AXES PRINCIPAUX D UNE SURFACE ('.UNIQUE UU SECOND ORDRE

ordre. A ce faisceau appartient cliaque plan de symétrie de la surface conique donnée, parce qu'il est conjugué normal au plan (jui passe par a et par l'axe principal correspondant. Ceci posé, tous les plans v), qui coupent suivant deux rayons la surface conique enveloppée par !1, sont séparés des autres plans cp de la gerbe de rayons par les plans tangents à cette surface conique (voir page 08). Soit donc / la droite suivant la- (juelle se coupent les plans conjugués normaux à un plan yj et un plan cp, les plans normaux conjugués à tous les plans qui passent par t forment un faisceau de plans T du premier ou du second ordre qui a au moins deux plans réels communs avec - et qui en a au plus quatre. L'un de ces plans connnuus est le plan conjugué normal à st; au contraire, tout aiilre de ces plans est normal à deux plans difierents, qui lui sont conjugués et appartiennent l'un au faisceau s l'autre à ^; il est donc aussi normal à son rayon polaire, suivant lequel ces deux plans se coupent. Et connue tout plan normal à son rayon polaire est un plan de symétrie de la surface conique donnée du second ordre, il existe donc au moins un de ces plans, et en général il y en a au plus trois.

Ainsi toute surface conique du second ordre possède au moins un plan de symétrie a, avec l'axe principal a qui lui est conjugué ; il est facile de démontrer que, dans tous les cas, il y a encore deux plans de symétrie qui se coupent rectangulairement suivant a. En effet si, dans le plan de symétrie a, on fait correspondre deux à deux les rayons de la gerbe qui sont conjugués pai' rapport à la surface conique du second ordre, on obtient un faisceau involutif de rayons, dont les axes h et c sont deux axes principaux de la surface ; car le rayon b, par exemple, est en même temps conjugué et normal à c et a; conséquemment son plan polaire ca est normal à h et constitue par suite un plan (le symétrie de la surface coni([ue. En particulier, si le faisceau involutif de rayon a est rectangulaire, chacun de ses rayons est un axe principal et chaque plan passant par a est un plan de symétrie. On reconnaît facilement ([ue, dans ce cas spécial, la surface conique du second ordre est une surface de révolution (un cône circulaire droit) dont a est Taxe de révolution. Ce qui précède démontre donc que :

Une surface conique du second ordre a en' général trois plans de symétrie qui se coupent rectangulairement suivant les trois axes principaux a, b, c et qui constituent par conséquent un trièdre polaire trireclangle de la surface. La surface conique de révolution na pas

seulement trms plans de symétrie; elle en a une infinité qui tous, excepté un^ passent par Vaxe de révolution.

Revenons malntencant au théorème qui nous a rappelé plus haut la théorie des foyers des courbes du second ordre. Établissons d'abord la définition qui suit :

Uaxe f de tout un faisceau de plans du premier ordre tel que ses plans perpendicidaires entre eux soient conjugués deux à deux par rapport à u)H' surface conique du second ordre, s'appelle un axe focal de la surface.

Si donc un plan tourne autour d'un axe focal /", son plan conjugué normal décrit de même le faisceau f et Taxe f doit par conséquent (page 188) se trouver dans un plan de symétrie de la surface conique. Comme on le voit facilement, un axe principal n'est en même temps un axe focal de la surface que si cette dernière est de révolution et si Taxe principal en question est Taxe de révolution. Les surfaces coniques de révolution n'ont d'ailleurs qu'un seul axe focal, qui est leur axe de révolution; nous les exclurons de nos considérations à l'avenir.

Le plan qui réunit deux axes focaux réels f et f est un plan de symétrie de la surface, parce qu'il est conjugué aux deux plans qui passent par /' et /' et qui lui sont normaux. Par aucun axe focal, on ne peut mener de plans tangents réels à la surface conique (voir page 1()'2).

Deux plans conjugués normaux quelconques coupent un plan de sj métrie a de la surface conique du second ordre suivant deux rayons s et s' tels (|ue tout plan passant par s est conjugué et normal à mi plan passant pars'. Les deux faisceaux s et s' de plans conjugués normaux sont projectifs et sont coupés par un second plan de symétrie ^ suivant deux faisceaux projectifs de rayons. Ces derniers sont en involution, parce que les rayons homologues sont deux à deux dans la même relation l'un par rapport à l'autre que s et s' et les rayons doubles du faisceau involutif de rayons ^ sont les axes focaux de la surface. Si ces deux rayons doubles sont imaginaires, il existe (voir page Hi'i) deux axes, d'où le faisceau p sera projeté pai' deux faisceaux rectangulaires de plans et qui sont deux axes focaux réels de la surface conique. La surface ne peut avoir plus de deux axes focaux réels, parce que le plan qui joint deux axes focaux réels est toujours un plan de symétrie et qu'il ne peut contenir plus de deux de ces axes, et parce que c'est seulement dans les surfaces de révolution qu'un axe focal est en même temps axe principal.

AXES FOCAUX. 191

Les deux axes focaux réels /'el /"'d'une surface coiikinc du second ordre séparent harmoniquement les plans qui sont conjugués normaux deux à deux; en effet, ces plans coupent le plan de symétrie ff suivant deux rayons conjugués du faisceau involutif dont f et f sont les rayons doubles. En particulier, les deux autres plans de symétrie sont harmoniquement séparés par /'et f et les angles formés par f et f sont par conséquent bissectés par deux axes principaux. D'après cela, nous ])ouvons distinguer les trois axes principaux de la surface ainsi qu'il suit : le premier est perpendiculaire au plan ff et extérieur à la surface, le second et le troisième sont situés dans le plan ff et l'un est intérieur et l'auti-e extérieur à la surface. Le premier des trois plans de symétrie contieiit les deux rayons focaux f et /"', le second est tout entier k l'extérieur de la surface et le troisième, de même que le premier, la coupe suivant iV'xw rayons-sommets ; le deuxième et le troisième plan de symétrie renferment chacun deux axes focaux imaginaires conjugués de la surface conique.

Les plans bissecteurs du dièdre formé par deux plans tangents (|ueiconques de la surface conique sont des plans conjugués normaux ; ils sont par conséquent séparés harmoniquement par les deux axes focaux réels /"et /■'; ils bissectent donc aussi le dièdre formé par les deux plans tangents. Nous avons ainsi ce théorème (comp. page 165) :

Tout plan tangent à une surface conique du second ordre fait des (UKjk's égaux avec les deux plans qui joignent son rayon de contact aux axes focaux réels de la surface.

Soient g le rayon symétri([ue de f par rapport à l'un des deux })lans tangents qui se coupent suivant un rayon t, et g' le symétri{}ue de /' par j-apport à l'autre plan tangent ; les plans tg et tf font entre eux le même angle que les plans //' et fgr' ; conmie de plus <itg = <itf et <itf z=^tg\ les deux angles triarètes gif et ftg' sont congruents et peuvent être amenés à se superposer par rotation autour de leur arête commune t. Les angles des faces gf et fg' sont donc égaux. L'un d'eux change seulement de position, mais pas de grandeur quand l'un des deux plans tangents se déplace en roulant sur la surface. Il en résulte que :

Les rayons symétriques d'un axe focal f par rapport à tous les plans tangents d\ine surface conique du second ordre sont situés sur un cône de révolution qui a Vautre axe focal f pour axe de révolution .

D'après le théorème précédent, chacun de ces rayons symétriques

192 fiEOMETRIE DE I'US1TI(»N

doit se trouver dans un même plan avec l'autre axe focal et le rayon de contact du plan tangent correspondant ; et comme le rayon de contact fait avec le premier axe focal le même angle qu'avec son symétrique, il s'ensuit encore que :

L(i soinmc ou la différoice des deux angles, quun rayon quelconque de la surface conùiue fait avec les deux a.res focaux réels f et f , est constante.

Suivant que nous considérerons l'un ou l'autre des deux angles adjacents que le rayon fait avec l'un des axes focaux, nous aurons une somme ou une différence constante. 11 découle de ce théorème que la surface intercepte un plus grand angle sur son premier plan de symétrie ff que sur le troisième.

Un plan normal à l'axe focal /'coupera la surface suivant une courbe du second ordre, dont un foyer sera situé sur f; car deux rayons quelconques passant par ce point et conjugués l'un à l'autre par rapport à la courbe sont perpendiculaires entre eux, puisqu'ils sont situés dans deux plans conjugués normaux de /'. \ous pou\ons, d'après cela, étendre immédiatement aux surfaces conicpies du second ordre deux théorèmes démontrés antérieurement (pageslG7 el 172) et les énoncer ainsi :

Si fou joint un axe focal f d\iue surface conique du second ordre aux rayons de contact et à la droite dl)itersection de deux plans tangents, le plan déterminé par f et par celte dernière droite fait des angles égaux avec les deux précédents.

Les faisceaux projectifs de rayons suivant lesquels deux plans tangents d'une surface conique du second ordre sont coupés par tous les autres plans tangents de cette surface sont projetés d'u)i axe focal f suivant deux faisceaux de plans égaux et concordants.

-Nous allons nous occuper nuiintenant des plans cycliques de la surface conique du second ordre, plans qui à un certain point de vue sont réciproques aux axes focaux et qu'on j)eut définir connue il suit :

On appelle plan cyclique d'une surface conique du second ordre le plan de tout faisceau de rayons du premier ordre tel que deux quelconques de ses rayons perpendiculaires entre eux soient conjugués par rapport à la surface.

On ajoute à ces plans l'épithète de cycliques, parce que toute courbe d'intersection de la surface par un plan parallèle est un cercle ; en eftet, le centre d'une pareille courbe est situé sur le rayon polaire du plan cy-