QUINZIÈME LEÇON

Axes principaux, plans de symétrie, axes focaux et plans cycliques d'une surface conique du second ordre.

La théorie des polaires pour les surfaces coniques du second ordre découle immédiatement, comme nous Tavons déjà vu (page 106), de celle des courbes du second ordre. Mais il n'en est plus de même pour les théorèmes de la géométrie métrique qu'on déduit de cette même théorie ; on ne peut plus les étendre des courbes aux surfaces coniques du second ordre par la méthode des projections et des sections ; ils sont, en partie, d'une nature différente pour les surfaces coniques et doivent être spécialement établis pour elles. Cependant, nous prendrons principalement comme types les recherches qui précèdent.

Si l'on considère dans la gerbe de rayons une surface conique du second ordre, un plan quelconque £ a pour conjugués par rapport à cette surface tous les plans qui passent par le rayon polaire e de £. .Joignons e au rayon de la gerbe qui est perpendiculaire à e ; nous obtenons un plan s', qui est conjugué à £ et qui en même temps lui est normal. En général, il n'y a qu'un seul plan z' qui soit conjugue normal à un plan s de la gerbe; c'est seulement dans le cas où un plan a est normal à son rayon polaire a que tous les plans a' conjugués à « lui sont normaux. Dans ce cas, a et a bissectent les angles que font entre eux deux rayons de la surface conique situés dans un même plan avec a; car « et a sont perpendiculaires l'un à l'autre et séparent harmoniquement les deux rayons (pages 100 et 4;)).

Les rayons de la surface du second ordre sont alors symétriques

loO GEOMETRIE DE POSITION.

deux à deux par j-apport au plan a, que nous pouvons appeler un plan de i<y met rie de lasin^faee conifiue; on donne habituellemenl à son rayon polaire a le nom (ï are principal de la surface. (llKupie plan de symétrie de la surface conique est donc perpendiculaire à Taxe ])rincipal qui lui est conjugué, c'est-à-dire à son rayon polaire.

Lorsqu'un plan £ pivote autour d'un rayon s de la gerbe, son rayon polaire e décrit un faisceau de rayons dans le plan polaire de s et le rayon qui est normal à s décrit un faisceau de rayons dans le plan dt^ la gerbe qui est normal à s. Ces deux faisceaux ainsi décrits sont projectifs au faisceau de plans s; par conséquent ils sont aussi projectifs entre eux et engendrent en général un faisceau de ])lans du second ordre. Donc :

Si Vonconsidère deux plans conjiu/uéfi normaux de la gerbe et si Vun d'eux £ tourne autour d'un axe s, Vautre e' décrit en (jènércd un faisceau de plans du second, ordre, qui contient le plan polaire de s par rapport à la surface conique dominée et le plan de la gerbe normal à s.

Le plan e', ne tourne autour d'un axe s' que si les deux faisceaux projectifs de rayons sont en perspective et si par conséquent ils ont un rayon a correspondant commun. Dans ce cas, s se trouve dans un plan de symétrie a, dont a est le rayon polaire (l'axe principal conjugué) ; et comme a est le plan normal conjugué de sa, s' doit aussi être situé dans a. Donc :

Dans un plan de symétrie a d'une surface conique du second oindre, à chaque rayon s de la gerbe correspond un rayon s' et ces rayons sont tels que les plans des faisceaux s et s', qui sont normaux enti'c eux, sont conjugués par rapport à la surface conique.

Ce théorème est analogue à celui qui nous a conduits précédemmeni aux foyers d'une courbe du second ordre (page 163). Il nous mènera de même à la notion de ce qu'on appelle les axes focaux d'une surface conique du second ordre ; mais auparavant nous devons examiner si une surface de ce genre a plusieurs plans de symétrie et quel en est le nombre. Nous allons d'abord démontrer que la surface conique possède au moins un plan de symétrie.

Soit - le faisceau de plans que forment les plans conjugués normaux à tous les plans passant par un rayon quelconque s de la gerbe. S'il est. du j)remier ordre, l'existence d'uu plan de symétrie se trouve établie à l'avance (voir ci-dessus) ; nous admettrons donc que - est du second