QUADUANGLES ET QUADRILATÈRES POLAIRES DES CONIQUES

la sphère de telle sorte que le périmètre du triaugle reste constant, ce sommet décrit une conique sphérique qui a pour foyers les deux autres sommets (page 192).

QUADRANGLES ET QUADRILATÈRES POLAIRES DES COKIQUES.

165. Nous appellerons quadrangle polaire d'une conique -f un quadrangle complet dans lequel chacun des six côtés est le conjugué, par rapport à v-, du côté qui lui est opposé. Nous donnerons de même le nom de quachnlatère polaire de la conique à un quadrilatère complet tel que chacun de ses six sommets est le conjugué du sommet qui lui est opposé. Les polaires des sommets d'un quadrangle polaire forment un quadrilatère polaire ; et les six côtés du quadrangle passent par les xsi côtés du quadrilatère.

166. Lorsque deux couples de côtés opposés d'un quadrangle complet sont formés de rayons conjugués, il en est de même pour le troisième couple et le quadrangle est un quadrangle polaire de la conique Y'. En effet la polaire d'un sommet quelconque coupe le quadrangle en une involution de points (page 154); elle rencontre les deux premiers couples de côtés op})osés en des couples de points conjugués ; il en est donc de même pour le troisième, ce ({ui démontre le théorème. On établirait de même le théorème réciproque : un quadrilatère complet est un quadrilatère polaire de 7^ quand deux couples de ses sommets opposés sont deux couples de points conjugués.

l()7. Si l'on joint les sommets A, B, G d'un triangle aux pôles des côtés qui leur sont opposés, les trois droites ainsi obtenues passent par un point D, qui constitue avec A, B et G un quadrangle polaire de la conique y- (n" 166). Trois sommets A, B, G d'un quadrangle polaire pris arbitrairement déterminent donc le quatrième D ; en particulier, si A et V> sont conjugués par rapport à y-, ils forment avec D un triangle polaire de 7". Tout quadrangle, composé d'un triangle polaire de y" et d'un point quelconque du plan est un quadrangle polaire de y" (n° 165).

Il existe aussi des quadrangles polaires impropres dont trois sommets sont situés sur une même droite, ou dont deux sommets coïncident.

168. Si Ton prolonge les côtés «, h, c d'un triangle jusqu'à ce qu'ils

rencontrent les polaires des sommets qui leur sont opposés, on obtient trois points situés sur une même droite d qui forme avec a, 6 et c un quadrilatère polaire de la conique y- (n" j()6). Trois côtés d'un quadrilatère polaire déterminent donc le quatrième; c'est seulement dans le cas où ils forment un triangle polaire de y-, que le quatrième côté peut coïncider avec une droite quelconque du plan.

160. Lorsque deux quadrangles polaires ABCD et ABC'D' de y- ont deux sommets A et B communs, leurs six sommets sont situés sur une même courbe du second ordre, qui dans certains cas peut se décomposer en deux droites ÂÏI et CD.

Lorsque deux rjuadrilatères polaires ont deux côtés conmmns, leurs six côtés enveloppent une courbe de seconde classe (c'est-àdire appartiennent à un même faisceau du second ordre) qui peut aussi se réduire à deux points.

En ellèt, comme les faisceaux de rayons A et B seront projectiveraent rapportés l'un à l'autre si Ton fait correspondre à chaque rayon de A son conjugué dans B, il s'ensuit que A (CDC/D') 7\ B (DGD'C). On déduit delà (d'après la page 150) A (GDG'D') 7\ B(CD(rD'), comme l'énonce le théorème de gauche.

170. Gomme un triangle polaire de y- devient un ([uadrangle polaire par l'adjonction d'un point quelconque du plan, on déduit immédiatement du double théorème ci-dessus les propositions qui suivent :

Lorsqu'un triangle polaire et un (juadrangle polaire de y^ ont un sommet commun, leurs six sommets sont situés sur une courbe du second ordre.

Quand un triangle polaire et an quadrilatère polaire de y" ont un côté conmiun, leurs six côlés sont tangents à une courbe de seconde classe.

Deux triangles polaires d'une conicpie y^ peuvent donc être inscrits à uwQ courbe du second ordre et circonscrits à une courbe de seconde classe (voir aussi page 151). Ges courbes peuvent respectivement se réduire à deux droites ou à deux points.

171. Deux coniques y^ et yf', situées dans le même plan, ont une infinité de (juadrangles et de quadrilatères polaires communs. On peut prendre à soionté deux côtés «, b d'un pareil quadrangle polaire; les