FA FB AA~BB

Ici A etB sont des points quelconques de la courbe ; d'où ce théorème :

Les distances cVun point quelconque d'une courbe du second ordre à un foyer et à la directrice correspondante sont entre elles dans un rapport constant.

Poui- la parabole, la valeur de ce rapport est l'unité, c'est-à-dire que

Fiif 71

Fié.72

les deux distances sont égales entre elles ; en ellet, le sommet est équidistant du foyer et de la directrice, puisqu'il est harmoniquement séparé du point à l'infini par ces deux éléments. En se servant ainsi des sommets, on démontre facilement que la valeur de ce rapport est plus petite que l'unité pour l'ellipse et plus grande que l'unité pour l'hyperbole; et comme chacun des deux axes partage une courbe du second ordre en deux moitiés symétriques, ce rapport a la même valeur pour l'un et l'autre foyer et pour les directrices correspondantes. Soient donc Tj et Tj les distances d'un point A delà courbe aux deux foyers F et F^, (/j et f/j ses distances aux directrices correspondantes f et f^ (fig. 72 et 75) on aura :

3^ = j* = constante, d^ dj

V ~t~ r quelle que soit la position du point A. Il en résulte aussi que -^^-nzrj

est égal à ce rapport coiistant. Or, dans l'ellipse d^ -h d^ est constant et d^ — d^ l'est aussi dans l'hyperbole, puisque ces quantités représentent la distance qui sépare les deux directrices l'une de l'autre ; il faut que 7\ -h i\ dans l'ellipse et r^ — }\ dans l'hyperbole soient des quantités constantes; donc

Dans une ellipse, la somme des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux foyers est constante.

Dans une hyperbole, la différence des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux foyers est constante.

On trouvera sans peine que cette somme ou cette différence constante est égale au segment 2a compris entre les deux sommets situés sur l'axe principal, et que l'ellipse intercepte un plus grand segment sur son axe principal que sur son axe conjugué.

Fi<f 74-

Lorsque deux points sont symétriquement placés par rapport à une droite, c'est-à-dire lorsque la droite qui les joint est perpendiculaire à la première et bissectée par elle, on dit que l'un des points est le symétrique de l'autre par rapport à cette droite. Ceci posé, dans l'ellipse et l'hyperbole nous avons le théorème suivant :

Les symétriques d'un foyer F,, par rapport à toutes les tangentes d'une ellipse ou d'une hyperbole, sont situés un cercle de rayon la qui a l'autre foyer F pour centre.

En effet, soit G le symétrique de F^ par rapport à une tangente quelconque, dont le point de contact est A (fig. 74) ; F, A et G sont situés sur une même droite, puisque ÂF^ et par suite ÂG~ fait avec la tangente le même angle que \F (page 165) ; comme de plus les points Fj et G sont équidistants de A, FG est égal à la somme (ou à la différence) de FA

et F^A ; cette longueur est donc constante et égale à 2a, ainsi qu'on l'a énoncé. Le pied N de la perpendiculaire abaissée de F^ sur la tangente est le milieu de F^G et le centre M de la courbe est aussi le milieu du

segment FF^ ; donc M\ est parallèle à FG et égal à ^ FG ; par

suite MN=a. Donc :

Les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées des foyers d'une ellipse, ou d'une hyperbole, sur les tangentes à celte courbe sont situés sur une circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.

En considérant la parabole comme le cas limite de l'ellipse ou de

fig,75.

l'hyperbole, par exemple, comme une ellipse dont un foyer est à l'infini, on obtient le théorème suivant :

Les pieds des perpendiculaires abaissées du foyer F d'une parabole sur toutes ses tangentes sont situés sur la tangente au sommet de la parabole.

Pour le démontrer, par le point N où une tangente quelconque NA (fig. 75) rencontre la tangente au sommet NS, menons une droite NF^ parallèle à Taxe et une droite W dirigée vers le foyer ; les angles FNA et SNFj sont alors égaux (page 165), puisque NF^ contient le foyer de la parabole, lequel est situé à l'infini; et comme SNFj est un angle droit, il en est de même pour FNA.

Ces propositions nous fournissent le moyen de déterminer très simplement les foyers d'une courbe du second ordi'e. Voici une construction facile pour l'ellipse ou l'hyperbole. Menons les tangentes aux deux

sommets du grand axe ; elles couperont une troisième tangente quelconque aux deux points P et Q, qui sont projetés d'un point quelconque du grand axe suivant deux rayons conjugués (page 102). Pour avoir les foyers, où ces deux rayons conjugués sont rectangulaires, décrivons une circonférence sur PQ comme diamètre; ses points d'intersection avec l'axe principal sont les deux foyers cherchés.

Supposons deux tangentes TA et TB d'une courbe du second ordre coupées par une troisième tangente aux points Aj et Bj ; soient A, B et G leurs points de contact et F un foyer propre de la courbe (fig. 76).

Fi^.76

Entre les angles qui projettent les segments des tangentes du foyer F, nous avons les équations suivantes (page 167) :

< BjFG — < BFB, = h< BFG,

<GFA,=:<\jFA = ^<CFA;

par conséquent

ou bien :

< B, FG + < GF4^ = -^ « BFG + < GFA) ;

< B^FAj = < BFT = < TFA.

Supposons maintenant que les deux premières tangentes TA et TB soient fixes, l'angle B^FAj, qui projette du foyer F le segment A^Bj de

la troisième tangente, aura une f^raïKleur invariable, quelle que soit cette troisième tangente. Si elle roule d'une manière continue sur la courbe, A^ et B^ décrivent deux ponctuelles projectives sur les tangentes fixes et les rayons FÂj et FB^ décrivent autour de F deux faisceaux de rayons égaux ; on voit ainsi que :

Les ponctuelles projectives, suivant lesquelles deux tangentes quelconques (Vunc couine du second ordre rencontrent toutes les autres tangentes sont projetées de chacun des foyers suivant deux faisceaux projectlfs de rayons, égaux et concordants.

Ce théorème subsiste encore si la courbe du second ordre est une parabole ou un cercle et si le foyer devient, en même temps, le point à l'infini de l'une ou le centre de l'autre courbe. Etant données trois tangentes d'une courbe du second ordre et un foyer, on pourra donc construire autant d'autres tangentes que l'on voudra.

Supposons que la courbe soit une parabole ; la tangente mobile A^B, peut aussi passer à l'infini ; les droites FA^^ et FB^ font alors entre elles le même angle que les tangentes fixes TA et TB. Le quadrangle B^TAjF est inscriptible et par suite :

Tout cercle, circonscrit à un triangle B^TAj formé par trois tangentes à une parabole, passe par le foyer F de cette courbe.

Si donc l'on circonscrit des cercles aux ([uatre triangles formés par les côtés d'un quadrilatère, ces cercles ont tous un point commun ; c'est le foyer de la parabole inscrite dans le quadrilatère.

Supposons que la courbe du second ordre soit une hyperbole et que les deux tangentes fixes TA et TB soient ses asymptotes ; A et B sont alors ses points à l'infini, TB et FB sont parallèles et l'angle B^FA^rrrrBFT est égal à l'un des deux angles que l'asymptote TB fait avec l'axe ])nncipal FT ; l'angle A^F^B^ qui projette AjB^ du second foyer F^ est égal à l'autre angle formé comme le précédent. Par conséquent B^FAj et AjF^B^ sont supplémentaires et B^FAjFj est inscriptible.

Donc :

Les deux foyers d^une hyperbole et les deux points, oii une tangente quelcon^que coupe les deux asymptotes, sont situés sur un même cercle. Le centre de ce cercle, le centre de Vhyperbole et les deux mêmes points d'' intersection de la tangente sont sur un deuxième cercle.