FORMES ELEMENTAIRES EN INVOLUTION

donc jamais se rencontrer. Dans le second cas (fig. 00), ils se meuvent en sens contraire et doivent tomber deux fois l'iui siu' l'autre. Tout élément correspondant commun à deux formes- en involution a reçu le nom (Vi'h'ment double de la forme involutive composée des deux premières considérées ensemble. \ous avons ainsi ce théorème :

Une forme élémentaire involutive na pas (Vêlement double ou en a deux, suivant que deux éléments conjugués de cette forme sont ou ne sont pas séparés par deux autres éléments conjugués. En chaque élément double coïncident deu.r vlémcnts conjugués de la forme en involution.

Si le centre d'involution lî d'une courbe involutive du second degré est situé en dehors de cette courbe (fig. 60), celle-ci a deux points doubles: ce sont les points de contact des tangentes qu'on peut menei-

?ié^62

de U à la courbe. L'axe d'involution u rencontre la courbe en ces points, puisque u est la polaire de U (page 97).

Les éléments doubles M, N d'une forme élémentaire en involution sont harmoniquement séparés par deux éléments conjugués quelcon^ ques A et A^.

11 suffit de démontrer ce théorème pour une courbe du second ordre en involution, puisque l'on peut ramener tout autre cas à celui-là. Soient B,Bj un second couple d'éléments conjugués (fig. 00) ; les côtés opposés du quadrilatère simple ABA^Bj se coupent en deux points conjugués (page 102), harmoniquement séparés l'un de l'autre par M etN. Les rayons BA, B.M, BAj, B.\ sont donc quatre rayons harmoniques, puisqu'ils projettent quatre points harmoniques; par conséquent, les points doubles M et N de la courbe sont harmoniquement séparés par les points A et Aj. Cette propriété résulte encore d'un théorème de la page 106, parce que MN et ÂÂi sont deux rayons conjugués.

Pour accoupler im olutiveiiient les éléments d'une forme élémentaire, nous pouvons à volonté choisir deux éléments doubles M et N, ou un élément double M et un couple d'éléments conjugués k,k^\ car le conjugué d'un élément quelconque est alors entièrement déterminé. En effet, dans le premier cas, deux éléments quelconques sont conjugués l'un à l'autre s'ils sont harmoniquement séparés par M et N ; dans le second cas, on peut immédiatement déterminer le second élément double N, puisqu'il est harmoniquement séparé de M par A et A,. Ce cas se ramène donc au précédent.

Les ihéorèmes que nous avons donnés jusqu'ici sur les formes involutives sont d'une telle importance, et nous les appliquerons si souvent, qu'il nous paraît bon de les démontrer encore une fois d'une manière plus élémentaire ; chemin faisant, nous rencontrerons encore des théorèmes nouveaux et importants. Pour cela, nous partirons de la définition suivante :

Deux formes ABCDE et A^D^C^D^E^ composées d'éléments

isolés de deux formes élémentaires u et u^, seront dites projectives, quand les formes u et Uj sont l'apportées projertivement entre elles, de

telle manière qii'aux éléments A,D,C,D,E de u correspondent

respectivement les éléments A^^,B^^,C^^,D^,E ^^ — de Uj. Nous lions servirons du signe ~/\ pour indiquer la projectivité.

Soient, par exemple, u et m^, deux ponctuelles du premier ordre situées dans un même plan, mais non sur la même droite; nous n'aurons la relation ABCDE.... 7\ A^B^CjDjEj.... que si les droites ÂÂi, ÏÏE,, CCj, DDi, EEi, — passent par un seul et même point, ou sont tangentes à une seule et même courbe du second ordre à laquelle u et u^ sont ellesmêmes tangentes*.

Une forme ADCD, composée de quatre cléments d'une forme élémentaire, est projective à toutes les formes qu'on en déduit, en permutant deux des quatre éléments entre eux, et en permutant en même temps les deux éléments restant entre eux ; autrement dit, on a :

ABCD 7\ BADC 7\ CDAB 7\ DCBA.

* l.a relation ABCD a AiIji(JiI)| exprime aussi, comme on l'a déjà démontré (pages GÛ-G6), qu'entre les segments déterminés sur les droites u et ît, il existe la proportion :

AI5 . CB kfij . CJ», AD • CD~A|Di ' CjDj*

Soit ABGD une forme i-ectiligne (on peut ramener tous les autres cas à celui-là) et supposons qu'il s'agisse de démontrer que

ABCD 7\ CDAB.

D'un point quelconque S, projetons ABCD sur une droite passant par

Fig.63

A (fig. 65) ; soit AEFG cette projection et soit T le point d'intersection de CF et DE.

AEFG est une projection de ABGD faite du centre S CTFS — AEFG — D

CDAB — CTFS — E

Par conséquent

et par suite

ABGD 7\ AEFG 7\ GTFS 7\ CDAB,

\BCD7\CDAB.

Les autres relations peuvent se démontrer d'une manière analogue. Nous en concluons que :

Si abcil 7\ ABCD, on a aussi :

ahcd 7\ BADC 7\ CDAB 7\ DCBA**.

** Enire autres résultats, ce théorème iinporlant permet de démontrer la proposition très remarquable qui suit :

Les six sommets de deux triann^les polaires quelconques d'une courbe A- du second ordre sont situés sur une deuxième courbe du second ordre, qui est circonscrite

Les six côtés de deux triangles polaires quelconques d'une courbe du second ordre sont langi'Uts à une deuxième courbe du second ordre, à laquelle on peut circon-

Î52 nÉOMÉTRIE DF, POSITION.

On déduit de Icà ce théorème déjà démontré antérieurement d'une autre manière, à savoir (\ne deux formes élémentaires projectives situées Tune sur l'autre sont en involulion, quand deux quelconques de leurs éléments \ et A^, se correspondent doublement. En efTet, supposons qu'à un élément ((uelconque B de Tnne corresponde l'élément B^ de l'autre, de telle sorte ({ue les éléments A,,A,?)j de la seconde forme soient rapportés aux éléments A,Aj,B de la première ; de la relation

AA J]Bj 7\ AjABjIÎ il suit qu'à l'élément Bj de la première forme correspond l'élément B de la seconde, ou que deux éléments homologues ([uelconques B et B^ se correspondent doublement.

Voici une conséquence que nous aurions déjà pu énoncer précédemment :

Une ponctuelle u du premier ordre et un faisceau de rayons du premier ordre S, qui lui est projectif, sont en involution, lorsque le centre de ce dernier est extérieur à u et que deux points P et P^ de la ponctuelle sont tels que chacun d'eux est situé sur le rayon du faisceau qui correspond à l'autre point.

En effet, la section du faisceau par la droite est projective à w et en involution avec elle, puisque les points P et V^ se correspondent doublement. On peut reconnaître d'une manière analogue f[uand un faisceau de plans est en involution avec une forme rectiligne ou un faisceau de rayons.

On peut aussi démontrer d'une manière élémentaire que, si une forme en involution a deux éléments doubles, M et N, deux points conjugués A

aux triangles polaires, en nombre infini, de 1 scrire des triangles polaires, en nombre la première. ' infini, de la première.

Soient AliC el DEF les deux triangles polaires ; nous supposons que leurs six sommets ne sont pas trois à trois en ligne droite. Les faisceaux de rayons A(BCEF) et D(CHFE) sont projectifs page lOô), parce que les quatre rayons AU, AC, AE, Aï du premier sont respectivement conjugués aux rayons DC, DLî, DF, DE du second, par rapport à k-. De A(liCEF)Â D(CDFE), il découle que A(BCEF) 7\ D(I{CEF), et. par conséquent les six points A,l{,C,t>,E.F sont situés sur une courbe du second ordre, ainsi que l'énonce le théorème de gauche. Soient maintenant deux points D' el E' de celte courbe, qui sont conjugués par rapport à la courbe donnée le- et qui par suite appartiennent à un tri.ingle polaire D't'F' de lu, dont ils sont les sommets; le sommet F' est situé aussi sur la courbe du second ordre qui passe par A,I?.C,D,E,F; en elTet cotte courbe a cinq points communs avec celle qui passe par A,D,C,D',E',F'; donc tous leurs points sont communs et elles coïncident. — La proposition de droite se démontrerait d'une manière analogue.

FriF.MES KLKMENTAIRES EN INVOLUTION. 153

et A, sont harmoniquement séparés par M et N. Supposons que la forme involutive M.N.AA^ soit une ponctuelle rectiiigne et qu'elle provienne de la superposition de deux formes projectives en involution ; aux points M, A, N, Aj de Fune de ces formes correspondent alors les points M, Ap N, A de l'autre, puisque M et N sont des points correspondants communs aux deux formes et que A et A ^ se correspondent doublement. On a alors MANA^ 7\ MA^NA.

D'un point quelconques (fig. Gi) projetons maintenant MANAj sur une di'oite passant par M et soit MRKT la projection ; elle est perspective à MA^Aj; donc elle est projective à MA^NA et par suite xAIRKT 7\ MA^NA.

Or, ces formes ont le point correspondant M qui leur est commun ; par conséquent, elles sont en perspective ; c'est-à-dire que les droites WK[, KÎN, TA se coupent en un seul et même point 0. Nous avons de la sorte un quadrangle QRST, dont les couples de côtés

opposés se coupent respectivement en A et A^, tandis que ses diagonales passent par M et N ; il s'ensuit que les points M A N Aj sont bien quatre points harmoniques.

On donne le nom à' involution au système formé de trois couples d'éléments conjugués AAj, BB^, CCj d'une forme élémentaire en involution. Les six éléments d'une involution ne sont pas indépendants les uns des autres parce que, étant donné un élément quelconque d'une forme involutive, son conjugué se trouve déterminé du moment qu'on a deux couples d'éléments conjugués. De plus, deux quelconques des formes telles que AA^BG et AjAB^Cj, ou Al'jCjG etA^BCG^ que l'on peut former en combinant symétriquement les six éléments, doivent être projectives. Réciproquement, de la relation AAjBG 7\ A^AB^G^ il résulte que les trois couples d'éléments A,Aj ; B,Bj; G,Gi forment une involution AAj. BB^. GG^jen effet, dans les formes projectives AAjBG et AjABjGj, les éléments A et A^ se correspondent doublement et il en.

est de même de B etBj ainsi que de C et C,. Un élément double M ou N peut remplacer un couple d'éléments dans l'involution ; par exemple, AI.AAj. BBj est une involution, si MAA^B 7\ MA^AB^. De même M.N.AAj est une involution, si MANA^ est projectif à MA^iNA, c'est-à-dire si ces éléments constituent une forme harmonique.

Nous pouvons maintenant énoncer la double proposition cjui suit :

Une droite u, située dans le plan d'un quadrangle complet QRSÏ (fig. 65) , mais ne passant par aucun de ses quatre sommets, coupe les six côtés de ce quadrangle suivant une involution ; les points d'inter-

Un point quelconque situé dans le plan d'un quadrilatère complet, mais ne se trouvant sur aucun de ses côtés, projette les six sommets de ce quadrilatère suivant six rayons qui forment une involution ;

Fi ^-.65

section de cette droite avec deux côtés opposés quelconques sont deux points conjugués.

les rayons qui joignent le point à deux sommets opposés quelconques sont deux rayons conjugués.

Supposons que u coupe respectivement les côtés HT et QS, ST et KQ, QT et ÏÏS suivant les points A et Aj,B et B^, C et Cj. Alors ATOR est à la fois une projection de ACA^B^ faite du point Q et une projection de ABAjCj faite du point S ; par conséquent,

AGA.B, 7\ ATOR 7\ ABA^Cj.

Mais si l'on permute entre eux A et Aj, B et C^ (page 150), il vient :

ABAjC^ 7\ AjCjAB.

Donc on a aussi :

AC\jB, 7\ A.GjAB.

et AA^.BBj.CC^ est une involution. En effet, si deux ponctuelles projec-

THÉORÈME DE DESARGUES. 155

tives situées sur u sont tellement ivapportées l'une à l'autre qu'aux points A, C, Aj de la première correspondent respectivement les points Aj, Cj, A de la seconde, ces deux formes sont en involution, parce que A et Aj se correspondent doublement et B et B, sont correspondants à cause de la relation AGA^B^ /\ A^GjAB.

Si maintenant, étant donnés deux couples de points A et A^, B et B^ d'une ponctuelle u en involution, nous voulons déterminer le point Cj correspondant à un cinquième point quelconque G, nous pourrons procéder comme il suit, sans recourir aux formes du second ordre. Nous construirons un quadrilatère complet dont deux côtés opposés passeront par A et A,, deux autres par B et Bj et un cinquième par G; le sixième côté coupera la droite u au point cherché Gj.

Si deux points M et N et de u sont harmoniquement séparés en même temps par A et Aj ainsi que par B et Bj, c'est-à-dire par deux couples de côtés opposés du quadrangle, ils sont aussi harmoniquement séparés par G etGj, c'est-à-dire par le troisième couple de côtés opposés. M et N sont donc les points doubles de la forme involutive AA^.BBj...

Fi^.GG.

Soit un quadrangle simple QRST^, {fig. 60) inscrit dans une courbe du second ordre; mie droite quelconque u, ne passant par aucun de ses sommets, rencontre la courbe et les deua: couples de côtés opposés du quadrilatère en six points en involution (Théorème de Desargues).

Supposons que u coupe respectivement les côtés QT, RS, QK et TS aux points A,Aj, B et B^ et qu'elle rencontre la courbe aux points P et P^. Les deux faisceaux qui projettent les points P, R, Pj, T de la courbe de Q et S sont projectifs (page 77) ; il en est par suite de même pour les ponctuelles PBP^A et PA^P^B^ suivant lesquelles ces faisceaux sont coupés

lî)6

r.EOMKTHIE DE POSITION.

par la droite u. Mais puisque P\,1\F>, /\ PiR,P\j (page 150), il en résulte aussi que :

l>BI\\ÂP.IMV\,

Donc AAj. BBj. PPj est une involution.

Les courbes du second ordre inscrites dans un quadrilatère simple, c'est-à-dij-e tangentes à ses côtés, donnent lieu à un théorème analogue. Une forme uniforme en involution étant déterminée par deux couples d'éléments correspondants A. A, et B.B,, nous pouvons énoncer la double proposition ci-après :

Étant donnée une droite ?<, située dans le plan d'un quadrangle simple, mais ne passant par aucun de ses sommets, toutes les combes du second ordre qui sont circonscrites à ce quadrangle déterminent sur la droite une ponctuelle involutive u. Dans cette forme, deux points conjugués appartiennent à une seule et même courbe du second ordre. Les points doubles de Tinvolution sont les points de contact de deux de ces courbes avec u.

Etant doimé un point S situé dans le plan d'un quadrilatère plan, mais ne se trouvant sur aucun de ses côtés, toutes les courbes du second ordre qui sont inscrites dans ce quadrilatère déterminent avec S un'faisceau S de rayons en involution. Deux rayons conjugués quelconques sont tangents à une seule et même courbe du second ordre.

Les rayons doubles de S sont tangents en ce point à deux de ces courbes.

Suivant que ces éléments doubles existeront ou n'existeront pas, il se trouvera ou ne se trouvera pas deux courbes du second ordre

circonscrites à un quadrangle plan et tangentes en même temps à une droite u, située dans le plan de ce quadrangle, mais ne passant par aucun de ses sommets.

inscrites dans un quadrilatère plan et passant en même temps par un point situé dans le plan du quadrilatère, mais ne se trouvant siu' aucun de ses côtés.

Le problème qui consiste à construire ces courbes du second ordre se ramène donc à celui-ci : Déterminer les éléments doubles d'une

FORMES ÉLÉMENTAIRES EN INVOLUllUN. 157

forme uniforme en involullon. Dans une prochaine leroii. nous nous occuperons de résoudre ce problème du second degi'é.

Si, dans le tliéorème de gauche, on suppose la droite u à l'infini, on en déduit le cas particulier suivant :

Par quatre points propres situés dans un plan, on peut faire passer deux paraboles , ou Von nen peut faire passer aucune.

TREIZIÈME LEOON'.

Relations métriques dans les formes en involution. Foyers des courbes du second ordre.

Soient A,Âj. B,Bj, C,Cj (fig. G7 et 68) trois couples de points d'une ponctuelle du premier ordre en involution, entre lesquels il existe entre autres (page 155) la relation AAjBGj 7\ A^AB^G.

Fi^.G?

Les segments que les six points déterminent entre eux nous donnent alors (page 65) la proportion :