ÉLÉMENTS IMAGINAIRES

sont imaginaires toutes les fois qu'il n'existeront pas réellement; dans tout ce ([ui précède, il n'avait été question que d'éléments réels.

D'après cela, une forme élémentaire en involution a toujours deux éléments doubles (réels ou imaginaires). Nous pouvons dire aussi que:

Une courbe du second ordre a deux points communs avec toute droite réelle située dans son plan.

Par tout point réel, situé dansle plan d'une courbe de second ordre, passent deux tangentes de la courbe.

Si nous voulons distiuffuer les divers cas résumés dans cette double

proposition, nous ajouterons que :

Ces deux points sont imaginaires, réels ou coïncidents, suivant (|ue la droite est tout entière à l'extérieur de la courbe, qu'elle la rencontre ou qu'elle lui est tangente.

Ces deux tangentes sont imaginaires, réelles, ou coïncidentes, suivant que le point est à Tintérieur, à l'extérieur ou sur le pourtour de la courbe.

Si la courbe du second ordre et la droite sont complètement données, nous considérerons leurs deux points communs comme déterminés. Si au contraire la courbe n'est définie, par exemple, que par cinq points A,B,C,1),E, nous la regarderons connue engendrée parlestleux faisceaux projectifs de rayons A. (CDE) et B (CDE) ; ces faisceaux seront coupés par la droite suivant deux ponctuelles qui auront les deux points cherchés comme éléments cori-espondants communs. On pourra donc déterminer ces deux points au moyen des règles précédentes, quand la courbe du second ordre est définie d'une manière complète. Nous pourrons de cette manière décider à quelle espèce appartient une coui-be du second ordre déterminée par cinq points, car :

Une courbe du second ordre est une hyperbole^ une ellipse ou une parabole suivant que les deux points qu'elle a en commun avec la droite de Vin fini sont réels, imaginaires ou coïncidents.

La même méthode permet aussi de résoudre les problèmes du second degré qui suivent :

On donne quatre points d'une 1 On donne quatre tangentes courbe du second ordre et la tan- | d'une courbe du second ordre et

GEOMETRIE DE TOSITION.

génie en run (Teux, ou trois points et les tangentes en deux d'entre eux ; déterminer les deux ])oints qui sont conununs à la courbe et à une droite réelle située dans son plan.

le point de contact de Tune d'elles, ou trois tangentes et les points de contact de deux d'entre elles ; détei'miner les deux tangentes qu'on peut mener à la courbe par un point réel situé dans son plan.

S'il s'agit de trouver les points communs à une droite et à une courbe du second ordre définie par cin([ de ses tangentes, nous chercherons d'abord les points de contact des tangentes et nous ramènerons ainsi ce problème au précédent .

Von Staudt a établi une distinction spéciale pour les éléments doubles imaginaires d'une forme élémentaire involutive concordante AAp JîBj... en associant à la forme le sens déterminé de succession ABAj ou AJÎA des éléments qu'elle renferme. Sans nous étendre sur ce sujet, nous nous appuierons sur ce qui précède pour énoncer les théorèmes et donner les définitions qui suivent.

Lji point miaginaire est toujours situé sur une droite réelle ; celleci contient aussi le point imaginaire conjugué.

Un plan imaginaire passe toujours par une droite réelle ; le plan imaginaire conjugué passe par cette droite.

Une droite imaginaire de première espèce passe toujours par un point réel et se trouve dans un même plan réel avec la droite imaginaire qui lui est conjuguée; en eflét, le point et le plan sont les lieux des faisceaux projectifs de rayons du premier ordre qui ont les deux droites imaginaires conjuguées pour éléments correspondants communs.

Deux systèmes réglés projectifs du second ordre, situés l'un sur l'autre, peuvent avoir en commun deux droites réelles (qui peuvent aussi coïncider) ou deux droites imaginaires conjuguées de seconde espèce, (les droites se distinguent des droites imaginaires de première espèce en ce qu'il n'existe aucun plan réel qui les coupe en un point réel et aucun point réel d'où l'on puisse les projeter suivant un plan réel. En efi'et, un plan réel coupe les deux systèmes réglés projectifs sui\ant deux ponctuelles })rojectives du premier ou du second ordre situées l'une sur l'autre et qui ne peuvent avoir de point réel correspondant commun que si les deux systèmes réglés ont une droite corres-

PROBLEMES DU SECOND DEdRt':. 179

pondante commune réelle el passant par ce point. Il n'y a donc (|n'une seule espèce de points et de plans imaginaires, tandis qu'il existe deux espèces de droites imaginaires.

Quand nous parlerons de points, de droites et de plans, sans autre désignation, nous entendrons qu'il s'agit comme précédemment d'éléments réels, à moins que nous n'ayons expressément spécilié le contraire ou que cela ne résulte de la suite môme de nos considérations. Ceci a lieu en particulier dans les deux problèmes du second degré qui suivent :

On donne deux polygones [}i-cjones) simples dans un même plan ; on demande de construire nu troisième polygone qui soit inscrit au premier et ciixwiscrit au second :

Ou pour parler d'une manière plus précise :

On demande de construire un polygone de n côtés, dont les sommets

successifs soient situés sur n droites données Up u^, u. u , et dont

les côtés successifs passent par n points donnés Sp S^, S. S dans

un même plan.

Du point Sj projetons la ponctuelle u^ sur u^, de S^ la ponctuelle u., (c'est-à-dire la projection de u^) sur «., de S. la ponctuelle u. sur u,^ et ainsi de suite, et enfin de 8,^ projetons la ponctuelle u^ sur u^. Nous obtenons ainsi // -I- 1 ponctuelles du premier ordre, dont chacune est la projection de la précédente et dont la première et la dernière sont situées sur la même droite Wp Tout point correspondant conmmn à ces deux ponctuelles peut donc èti-e considéré connue le premier sommet du polygone cherché et il donne, par conséquent, une solution du problème. En général, il existe au plus deux polygones possibles satisfaisant au problème. Dans le cas particulier où les deux ponctuelles projectives situées sur u^ ont plus de deux points correspondants communs et où, par conséquent, elles ont tous leurs points correspondants communs, nous avons un nombre infini de solutions.

Il n'est pas nécessaire que les droites Wp u^ u^^ et les points S ,

S^ S,j soient dans un seul et même plan.; il suffit que S^ soit dans

un même plan avec u^ et u^, S^ avec u^ et m^, etc., et enfin S„ avec ?/,, et u^. Les deux polygones de n côtés, qui sont donnés, peuvent donc également être des polygones gauches de n côtés.

A ce problème se rattache celui-ci :

Trouver une droite rencontrant quatre droites données a, b, c, d qui ne sont pas situées deux à deux dans un même plan.

Happerions peispeclivcinenl les faisceaux de plans a ei b à la ponctuelle (■; ils déterminent sur (/ deux ])onctuelles projectives superposées. Par chacun des points correspondants coiununis à ces i)onctuelies passe une droite qui rencontrera a, b et c puisfju'elle est contenue à la fois dans deux plans homologues des faisceaux a et b. Si les droites appartiennent à un seul et même système réglé, le pi'oblème a une infinité de solutions; tians le cas général au contraire, il n'en a ([ue deux. On peut encore l'énoncer de la manière suivante :

U)ic surface réglée (ht second ordre est donnée pa)- trois droites a, b, c dun de ses syslùnies réglés; trouver les points qui lui sont communs avec une quatrième droite quelconcjue d.

Un des plus im[)ortants problèmes du second degré est celui-ci :

Deux formes élémentaires en involution sont situées Vune sur

l'autre; trouver deux éléments qui soient en même temps conjugués l'u)i à l'aut}c dans Vune cl dans Fautre forme.

Supposons d'abord que les deux formes élémentaires soient deux ponctuelles involutives situées sur la même courbe du second ordi-e (lig. 79), et soient d'une part a et ^ les points de la courbe qui correspondent aux points a^ et p^, et d'autre part A et ]] les points qui correspondent à A^ et B^. Cherchons les centres d'in\olution h et V; ils sont tels que deux points conjugués de la première ponctuelle se trouvent sui' une droite passant par U et que deux points conjugués de la seconde sont situés sur une droite passant par V. Si la droite UV est coupée par la courbe du second ordre aux deux points \ et \\. ces derniers sont en même temps conjugués l'un à l'autre dans les ponctuelles en involution. Si la droite ÏÏV est tangente à la courbe, son poijit de contact est un point double des deux ponctuelles. Enfin si L\ est à l'extérieur de la courbe, il n'existe pas de points satisfaisaiU aux conditions du })roblème.

Ce dernier cas ne pent se jiroduire que si chaciiiie des ponctuelles en involution a deux points doubles réels et si, par conséquent, elles sont involutives opposées; car c'est alors seulement que les points U et Y sont extérieurs à la courbe; comme les polaires de Ll et Y doivent se couper à l'intérieur de la courbe, au pôle de UV, les poiiils doubles de chaque ponctuelle sont en outi-e séparés par ceux de rautre.

Si les fonnes élémentaii-es iuvolutives sont deux faisceaux de rayons concentriques, situés dans le même plan, nous les couperons par une courbe du second oi'dre ]:)assant par le sommet commun des faisceaux ; et nous pourrons d'une luaiiière analogue ramener un cas quelconque du problème général à celui que nous venons de traiter. Le dernier résultat obtenu ne concerne pas seulement deux ponctirelles en involution situées sur la même courbe du second ordre; on peut encore l'énoncer d'une manière générale connue il suit :

Lorsque deux formes élémentaires en involution sont placées Vunc sur Vautre, elles renferment deux éléments qui sont conjugués Vuii à Vautre dans chacune de ces formes; ces cléments ne sont imaqinaires [conjugués] que si les deux formes sont involutives opposées et, da)is ce cas, les éléments doubles de Vune sont séparés par ceux de Vautre. Quand les deux éléments, qui se correspondent ainsi de deux manières, coïncident, les deux formes involutives ont un élément double commun.

Soient, par exemple, deux faisceaux de rayons du premier ordre dont l'un est rectangulaire (page 102). il résulte, comme cas particulier de ce théorème, que :

Dans tout faisceau de raijons du premier ordre en involution, il existe deux rayons réels conjugués enti'c eux. qui sont rectangulaires; on les appelle les axes dii faisceau.

Ceci nous permet de démontrer à nouveau que 1 ellipse et l'hyperbole possèdent deux diamètres conjugués rectangulaii'es, c'est-à-dire deux axes (voir, page 112); en effet, si l'on fait correspondre deux à deux tous les diamètres conjugués, ils forment un faisceau de rayons en involution. Ce résultat appartient tout naturellement à la géométrie métrique de même que le problème suivant du second ordre f(ui s'y l'attache :

Etant donnés deux couples de diamètres conjugués d''une couibe du second ordre, construire les axes de la courbe.

Par le centre S de la courbe (fig. (SO), où se coupent les diamètres

donnés, faisons passer une rirconférence quelconque, qui coupe l'un (les couples de diamètres conjugués en A et A^ et Tautre couple en l> et B^. Les points de cette circonférence sont alors accouplés involulivement par le moyen du faisceau de diamètres, et le point U où se rencontrent AA^ et BB^ est le centre d'involution par lequel passent les droites qui joignent deux à deux les points conjugués Fun à l'autre sur le cercle. Joignons maintenant U au centre C du cercle par la droite UC; cette droite coupera la circonférence en deux points conjugués X et Xj qui seront projetés de S suivant les deux axes cherchés SX et S\^^ Si le point U est extériem- au cercle , ce dernier a deux éléments doubles réels, M et N, qui sont projetés de U suivant deux tangentes et

de S suivant les asymptotes de Thyperbole, lesquelles appartiennent aussi au faisceau donné des diamètres (page 115).

Comme exercice, le lecteur pourra traiter ce problème : comment peut-on construire les axes (d'après la page 162), si, au lieu d'un cercle, on donne une courbe quelconque du second ordre passant par S?

Dans la suite, nous aurons souvent à résoudre cet autre problème :

Dans un faisceau de rayons en involution, déterminer deux rayons qui soienl linrinoniquement séparés par deux points donnés dans le plan.

Pour que le problème ne soit pas impossible, nous supposerons que les points donnés M et N ne sont pas situés sur une droite passant par le sommet S du faisceau de rayons et que par aucun d'eux il ne passe un rayon double de ce même faisceau. Du sommet S projetons maintenant la ponctuelle involutive, dont M et N sont les point doubles, suivant un second faisceau involutif de rayons; il ne nous restera plus qu'à rjicrclior los flpiix rnyous (|ui sont à l;i lois conjugués riiii n l'autre

dans chacun de ces deux faisceaux. — Ce problème ]")eut s'étendre aussi à d'autres formes élémentaires et être présenté sous bien des formes différentes. Par exemple, à la place du faisceau S nous pourl'ions avoir une ponctuelle involutive située sur la droite MiN . Si l'un des deux points Met N, par exemple N, passe à l'infîni, le problème devient le suivanl :

Dans une ponchiclle involutive du premiei" ordre, déterminer les points conjuçjués équidistanls d'un point quelconque M donné sur la droite.

On donne dans un même plan un triangle ABC et un faisceau V de rayons du pi'emier ordre en involution, dont aucun rayon double ne passe par l'un des sommets du triangle. Circonscrire au triangle une courbe du second ordre de telle sorte que les rayons conjugués du faisceau F soient conjugués deux à deux par rapport à la courbe.

On donne dans un même plan un triangle et une ponctuelle (\ii premier ordre en involution, dont aucun point double ne se trouve sur l'un des côtés du triangle.

Inscrire dans le triangle une courbe du second ordre de telle manière que les points conjugués de la ponctuelle soient conjugués deux à deux par rapport à la courbe.

Pour que le problème soit possible, il faut que le sommet du faisceau F ne coïncide avec aucun des sommets du triangle ABC (fig. 81); nous pourrons donc admettre que deux au moins des côtés de ce triangle, par exemple AB et AC, ne passent pas par F. En supposant que la courbe cherchée existe, il doit y avoir, sur chacun des côtés ÂB et ÂC, un point dont la polaire par rapport à la courbe passe par F. Comme ce point est harmoniquement séparé de sa polaire par la courbe, que de plus les rayons conjugués de F sont conjugués deux à deux par rapport à la courbe cherchée, nous trouverons cette dernière conmie il suit. Dans le faisceau F, nous déterminerons deux rayons conjugués p et p^ qui soient harmoniquement séparés par les points A et B et deux autres q et q^ qui soient harmoniquement séparés par les points A et C (fig. 81). Si ces rayons sont imaginaires, il n'existe pas de courbe réelle du second ordre qui satisfasse aux conditions du problème ; ce cas ne se présentera que si le faisceau F a deux rayons doubles qui soient séparés l'un de l'autre par A et B ou par A et C (page 180).

GEOMETRIE DE TOSITIOX.

Soient P et ]\ les points d'intersection de AB avec les rayons;? et p^, et Q et Qj ceux où AC est coupé par q et q^. ISoiis j^ouvons et nous devons faire alors l'une dos hypothèses suivantes :

1". P et Q sont les pôles res])ectifs dejj^ et ry^, '1\ P et 0, ^^ et 7,

r.". P^ et (,) — — p et 7,.

P, et (),

l> et q.

Tihacune de ces hypothèses nous conduit à une solution du problème. Faisons, par exemple, la ])remière hy])othèse et cherchons sin- la

Fig.81,

droite PCle point C harmoniquement séparé de G par P et sa polaire /}j ; cherchons de même sur QB le point B' harmoniquement séparé de B par Q et sa polaire r/^. La courbe du second ordre, qui passe par les cinq points AlidB'C et dont nous pouvons déterminer autant de points que nous voulons par les méthodes données précédemment, satisfait alors à toutes les conditions imposées. En effet, elle est circonscrite au li'iaugle \l)(l et connue P et p^ séparent hai'moniquement deux couples de ])oints de la courbe AJÎ et G,(/, P est le pôle de j\^ le rayon FP ou p est conjugué au i-ayon p^ et le l'ayon q au rayon r/j ; de sorte que deux rayons conjugués (|uelcoii(|iies (hi faisceau F sont conjugués l'un à l'autre pai' rappoit à la courbe.

Si le faisceau involutif F a deux rayons doubles, qui doivent par conséquent être tangents à la courbe du second ordre cherchée, le ])roblènie que nous venons de résoudre peut s'énoncer ainsi :

Circonscrire à un triangle donné une courbe du second ordre qui soit tangente à deux droites données situées dans le plan du triande.

Inscrire dans un triangle donné une courbe du second ordre c[ui passe par deux points donnés dans le plan du triangle.

La construction ci-dessus montre en même temps que ce double problème ne peut avoir quatre solutions réelles que si les deux droites (problème de gauche) ne sont pas séparées par deux sommets quelconques (hi triangle et si les deux points (théorème de droite) ne sont pas séparés Tun de Tautre par deux côtés du triangle. Dans le cas contraire, il n'y a pas de solutions réelles.

Si les rayons doubles du faisceau F sont imaginaires, le problème a quatre solutions. Ce cas se rencontre, par exemple, si le faisceau est rectangulaire et si par conséquent F est un foyer de la courbe cherchée; nous avons de la soi'te trouvé, en passant, la solution de ce problème :

Déterminer les quatre courbes du second ordre, qui sont circonscrites à un triangle donné et qui ont pour foijer un point donné.

Pour terminer nous allons traiter un problème qui, il est vrai, n'est pas du second degré, mais ([ui touche de très près à celui qu'on vient d'étudier.

On donne, dans un plan, un triangle AB(' et une ponctuelle in- \olutive u du premier ordre telle qu'aucun de ses points doubles ne soit situé sur l'un des côtés du ti'iangle et que u ne passe par aucun de ses sommets. Circonscrire au triangle une courbe du second ordre telle que les points conjugués de u soient conjugués deux à deux par rapport à la courbe.

On donne, dans un })lan, un triangle et un faisceau involutif de rayons du premier ordre S, tel qu'aucun de ses rayons doubles ne passe par l'un des sommets du triangle et que son centre S ne soit situé sur aucun de ses côtés.

Inscrire au triangle une courbe du second ordre telle que les rayons conjugués de S soient conjugués deux à deux pai- rapport à la courbe.

GEOMETRIE DE rO?lT10\.

Soient K et M (fig. 82), les points où Al> et ÂC coupent u et K, et M^ les points qui leur sont conjugués dans la ponctuelle involutive u; soit de plus Kg le point de AB qui est liarnioniquement séparé de K par les points V et H de la courbe et M^ le j)ûint de BC qui est harnioniquement séparé de M par B et C.

Par rapport à la courbe cherchée, KjK^ est alors la polaire de K. puisque Kj et K^ sont conjugués à K ; et de même M^M^ est la polaire de M. Soit aussi (/ le point harmoniquement séparé de C par K et K^K^ et A' le point harmoniquement séparé de A par M et ÂIjAI^ ; la courbe

Fi^.SZ

chei'chée passe par les cinq points A,B,C,A',C/. En effet, conformément aux conditions imposées, les points K et K^ (comme M et MJ sont conjugués l'un à l'autre par rapport à la courbe, puisque K est harmoniquement séparé de la droite K^K^ aussi bien par les points A et B de la courbe que par C et C ; par conséquent ce point est le pôle de K,Kj.

Les problèmes que nous venons de résoudre peuvent aussi s'énoncer sous la forme suivante (voir page 177) :

Faire passeï* une courbe du second ordre par cinq points d'un plan dont trois sont réels, dont les deux autres peuvent être ou réels, ou imaginaires conjugués, et dont trois quelconques ne sont pas en ligne droile.

Inscrire une courbe du second ordre dans un pentagone plan dont trois côtés sont réels et dont les deux autres peuvent être réels ou imaginaires conjugués.

Chacun de ces deux problèmes a une solution réelle.