PLANS CYCLIQUES

clique et deux diamètres conjugués quelconques de la courbe sont perpendiculaires entre eux, parce qu'ils sont parallèles à deux rayons conjugués du faisceau de rayons dont il est question dans la définition. D'après cela, un plan de symétrie n'est en même temps plan cyclique de la surface que si celle-ci est de révolution et que si son axe de révolution est l'axe principal normal à ce plan de symétrie. Les surfaces coniques de révolution, ([iie nous exclurons encore ici de nos considérations, n'ont du reste (pie ce seul plan cyclique.

Un plan cyclique ne peut avoir aucun rayon réel commun avec la surface, car sans cela un rayon réel du plan serait conjugué à luimême. Deux plans cycliques réels se coupent suivant un axe principal c'est-à-dire suivant une droite à laquelle un rayon de chaque plan est conjugué et normal. D'une manière générale, nous appellerons rayons conjugués normaux deux rayons de la gerbe, dont fait partie la surface conique, qui sont perpendiculaires l'un à l'autre et conjugués par rapport à la surface ; il est facile de voir que tout rayon / de la gerbe (les trois axes ])rincipaux exceptés) n'a qu'un seul rayon conjugué normal /'. En effet /' est l'intersection du plan polaire et du plan normal du rayon L

Si maintenant le rayon / de la gerbe décrit un faisceau quelconque de rayons s, son plan polaire et son plan normal décrivent en même tenqis deux faisceaux de plans projectifs à s et l'on en déduit que :

Si un rayon 1 de la (jcrbe se meut dans un pUui s, son rayon conjugué normal Y décrit en général une surface conique du second ordre qui passe par le rayon polaire et par le rayon normal du plan s, et qui contient de plus les trois axes principaux de la surface conique donnée. Le rayon Y ne décrit un faisceau de rayons du premier ordre t que si t passe par tun des trois axes principaux , et dans ce cas t' contient aussi cet axe.

En effet, dans ce cas particulier les deux faisceaux de plans projectifs à £ sont perspectifs. La relation qui existe entre les rayons conjugués normaux de la gerbe est donc involutive et du second degré ; comme celle qui lie les plans conjugués normaux, elle aurait pu être employée pour déterminer les axes principaux de la surface conique du second ordre. Elle conduit à tous les plans cycliques des surfaces coniques, c'est-à-dire à tous les plans s qui coïncident avec leurs conjugués e.

Les plans passant par un axe principal a sont accouplés entre eu\

CKOMKTRIi: C3EMIX. 13

de telle sorte que deux rayons conjugués normaux / et /' sont toujours situés dans deux plans homologues £ et e' et les deux faisceaux s et s' de rayons conjugués normaux sont projectifs entre eux, ainsi que cela résulte de ce qui précède, ('es faisceaux sont projetés d'un second axe principal b suivant deux faisceaux projectifs de i^lans qui sont en involution ; en eflet leurs plans homologues sont deux à deux dans la même relation réciproque que les plans £ et t' . Les deux plans doubles de ce faisceau involutif b sont les plans cycliques de la surface conique donnée du second ordre, comme on le voit immédiatement.

Par chacun des trois axes principaux passent donc deux plans cycliques de la surface conique ; pour deux de ces axes, ils sont imaginaires conjugués, et c'est seulement suivant le troisième axe que se coupent deux plans cycli({ues réels 7, et y.'. En effet, s'il y en avait plus de deux, s'il existait par exemple trois plans cycliques réels, ils devraient se couper suivant les trois axes principaux et coïncider avec les plans de symétrie, ce qui est impossible d'après les remarques précédentes. Donc :

Il existe deux faisceaux de plans parallèles qui coupent, suivant des cercles, une surface conique quelconque du second ordre; ces faisceaux passant par les plans cijcliques réels x et ■/ de la surface.

Les plans 7. et v! séparent harmoniquement deux axes principaux et en général deux rayons conjugués normaux ; en effet ces rayons sont situés dans deux plans conjugués du faisceau involutif dont 7. et 7.' sont les éléments doubles. Par conséquent, deux des trois plans de symétrie de la surface bissectent les dièdres formés par les plans cycliques 7. et 7,', et le troisième est normal à ces derniers.

Comme les bissectrices des angles f[ue font entre eux deux rayons ([uelconques de la surface conique sont deux rayons conjugués normaux et que, par suite, ils sont harmoniquement séparés par 7. et 7.', on a ce théorème :

8i Von coupe le plan qui joint deux raijons quelconques de la surface par les plans cycliques, V une des droites d'intersection fait avec Vun des rayons le même angle que Vaulre rayon avec Vautre droite d'intersection.

il est également facile de démontrer que :

L'angle plan que les plans cycliques déterminent su)- un plan lanf/eut quelconque de la surface conique est bissecté par le rayon d(* cuîilacl.

PLANS CYCLIijUES. 195

Deux rayons conjugués normaux sont hannoniquenient séparés par les plans tangents de deux rayons quelconques de la surface qui sont situés dans un même plan avec F un d'eux. On en déduit sans peine cette conséquence :

Si Con cherche les inlersections d'un plan cyclique avec deux plans lamjents de la surface conique et avec le plan qui joint leurs rayons de contact, cette dernière droite d'intersection fait des angles égaux avec les deux premières.

Considérons encore un troisième pian tangent mobile, nous pouvons conclure (par analogie avec les théorèmes de la page IT'i) que :

Les plans, qui projettent un rayon mobile d'une surface conique du second ordre de deux rayons fixes de cette surface, déterminent sur chacun des plans cycliques des angles de grandeur constante. Par conséquent, deux faisceaux projectifs de rayons, qui engendrent la surface conique, so)it coupés par chaque plan cyclique suivant deux faisceaux de rayons projectifs et égaux.

La plupart de ces théorèmes sur les plans cycliques, et bien d'autres encore, peuvent se déduire de théorèmes analogues sur les axes focaux des surfaces coniques du second degré, au moyen de gerbes de rayons rapportées rectangulaii'ement les unes aux autres. Nous dirons que deux gerbes S et S^ sont rapportées rectangulairement Tune à Tautre, quand à cha([ue plan de Tmie on fait correspondre le rayon de l'autre qui lui est normal, et quand par suite à chaque faisceau de plans de l'une coirespond dans Tautre un faisceau de rayons qui lui est projectif et dont le plan est normal à l'axe du faisceau de plans. A quatre ])laiis harmoniques de Tun des faisceaux correspondent donc quati-e rayons harmonicpies île l'autre, qui sont respectivement normaux à ces plans. Deux éléments de la gerbe S font entre eux le même angle que les éléments correspondants de la gerbe S^.

Aux rayons d'une surface conique du secontl ordre dans la gerbe S correspondent ainsi-les plans tangents d'une surface conique du second ordre dans S^ ; si nous imaginons que l'une d'elles soit engendrée paideux faisceaux projectifs de plans, l'autre se présentera connue la forme à laquelle donnent naissance deux faisceaux projectifs de rayons. Deux rayons harmoniquement séparés par l'une auront pour correspondants dans l'autre deux plans harmoniquement sépai'és pai" deux plans tangents à cette autre sui-face, d'où il résulte (ju'en général deux éléments conjugués ont toujours pour correspondants deux éléments cou-

jugués. A deux rayons ou plans noi'iiiaux luii à l'autre et conjugués par rapport à l'une des surfaces correspondent, d'après cela, deux plans ou rayons normaux l'un à l'autre et conjugués par rapport à l'autre surface. De même à chaque plan cyclique d'une de ces surfaces coniques correspond un axe focal de l'autre et à chaque plan de symétrie un axe principal. Toute propriété des axes focaux peut donc se tj-aduire immédiatement en une propriété correspondante des plans cycliques d'une surface conique du second ordre ; par exemple, nous obtenons de la sorte ce théorème (comp. page 19'2j :

La somme ou la diffcrence des deux angles quun plan tangent quelconque de la surface fait avec les deux plans cycliques réels est constante.

Étant données deux surfaces coniques du second ordre ainsi rapportées rectangulairement l'une à l'autre, à toute portion de plan limitée par l'une d'elles correspond un rayon limité par l'autre. Si donc le plus grand de tous les angles plans compris à l'intérieur de la deuxième surface est celui qui contient les deux axes focaux f,f\ le plus grand des angles dièdres compris dans la première est celui qui contient ses plans cycliques réels. Comme par le fait une surface conique du second ordre intercepte un plus grand angle sur son premier 'plan de symétrie //'' ([ue sur son troisième (page 19'2). nous trouvons que :

Les plans cycliques réels •/. et y/ d'une surface conique du second ordre se coupent suivant le troisième axe principal qui est situé dans un même plan avec le second axe principal et les deux axes focaux réels, mais qui est en deliors de la surface.

Les deux premiers plans de symétrie de la surface conique bissectent donc le dièdre formé par •/. et y/, tandis que le troisième plan de symétrie est normal à ces deux plans y. et •//.