans qui passent tous par une même droite, non située sur la surface ; et deux plans tangents quelconques, conjugués entre eux, se coupent sur le plan polaire de cette droite par rapport à la surface conique.

Le théorème de gauche n'est que la répétition de celui qu'on a

148 GEOMETllIB DE FnSlTlOX.

déiiioiilié, page 1 R» ; le lliéorème de di'oite se déduit du ])récédent, parce que la surface conique du second ordre est coupée pai' un ])lan quelconque sui\ant une courbe du second ordre. En elTet, si deux formes élémentaires sont perspectives et si les éléments de Tune sont accouplés involutivement, il s'ensuit que les éléments de l'autre jouissent de la même propriété.

Pour accoupler involutivement les éléments dune forme élémentaire, il suffit de prendre arbitrairement deux couples d'éléments conjugués A, i4j et B, B^.| chaque élément de la forme se trouve alors conjugué à un autre élément.

En effet, la forme élémentaire en involution provient de la réunion Tune sur l'autre de formes rap|)ortées projectivement entre elles de telle manière qu'à trois éléments A, A^, B de l'une correspondent respectivement les trois éléments A^, A, Bj de l'autre ; mais cette correspondance n'est possible que d'une seule manière.

Si la forme élémentaire en involution est une courbe du second ordre, on peut trouver le point Cj, conjugué à un cinquième point C quelconque, soit à l'aide du centre d'involution U (ligures 60 et 61), où AAj etBB^ se coupent et par lequel passe aussi GCj, soit au moyen de l'axe d'involution. On procéderait de même pour mie surface conique du second ordre.

Pour accoupler involutivement les rayons d'un système réglé, nous couperons ce système suivant une cour])e du second ordre, et nous n'aurons plus qu'à accoupler involutivement les points de cette dernière courbe. S'il s'agit d'un faisceau de rayons du premier ordre (fig. 62), nous construirons une courbe du second ortire perspective à ce faisceau, par exemple un cercle passant par son sommet S, et nous conjuguerons deux à deux les ])oints de cette courbe. Aous procéderons d'une manière analogue pour toute autre forme élémentaire. On peut du reste accoupler involutivement les éléments d'une forme fondamentale uniforme sans recourir aux formes du second ordre.

Deux formes élémenlaii'es de même espèce en involution, par exemple deux ponctuelles du second ordre (fig. 60 et 61), sont projectives concordantes ou opposées, suivant que deux éléments conjugués V et Aj sont ou ne sont pas séparés par deux éléments conjugués B et Bj. Dans le preniier cas (fig. 61), les deux éléments qui se correspondent se meuvent dans le même sens, en décri\aiit simultanément : le premier la forme WJ), le second la forme V^MÎ, ;ils ne pcu\ent