Construire le foyer F d'une parabole
1° Le foyer F est situé sur la perpendiculaire élevée à chaque tangente par son point de rencontre avec la tangente au sommet (page 170).
2" Le foyer bissecte le segment de l'axe conq^ris entre deux droites conjuguées perpoiidiculaires l'une sur l'autre, par exemple la tangente et la normale en un point de la parabole (page 165).
7f Chaque tangente à la parabole fait avec un diamètre le même angle que la droite qui joint son point de contact au foyer F (page 165).
4° Tous les cercles circonscrits à des triangles formés de tangentes à la parabole passent par le foyer F (page 172).
122. Construire la directrice f d'une parabole. 1" La directrice est la polaire du foyer.
2° Deux tangentes rectangulaires se coupent sur la direcirice (^page 165).
3" Les centres des hauteurs de tous les triangles formés de tangentes à la ])arabole sont situés sur la directrice f {n° 115).
222 GÉOMÉTUIE DE POSITION.
125. Les directrices de toutes les paraboles inscrites dans un triangle passent par le centre des hauteurs de ce triangle, et leurs foyers sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. Si d'un point quelconque de ce cei'cle ou abaisse des perpendiculaires sur les c(jtés du triangle, leurs trois pieds sont situés sur une nièine droite, (jui est la tangente au sonuuel de l'une des paraboles inscrites.
i'Jk (lonsdiiire les loyers d'une ellipse ou d'une hyperbole :
l" En les regardant coninie des points doubles d'une ponctuelle en imolution située sur Taxe principal (page 164).
■2" Au moyen des tangentes au sommet de l'axe principal. Ces tangentes déterminent sur une troisième tangente quelconque un segment qui est jirojeté de chacun des foyers suivant un angle di'oit (page 171).
5° Au moyen du cercle qui est tangent à la courbe aux deux extrémités de l'axe principal. Si l'on élève sur chaque tangente à la courbe des perpendiculaires aux points où elle rencontre ce cercle, ces droites coiqDent l'axe principal aux deux foyers (page 170).
'^° En circonscrivant un cercle à un triangle rectangle dont les cotés sont conjugués l'un à l'autre et dont l'hypoténuse est située sur Taxe conjugué. Ce cercle coupe l'axe principal aux deux foyers (page l()4).
o" Au moyen du théoi'ème sur la constance de la somme ou de la dilïérence des l'ayons f(iii joignent \\n point de la courbe aux foyers, (page J69).
125. Construire une courbe du second ordre, connaissant un foyei', la directrice correspondante et un point ou une tangente (pages 165-1 67).
l'26. Construire une courbe du second ordre connaissant ini fo)erel trois tangentes, ou deux tangentes et le j)oint de contact de Tune d'elles (page 171). Dans l'un et l'autre cas, construire ijimiédiatement l'autre foyer (page -165).
127. Si l'on fait correspondre entre eux les foyers de toutes les courbes du second ordre inscrites dans un triangle ABC, on obtiendra entre les points du plan une correspondance involutive du second degré, dont A, B, C sont les trois points principaux; c'est-à-dire que si l'un des foyers décrit une droite u quelconque, l'autre décrit une courbe du second ordre passant par A, B, C et projective à u (page 165). Les bissectrices des angles du triangle se correspondent à elles-mêmes. Toute di'oite du ])lan est un axe de Tune des courbes du second ordre inscrites.
FOYEKS DES COUHBES DU SE(;(»N1> OKDHE. 223
hJ8. Coiislriiire une courbe du second ordre, coimaissant les deux foyers et un point ou une tangente (pages 109 et 17(1).
129. Les angles fonnés ])ai' les tangentes qu'on peut mener à des courbes homofocales du second ordre par un point ([uelconque P de leur plan, sont bissectés par deux droites déterminées ([ui se coupent orthogonalenient en P (page 165); ce sont les tangentes aux deux courbes qui passent par P.
130. Les pôles d'une droite g, par ra])port à des courbes homorocales du second ordre, sont situés sur une droite perpendiculaire à 7, (jui est harmoniquement séparée de g par las deux foyers.
131. Les côtés opposés d'un quadrilatère formé par un triangle polaire et le point de rencontre de ses hauteurs sont liai'moni([uenient séparés deux à deux par les foyers de la courbe.
132. On donne deux points A, B et un foyer F d'une courbe du second ordre; l'autre foyer Fj est situé sur une coni({ue passant par F et ([ui a A et B pour foyers. En effet puisque AF dz BF est donné, AF^ dr BF'j, doit avoir une grandeur constante (voir page 169). La direc- I rice qui correspond à F coupe la droite AB en l'un des deux points par les([uels passent les bissectrices des angles formés par FÂet FB (page 167).
155. Construire une courbe du second ordre, connaissant un foyer, le centre et un point ou une tangente (n" 128).
131. Le produit des distances d'un foyer cà deux tangentes parallèles d'une ellipse ou d'une hyperbole est constant (page 16(S). 11 en est de juême pour le pi'oduit des distances des deux foyers à une tangente quelconque.
135. Construire une ellipse connaissant les longueurs de ses axes. 1" En prenant pour point de départ le théorème du n° 59.
2" En se servant des quatre tangentes aux sommets (n°' 20 et
3" A l'aide des foyers qu'on construira au moyen des longueurs des axes.
136. Construire une parabole, connaissant le foyer et la directrice, (page 168); ou bien le foyer, l'axe et un point ou une tangente.
137. Les centres de tous les cercles tangents à deux cercles donnés sont situés sur deux courbes homofocales du second degré (voir page 169).
Les centres des cercles doimés sont les loyers de ces courbes.
158. Tous les points du plan équidistaiits d'une droite et d'un cercle sont situés sur deux paraboles (voir n" 157).
159. Étant donné un angle de grandeur constante dont un côté reste constaifiment tangent à une courbe du second ordre, tandis que l'autre côté pivote autour de l'un des foyers, son sommet décrit un cercle doublement tangent à la courbe (page 1G9). Si la courbe est une parabole, le lieu du sommet de l'angle est une tangente à cette courbe.
140. Inscrire dans une courbe du second ordre un M-angle (polygone simple à n sommets), dont les côtés passent respectivement par n points donnés non situés sur la courbe.
141. Circonscrire à une courbe du second degré un n-angle simple dont les sommets soient respectivement situés sur n droites données qui ne sont pas tangentes à la courbe.
142. On donne un pentagone simple dans un plan; on demande d'en déterminer un second qui soit en même temps inscrit et circonscrit au pentagone donné.
145. Mener par un point donné deux rayons qui interceptent sur deux di'oites données u, v deux segments de longueur donnée.
144. Entre deux droites u, v mener une droite qui soit vue de deux points donnés sous des angles droits.
145. Déterminer sur une droite donnée un segment (jui soit vu de deux points donnés sous des angles donnés.
146. Par un point donné, mener une droite qui divise un triangle en deux parties équivalentes ou qui forme avec deux droites données un triangle de surface donnée.
147. Circonscrire à un triangle donné un triangle dont un côté soit limité par deux droites données et dont les deux autres côtés comprennent entre eux un angle de grandeur donnée.
148. Construire les côtés de deux angles droits (|ni se correspondent dans deux faisceaux projectifs de rayons (n" 15).
149. Étant données deux ponctuelles projectives situées sur la même di'oite, trouver deux points homologues qui soient à une distance donnée l'un de l'autre; ou déterminer dans deux faisceaux de rayons cou-
