PROBLÈMES DE CONSTRUCTION ET THÉORÈMES
FOr.MFS TIARMOMQLES
1. Construire le quatrième élément harmonique à trois éléments d'une forme fondamentale uniforme (pages 40 et 45).
2. Par le point d'intersection (inaccessible) de deux droites mener une troisième droite qui passe pai- un point donné de leui- plan (pages 5 et 45).
3. Diviser en deux parties égales un segment AG, sans se servir du compas, mais coimaissant une parallèle à AC (page 45).
4. On donne dans un plan un parallélogramme et un segment quelconque AG; on demande de diviser AG en deux parties égales, sans se servir du compas, de mener une parallèle à AG, de construire un segment égal à n fois AG ou de diviser AG en n parties égales (page 45).
5. Soient A,I5,G,D quatre points harmoniques; sur AG comme diamèti-e on décrit un cercle dont S est un point quelcon^iue; l'arc de cercle qui sous-tend l'angle BSD est bissecté par A ou G (page 45).
6. Entre les côtés a,b d'un angle mener une droite \l>, qui soil bissectée par un point donné P ou (pii soit telle que le point \ soit le milieu du segment PB (page 45).
PliO.IRCTlVITI-: DKS FOHMKS FONDAMENTALES UNIFORMES.
7. Deux ponctuelles w,^^ sont rapportées perspectivement Tune à 'autre, puis amenées en position oblique, c'est-à-diic déplacées d'une
iiuinière (iuclcoii(|iic Tiiiie ])ar lappoil à l'auti-e. Tracer les droites qui joignent leui's points homologues, c'est-à-dire le faisceau de rayons du second ordre engendré par u et u^.
8. Deux faisceaux de rayons sont rapportés perspectivement l'un à l'autre, puis amenés en position oblique, c'est-à-dire déplacés d'une manièi"e f[upk'oiique l'un par' rapport à l'autre. Tracer la courbe du second ordre (|irils engendrent et sui- la((iielle sont situés les points d'intei'sectioii de leurs rayons homologues.
9. Deux ponctuelles u et u^ sont perspectives à une troisième ponctuelle Wj. Tracer le faisceau de rayons du second ordre qu'elles engendrent.
10. Deux faisceaux de rayons S et S^ sont perspectifs à un troisième Sj. Tracer la courbe du second ordre qu'ils engendrent.
11. On donne trois couples de points correspondants A et A,, ]> et Bj, G et Cj de deux ponctuelles projectives u et m^; consti'uire le point Dj de ?/j f[ui correspond au point D de u (pages 60 et 72) et, en général, tracer le faisceau de rayons du premier ou du second ordre engendi'é par u et u^^. Résoudre la première ])artie du problème quand u et u^ sont situées sur la même droite.
12. Énoncer et résoudre le ])iol)lème réciproque du précédent (page 72).
13. Si les sonmiets d'un hexagone simple AC^BV^CB^ sont alternati- ' vement situés sur deux droites u et w^, par exemple A,B,G sur u et
Aj, Bj, G^ sur Wj, les points d'intersection A^, B,, C^ des trois couples de côtés opposés sont aussi situés sur une même droite ?/, (page 85). La figure qui élucide ce théorème, de même que la figure 3 dont il a été question (page 5), mérite de fixer l'attention à cause de sa symétrie; en effet, elle se compose de neuf points, situés trois à trois sur neuf droites, et ces neuf droites passent troi^ à trois par ces neuf points. La même figure s'applique aussi au théorème réciproque. Gomment s'énonce-t-il ?
14. Étant donnés deux faisceaux perspectifs de rayons, construire dans l'un deux rayons rectangulaires qui aient pour correspondants dans l'autre faisceau deux rayons également rectangulaires. De la solution de ce problème il résulte que :
15. Dans deux faisceaux projectifs de rayons, dont les centres ne sont pas à l'infini, il y a toujours deux angles droits qui se correspondent.
10. Étant donnés un faisceau de rayons Set un faisceau de plans u en perspective, l'axe de ce dernier faisceau est perpendiculaire à l'un des deux rayons de S qui sont rectangulaires et auxquels correspondent dajis ï( deux plans rectangulaires entre eux. En partant de cette remaif[ue, on trouve que les deux problèmes suivants ont chacun deux solutions :
17. Étant donnés i\n faisceau de rayons S et un faisceau de plans u qui lui est projectif, on demande :
[" De mener par un point quelconque un plan qui coupe le faisceau de plans u suivant un faisceau de rayons congruent avec S ;
2° De déterminer un axe d'où le faisceau S soit projeté suivant un faisceau de plans congruent avec u.
18. Placer un faisceau de rayons S et un faisceau de plans 7i dans une position relative telle que trois plans donnés a, 6, y de u passent par trois rayons donnés a,6,c de s (problème 17).
19. Couper la surface d'un prisme triangulaire a 6 y suivant mi triangle a h c, semblable à un triangle donné a^b^c^. Ce problème peut se ramener au jn'écéflent.
COURBES, FAISCEAUX ET SURFACES COMQUES DU SEGOiNn ORDRE.
20. On donne cinq points d'une courbe du second ordre, ou quatre points et la tangente en l'un d'eux, ou trois points et les tangentes en deux d'entre eux ; construire la courbe au moyen de faisceaux projectifs de rayons (pages 72 et 74).
21. On donne cinq rayons d'un faisceau de rayons du second ordre, ou quatre rayons et le point de contact de l'un d'eux, ou trois rayons et les points de contact de deux d'entre eux ; construire le faisceau au moyen de ponctuelles projectives (pages 72 et 74).
22. Résoudre les trois problèmes 20 au moyen du théorème de Pascal et, en particulier,
1" Trouver le second point de la courbe, qui se trouve sur une droite quelconque passant déjà par un point connu de cette courbe ;
2" Mener la tangente en un point donné ou construit de la courbe (page 85).
2"). Piésoudre les trois problèmes 21 au moyen du théorème de Hrianchon, et, en particulier :
1° Par un point quelconque d'un rayon déjà connu mener le second du faisceau du second ordre ;
2° Déterminer le point de contact d'un rayon déjà donné ou qu'on construit (page 85).
Remarques. No?i seulement les problèmes l'I et 25 renferment un grand nombre de problèmes particuliers, mais de plus chacun d'eux peut se résoudre de différentes manières, puisqu'on peut y utiliser non seidement les théorèmes sur lliexngone, mais encore ceux relatifs aux pentagones, aux quadrilatères et aux triangles. Comme cas particuliers des problèmes 22 et 25, nous indiquons les trois suivants :
24. Construire une hyperbole dont on donne les deux asymptotes et un point ou une tangente.
23. Construire une parabole, connaissant quatre de ses tangentes, ou trois tangentes et le point de contact de l'une d'elles, ou deux tangentes et leurs points de contact.
26. Construire une hyperbole, connaissant trois points de la courbe et la direction de ses asymptotes.
Quelle est la dépendance des problèmes 24, 25, 26 avec les pi'oblêmes 20 et 21?
27. Démontrer que le cercle est une courbe du second ordre, et que ses tangentes forment un faisceau du second ordi*e. Sous quel angle voiton du centre le segment d'une tangente mobile compris entre deux tangentes données?
28. Une ponctuelle u et un faisceau S de rayons du premier ordre sont situés» dans un même plan et rapportés projectivement l'un à l'auti-e. Les perpendiculaires abaissées de u sur les rayons correspondants de S enveloppent une parabole, quand elles ne passent pas toutes par un même point (voir page 95). La parabole est aussi tangente à u.
29. Lorsqu'un angle de grandeur donnée se meut dans un plan de telle sorte que son sommet décrive une droite fixe u et que l'un de ses côtés pivote autour d'un point fixe, l'autre côté enveloppe une parabole; cette courbe est tangente à u.
50. Un triangle variable ASAj se meut dans un plan de telle manière que les extrémités A et Aj de sa base décrivent deux droites fixes u et Mj et que l'angle au sommet S pivote autour d'un ])oint fixe sans chanp-er de grandeur. La droite AA^ enveloppe une courbe du second degré tangente à m et u^. (D'après les théorèmes de la page I 72. S est un fo\er de cette courbe.)
51. La base AA^ d'un triangle variable APAj est donnée de grandeur et glisse sur un droite fixe w, tandis que ses deux autres côtés PA et PÂ^ pivotent autour de deux points fixes S et S^. Le sommet P décrit une hypei'bole, qui passe par S et S^ et qui a la droite u pour asymptote.
32. Les sommets de deux angles ab et aj)^ de grandeur donnée, situés dans un même plan, pivotent autour de deux points fixes S et S^ tandis que le point de rencontre cla^ de deux de leurs côtés décrit une droite; chacun des trois autres points bb^, ab^, ajj où se coupent leurs côtés se meut sur une courbe du second ordre qui passe par S et Sj (Description organique des coniques de Newton).
55. D'un point quelconque P on abaisse des perpendiculaires sur les plans d'un faisceau de plans a ; leurs pieds sont situés sur un cercle qui a pour diamètre la perpendiculaire abaissée de P sur a et dont le plan est perpendiculaire à a. On en conclut que :
5i. Si par les côtés a,a^ d'un angle aigu on mène tous les couples possibles de plans perpendiculaires entre eux, ces plans se coupent suivant les rayons d'une surface conique du second ordi'e qui passe pai- a et ffj. Tout plan normal à a ou «^ coupe cette surface suivant un cercle, et tout plan normal à a«i la coupe suivant une courbe du second ordre qui a l'un de ses axes dans le plan aa^
55. On obtient encore la surface conique dont il vient d'être question au moyen d'un plan a perpendiculaire à a^ et passant par le point «a,. En effet, si un angle droit, ayant son sommet en «a, se meut de telle sorte que son plan passe toujours par la droite a et qu'un de ses côtés décrive le plan a, son autre côté décrira la surface conique du second ordre dont il s'agit.
56. Si deux faisceaux de rayons concentricjues, dont les plans se coupent obliquement, sont rapportés l'un à l'autre de telle manière que leurs rayons homologues soient perpendiculaires deux à deux, ils engendrent un faisceau de plans du second ordre. Ou en d'autres tenues : si un angle droit pivote autour de son sommet et que ses deux côtés se meuvent dans deux plans fixes, son plan enveloppe une surface conique du second ordre tangente aux deux plans fixes.
57. D'un point quelconque on abaisse des perpendiculaires sur tous les plans tangents d'une surface conique du second ordre; ces droites sont elles-mêmes situées sur une surface conique du second ordre. En effet, les plans tangents à la première surface sont engendi'és par deux
202 GÉOMÉTRIF. DE POSITION.
faisceaux pmjpctifs de rayons, et de ces derniers on peut immédiatement déduire deux faisceaux projoctifs de plans du premier ordre qui engendrent la seconde surface.
58. Le lieu géométrique d'un point S d'où un ([uadrilatère plan KLMN est projeté suivant un faisceau harmonique de rayons S {KLM\) est une courbe du second ordre circonscrile au ([uadrilatère (page 77). Si l'on construit le rayon n conjugué harmonique à AK, NL et NM, il est tangent en N à la courbe en (question et l'on peut, d'après cela, la tracer facilement.
59. Le lieu géométrique d'une droite u qui est coupée par un quadrilatère plan Jdmn suivant une ponctuelle harmonique u [Jdmn] est un faisceau de rayons du second ordre auquel appartiennent les quatre droites /.-, /, m, n (page 77). Le point du contact du rayon n est harmoniqueinent séparé de ni par nk et nni.
40. Nous doimerons, avec Von Staudt, le nom de groupe ou homozygie [Wurf) ' à un ensemble formé de quatre éléments A, B, G, D d'une forme fondamentale uniforme qui se suivent dans un ordre déterminé. Deux gi'oupes ABCD et abcd seront dits projeclifs quand les deux formes fondamentales auxquelles ils appartiennent sont rapportées l'une à l'autre de telle manière qu'aux éléments A, B, C, D de l'une correspondent les éléments a, b, c, d de l'autre.
Les théorèmes 58 et 59 peuvent se généraliser comme il suit :
A I , Soit abcd un groupe donné (composé par exemple de quat re rayons d'un faisceau du premiei' ordre) ; tous les points S qui projettent un quadrilatère plan quelconque KLMN suivant un groupe S (KLMN) projectif à abcd^ sont situés sur une courbe du second ordre circonscrite au quadrilatère. Gonunent construit-on la tangente au point N? (Voir n° 58.)
42. Soit ABCD un groupe donné; toutes les droites u qui sont coupées par un quadrilatère plan klmn suivent un groupe u [klmn] projectif à ABCD, sont tangentes aune courbe du second ordre inscrite au quadrilatère. Comment construit-on le point de contact de n avec cette courbe? (Voir n" 50.)
45. QMand deux triangles ABC et D^E^Fj sont inscrits dans une courbe k^ du second ordre, ils sont aussi circonscrits à une même
Cette expression, homozygie. est due à M. Stéphanos.
PÔLES ET POLAIRES ; niAMÈTRES DES COURBES DU SECOND ORDRE. 203
courbe du second ordre et réciproquement. En eflel les fj;roupes A. (IjCEiFi) et Di (BGEiFi) sont projectifs, puisqu'ils se cori-espondent dans les faisceaux projectifs de rayons A et D^ qui engendrent la courbe /.■\ Soit maintenant BiGiEiFi la section du faisceau A(BCEiFi) par la droite EjEi, et BGEF celle du faisceau Di(BGEjFi) par la droite BG; BiGiEjFi et BGEF sont aussi des groupes ])rojectifs; par suite les six côtés des triangles à savoir : BG, BB^, G(îj, E^F^, EE, et F\\ sont bien six rayojis d'un faisceau du second ordre.
La réciproque de ce théorème se démontre d'une manière analogue.
POLES ET polaires; diamètres des COUP.BES DU SECOrSD ORDRE.
4i. Tracer la figure polaire, par rapport à une courbe du second ordre, d'une figure donnée quelconque, c'est-à-dire construire les polaires de ses points et les pôles de ses droites (page 96). Gomme exem- ])les, prendre un polygone et une courbe quelconque.
45. D'un point quelconque mener des tangentes à une courbe donnée du second ordre sans se servir du compas (page 00).
4(i. Deux tangentes mobiles d'une courbe du second ordre se meuvent de manière que
la droite qui joint leurs points de contact enveloppe une deuxième courbe du second ordre ; leur point d'intersection décrit alors une troisième courbe du second ordre.
que leur point d'intersection décrive une deuxième courbe du second ordre ; la droite qui joint leurs points de contact enveloppe une troisième courbe du second ordre (page 101).
47. Déterminer au moyen de constructions linéaires la polaire d'un point ou le pôle d'une droite, par rapport à une courbe du second ordre définie par cinq conditions [par exemple, par cinq points ou cinq tangentes], mais qui n'est pas tracée. (Voir n"* 20-25.)
4(S. Une courbe du second ordre est donnée par cinq conditions, par exemple, par quatre tangentes et le point de contact de l'une d'elles, ou par trois points et les tangentes en deux d'entre eux. Construire un nombre quelconque de diamètres et le centre de la courbe (n" 47).
204 GÉOMÉTrUE DE POSlTrON.
id. Dans une courbe donnée du second ordre, mener une corde qui soit divisée en deux parties égales par un point donné P.
50. Toutes les cordes d'une courbe du second ordre, qui sont bissectées par une corde donnée quelconque, enveloppent une parabole (page 95).
51. On donne deux couples de diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole et un point ou une tangente ; construire autant de points ou de tangentes de la courbe qu'on voudra (pages 110 et 111).
52. On donne deux points ou deux tangentes et un couple de diamètres conjugués d'une courbe du second ordre ; ou bien trois points ou trois tangentes et le centre; construire la courbe (pages 110 et 111).
55. Construire une parabole, connaissant deux points ou deux tangentes et la direction des diamètres (page 109), ou bien deux points ou deux tangentes et l'axe.
54. Une parabole est définie par quatre tangentes; construire son axe.
55. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant trois points ou trois tangentes et un axe.
50. Construire une hyperbole, connaissant ses asymptotes et un point ou une tangente (pages 114 et 115).
57. Tracer les axes d'une courbe du second degré donnée (page 115).
5<S. D'un point S on abaisse des perpendiculaires sur tous les diamètres d'une courbe k^ du second ordre ; ces perpendiculaires coupent les diamètres conjugués respectifs en des points appartenant à une hyperbole équilatère qui passe par S et par le centre de /.^ et dont les asymptotes sont parallèles aux axes de /.•\ Les j)ieds de toutes les normales à k^ passant par S sont situés sur cette hyperbole. D'un point pris dans le plan d'une courbe quelconque du second ordre, on ne peut donc mener plus de quatre normales à cette courbe.
59. Soient S et Sj deux points d'une courbe du second ordre, situés sur un diamètre quelconque, et u et u^ deux droites du plan qui sont parallèles à deux diamètres conjugués quelconques de la courbe. Si l'on projette la courbe de S et S, sur u et u^, on obtient (page 110) deux ponctuelles projectives semblables u et u^ qui sont par suite divisées en parties proportionnelles. Ce théorème sert de base à une construction connue et très simple de l'ellipse ou de l'hyperbole.
00. Si l'on projette en même temps une parabole de l'un de ses pi>ii;ts sur un diamètre (|uelcon(jue u et de son point à l'infini sur une
PÔLES ET polaires; DIAMETRES DES COURBES DU SECOND ORDRE. 205
droite quelconque m^ on obtient sur u et w, deux ponctuelles projectives semblables. On déduit de là une construction très simple de la parabole.
61 . Etant données deux courbes du second ordre dans un même plan, tout point A du plan a deux polaires par rapport à ces courbes et nous pouvons faire correspondre le point Aj d'intersection de ces polaires avec le point A. Les deux polaires de A^ passent alors par le point A et les points homologues, comme A et Aj, sont conjugués deux à deux par rapport aux deux courbes. Nous pouvons de même faire correspondre deux à deux les rayons du plan qui sont conjugués par rapport aux deux courbes du second ordre. .le dis que (voir page 101) :
Aux points d'une droite corres- ])ondent en général ceux d'une courbe du second ordre. Toutes les courbes du second ordre qui correspondent de la sorte aux droites du plan, ont au moins un point connnun et au plus trois points U, V, W communs. Les deux polaires de chaque point commun se confondent, de sorte qu'à ce point correspondent tous les points d'une droite.
Aux rayons passant par un point correspondent en général les tangentes d'une courbe du second ordre. Toutes les courbes du second ordre dont les tangentes correspondent ainsi aux rayons passant par chaque point, ont au moins une tangente commune et au plus trois tangentes w, v, w communes. Les deux pôles de chaque tangente commune se confondent, de sorte qu'à cette tangente correspondent tous les rayons passant par un point.
Si les courbes données du second ordre sont circonscrites à un quadrilatère, les trois couples de côtés opposés de ce dernier se coupent aux points U, V, W. Ces trois points sont les sommets, et les droites w, y, w sont les côtés d'un triangle polaire comnmn aux deux courbes.
62. Dans le plan d'une courbe k"^ du second ordre, on peut faire correspondre deux à deux les rayons qui sont rectangulaires et qui en même temps sont conjugués par rapport à A;^ Aux rayons passant par un point propre S, qui n'est situé sur aucun des axes de la courbe (page 165), correspondent alors les tangentes d'une parabole (n° 28) qui est tangente à la polaire du point S et aux axes de la courbe A*. Toute tangente commune à la parabole et à la courbe A:* sera tangente à cetle
206 GÉOMÉTRIE DE POSlIloN.
dernière au pied de la iioiinale abaissée de S sur L'^ (\oir ii" 5<S).
65. Dans une gerbe de rayons, on doime une surface conicjue A' du second ordre el un rayon déterminé ii ; on peut faire correspondre deux à deux les rayons a, a^ (\\n sont conjugués par rapport à k^ et qui sont dans un même plan aNci: u. Si a d(''ci-it lui plan 7, a^ décrit une surface conique du second oidre, (\\n passe par u et par le rayon polaire de a et ({ui a en cojumun avec li^ tous les rayons de /i^ situés dans a et dans le plan polaiie de u (voir page 105). Connnent s'énonce le théorème récii)roque ?
()i. Les relations géométriques établies dans les n°' 01, 62, 05 sont des cas de la corresponâanve (fcoiiictrique du second ord)e, dont il sera plus longuement question dans la seconde partie de cet ouvrage ; elles peuvent être employées pour transformer des formes simples en de plus compliquées. Parmi celles-ci, la transformation connue sous le nom de tians formation par raijons vecteurs rcciproques mérite une place à part; elle a la plus grande importance non seulement pour la géométrie syntliéti(pie, mais aussi pour certaines recherches de la physique mathématique et de la théorie des fonctions. Conmie on le \erra bientôt, cette transformation n'est ([u'un cas très particulier d'une correspondance géon)étri(|ue du second degré indi(juée précédenimeul (|)age 105).
TRANSFOIiMATIUlN PAR UAYOAS VECTELHS UÉCIPKOQLEs'.
0'). Soit un cei'cle de rayon r et de centre M; nous considérerons deux points P, Pj du plan comme rapportés l'un à l'autre, (piand ils seront situés sur une droite passant par M et conjugués par rapport au cercle. P et P^ sont alors liaruu)ui([uement séparés j)ar les extrémités d'un diamèti-e du cercle et Ton a par conséquent ^pagc IS).
MP.Ml\ = r', ou ^11* = ;^-
Le produit des rayons vecteui's de deux points correspondants est donc constant, ou le rayon vecteur d'iui point quelconque P est inver-
1. Pour une élude plus eoiuplète do cette théorie voir l'ouvrage doGEisER, Einleiluwj in die sipillictischc ('<eumclrv:. Leipzig, 1869, pages 109-183.
