QUATORZIÈME LEÇON

Problèmes du second degré. — Éléments imaginaires.

Nos recherches nous ont plusieurs fois conduit à des problèmes qui admettent en général deux solutions, qui par suite ne peuvent pas se

fi^.77

résoudre en employant seulement des constructions linéaires, mais qui exigent qu'on ait recours à une forme du second ordre. De ce nombre sont les suivants : construire les points correspondants communs à deux ponctuelles projectives situées sur la même droite. Trouver les éléments doubles d'une forme élémentaire involutive. Tous ces problèmes peuvent se ramener à celui-ci :

Deux ponctuelles du second ordre k et k^, situées sur la même courbe, sont rapportées projectivement Vune à Vautre; trouver les points correspondants qui leur sont communs.

Soient A,B,G (iig. 77) trois points quelconques de k et A^.Bj.Cj. les

points de k^ f{ui leur correspondent. Projetons la ponctuelle k^ de A et la ])onctuelle k de A^; nous obtenons deux faisceaux de rayons A (A^B^Ci) et Aj (ABC) qui sont perspectifs puisqu'ils ont en commun le rayon correspondant AAj. Les points d'intersection de deux rayons correspondants quelconques des faisceaux se trouvent donc sur une droite u; c'est celle qui joint le point d'intersection de AB^ et de A^B avec le point d'intersection de AC^ et de A^G.

Les points cherchés sont les points communs à 7/ et à la courbe du second ordre; les ponctuelles ont chacun d'eux pour point correspondant commun. Suivant que u coupera la courbe, lui sera tangente ou ne la rencontrera pas, nous aurons ainsi deux de ces points, un seul ou pas du tout.

En vertu du théorème de Pascal, le point de rencontre des droites BCj et BjC se trouve aussi sur la droite u ; en effet, les trois couples de côtés opposés de l'hexagone AB^GAiBGj, inscrit dans la courbe du second ordre, se coupent sur la droite u. Nous aurons encore la même droite u en projetant les ponctuelles k^ et k de B et B^ ou G et Gj, suivant deux faisceaux de rayons qui seront encore perspectifs. En général, si deux points quelconques P et Q de k ont pour correspondants les points P^ et Qj de Aj, le point d'intersection de PQ^ et de P^Q se trouvera sur u. Si donc l'on connaît trois points de k et les trois points qui leur correspondent sur k^, on pourra sans difficulté construire la droite u.

Si les ponctuelles /f et /.j sont en involution, si par conséquent elles constituent une ponctuelle involutive du second ordre, u est l'axe d'involution de cette dernière forme et il rencontre la courbe suivant les deux points doubles, quand ces derniers existent. Dans ce cas, pour construire w, il suffit de connaître deux couples de points conjugués A, A^ et B, Bj ; en effet aux points A, B, A^ de k correspondent les points Aj, Bj, A de Aj et u passe par les deux points où les droites M\ et AB rencontrent respectivement les droites AjB et A^B^ (figures CO et Ci). Le pôle de M, où se coupent les droites AA^ et BB, est le centre d'involution et si, de ce point, l'on peut mener deux tangentes à la courbe, elles sont tangentes à cette courbe aux points doubles.

On peut facilement ramener au problème que nous venons de résoudre les différents cas du problème plus général que voici :

Deux former clémoilaircs, siluccs Vune sur Icmlre, sont jirojeclives ; détermine)- les éléments correspondants quiieur sont communs.

Si, par exemple, les deux formes élémentaires sont deux surfaces

coniques ou deux systèmes réglés, nous les couperons par un plan quelconque qui nous donnera comme sections deux ponctuelles projectives, situées sur la même courbe du second ordre ; si ce sont deux faisceaux de rayons du second ordre, les ponctuelles du second ordre qu'ils enveloppent sont situées l'une sur l'autre et projectives; nous n'avons donc qu'à déterminer les points correspondants communs à ces courbes pour obtenir immédiatement les deux rayons cherchés, puisque ces rayons doivent passer par les points ainsi construits. Si deux faisceaux projectifs de rayons du premier ordre sont concentriques et situés dans le même plan, nous les couperons par une courbe du second ordre, passant par leur centre commun, en deux ponctuelles projectives k et h\ ; les deux rayons correspondants communs aux deux faisceaux passent alors par les deux points correspondants communs à k et /.j. Supposons

Fi g- 7«

enfui que les deux formes élémentaires projectives soient deux ponctuelle t; etv^ situées sur la même droite; nous ramènerons ce cas au précédent, en projetant ces ponctuelles, d'un point arbitraire S suivant deux faisceaux de rayons concentriques (fig. 78). Menons maintenant par le sommet S une courbe du second ordre, par exemple, un cercle qui soit dans le plan Sy, et projetons de S sur cette courbe trois points A,B,C de V et leurs correspondants Aj,Bj, C, de v^. Ceci nous donne sur la courbe les points A',B',C' et A'^, B'^, G'^ et nous déterminons immédiatement la droite u sur laquelle se trouvent les points d'intersection de A'B'j avec A\B' de B'G\ avec B'^C et de A'G^ avec A'jG'. Si la courbe du second ordre est coupée par u aux deux points M' et N', nous projetons ces points du centre S sur la droite v et nous obtenons ainsi les deux points M et N de v qui se confondent avec les points M^ et N^ qui

leur correspondent dans y^. Si la courbe du second ordre n'a qu'un point commun avec la droite ou n'en a aucun, nous ne trouvons pour les ponctuelles v et v^ (ju'un seul point correspondant commun ou pas du tout.

Pour les faisceaux de rayons et les surfaces coniques du second ordre, le problème général peut aussi se résoudre directement sans recourir aux courbes du second ordre ; s'il s'agit de formes fondamentales uniformes, nous pourrons employer une forme élémentaire quelconque du second ordre. La solution la plus commode est celle qu'on vient de donner, parce que toutes les courbes du second ordre peuvent se construire facilement au moyen du cercle.

Gomme on le sait, les progrès considérables qu'ont faits les mathématiques dépendent essentiellement des efforts tentés pour faire disparaître les cas d'exception des théorèmes et des règles générales et pour embrasser des propositions différentes sous un même point de vue, en généralisant les notions antérieurement existantes ou en introduisant de nouvelles. C'est ainsi que l'arithmétique s'est enrichie d'une manière si étonnante au moyen des quantités négatives, des grandeurs irrationnelles et enfin des nombres imaginaires. Sans ces derniers, le théorème important que toute équation du degré n a n racines et toutes ses nombreuses conséquences dans la géométrie analytique seraient à peu près inexacts. C'est ainsi que nous avons vu toute la fécondité de l'emploi des éléments à l'infini dans la géométrie moderne.

Les problèmes du second degré viennent de nous donner le premier exemple de l'introduction des points, droites et plans imaginaires dans la géométrie synthétique ; et l'un des plus grands services qu'ait rendus Von Staudt, c'est d'avoir établi d'une manière purement géométrique la théorie des éléments imaginaires et de l'avoir amenée à un très haut degré de perfection. Mais il est dans l'essence même des choses que cette théorie ne peut prétendre à l'intuitivité pas plus dans la géométrie synthétique que dans la géométrie analytique : c'est pourquoi, nous nous bornerons à en indiquer seulement les fondements.

Nous définirons les éléments imaginaires par le théorème suivant qui résume en même temps les conséquences des recherches qui précèdent :

Deux formes dcmentaires pi-ojectives, situées Vune sur Vautre mais non identiques ^ ont deux éléments correspondants communs, réels ou imaginaires conjugués [qui peuvent coïncider).

Ainsi, nous dirons que les deux éléments correspondants communs