AXES FOCAUX ET PLANS CYCLIQUES DES SURFACES CONIQUES

centriques et projectifs deux rayons homologues comprenant entre eux un angle de grandeur donnée.

150. Étant données deux ponctuelles rectilignes projectives, déterminer sur elles deux segments homologues de longueur donnée.

151. Une courbe du second ordre a en général un couple de diamètres conjugués parallèle à un couple de diamètres conjugués d'une autre courbe du second ordre située dans le même plan. Les hyperboles dont les directions asymptotiques sont séparées les unes par les autres font seules exception (page 181).

152. Circonscrire à un quadrilatère une courbe du second ordre tangente à une droite donnée (page 155); ou inscrire dans un quadrilatère une courbe du second ordre passant par un point donné.

155. Dans le plan qui contient deux courbes du second ordre, il existe au moins un point réel U qui a une seule et même polaire u par rapport aux deux courbes (n° 61). Les deux points réels ou imaginaires conjugués de u par rapport à chacune des deux courbes (voir page 181) forment avec U un triangle polaire commun aux deux courbes. D'après cela, deux courbes du second ordre, situées dans le même plan, ont en général un triangle polaire commnmn ; ce derniei" a au moins un sommet et un côté réels.

AXES FOCAUX ET PLANS CYCLIQUES DES SURFACES GOiNIQUES DU SECOND OHDRE.

154. Si un dièdre donné tourne autour de son arête s, le plan qui unit les deux droites suivant lesquelles ses faces sont respectivement coupées par deux plans passant par un point de s enveloppe une surface conique du second ordre, dont s est un axe focal (page 192). Gomment s'énonce le théorème réciproque?

155. L'angle plan déterminé sur un plan tangent quelconque d'une surface conique du second ordre par les plans tangents perpendiculaires au plan ([ui contient les deux axes focaux réels f et f est projeté de chacun de ces axes suivant un angle dièdre droit.

156. Les plans cycliques réels •/. et •/ d'une surface conique du second ordre coupent suivant deux angles droits tout angle dièdre formé enjoignant un rayon quelconque de la surface aux deux rayons de cette surface perpendiculaires à y.-/.'.

GÉOMÉTRIE CIIEJllî). lî»

157. Deux surfaces coniques homofocales se coupenl normalement suivant chaque rayon qui leur est commun (page 191).

158. Deux surfaces coniques clu second ordre conciidiqties sont touchées par tout plan tangent comunni suivant deux rayons perpendiculaires entre eux (n" 157 ; voir aussi page 195).

159. Tous les dièdres qu'on peut circonscrire à deux surfaces coniques homofocales du second ordre passant par un point quelconque P. sont bissectés par deux plans déterminés qui se coupent rectangulairement au point P (n° 129).

160. Étant donnés des surfaces coniques homofocales du second ordre et un plan passant par leur sommet, tous les angles contenus dans ce plan et inscrits dans les différentes surfaces sont bissectés par deux rayons détenninés, perpendiculaires Tun à Tautre (n" 159).

161. Une surface conique du second orch'e et une sphère qui lui est concentrique ont pour courbe commune une conique spliérique. La sphère coupe chaque plan de symétrie du cône suivant un axe de la conique spliérique, chaque plan cyclique suivant une li<j7ie cyclique, chaque plan tangent suivant une tangente, cha(;[ue axe principal suivant deux centres et chaque axe focal de la surface conique suivant deux foyers de la conique sphérique.

162. Laconique sphérique est une courbe jumelle, c'est-à-dire qu'elle se compose de deux lignes séparées dont les points sont diamétralement opposés sur la surface de la sphère. Elle a en général trois couples de centres oi^i ses trois axes se coupent rectangulairement ; elle a de plus deux lignes cycliques réelles et deux couples de foyers réels. Le premier axe passe par ces foyers et par les points d'intersection des deux lignes cycliques ; le second est tout entier à l'extérieur de la conique ; enfin le troisième coupe normalement les lignes cycliques réelles et a par conséquent, comme le premier, deux couples de sommets réels (pages 191 et 196). Dans un cas particulier, la conique sphérique se compose de deux cercles de la sphère.

165. Trans})orter aux coniques sphériques toutes les propriétés des surfaces coniques du second degré relatives aux plans de symétrie, axes principaux, axes focaux et plans cycliques.

164. Si l'un des côtés d'un triangle sphérique se meut de telle manière que la surface de ce triangle reste constante, ce côté enveloppe une conicpe sphérique, qui a pour lignes cycliques les deux autres côtés du triangle. Si l'un des souunets d'un triangle sphérique se meut sur