QUADRANOLI'.S ET QUADRILATÈRES POLAIRES DES CONIQUES

cotes «1, b^ qui leur sont opposés joignent respectivement les deux pôles de a et ^ par rapport à y^ et Vj.

Lorsque deux quadrangles polaii-es ABCD, AB'G'D' communs à Y^ et Y^^ ont un sommet A. commun, leurs sept sommets sont situés sur une même courbe du second oi'dre.

Lorsque deux quadrilatèi'es polaires communs à y" et Yi^ ont un côté comnmn, leurs sept côtés sont tangents à une courbe de seconde classe.

En effet, soit ABB'P un quadrangle polaire de y^ et ABB'O un quadrangle polaire de Yt^ '■> les deux courbes du second ordre (ABGDBT) et (ABGDB'Q) ont cinq points communs et par suite coïncident avec la conique (ABB'PQ) ; de même alors les coui'bes du second ordre (AB'd'D'l))') et (AB'C'D'BQ) coïncident avec (ABB'PQ).

ll'l. Etant données trois coniques quelconques y^, Ti', y^^ dans un même plan, une droite a a en général par rapport à elles trois pôles ([ui ne sont pas situés sur une même droite. Si a décrit un faisceau de rayons U, ces pôles décrivent trois ponctuelles ïi, u^, ii^, projectives à U et par conséquent projectives entre elles. Parmi les rayons qui joignent les points correspondants de w et w^, il y en a au plus trois (et au moins un) qtii passent par les points correspondants de u^ (page L56) et chacun d'eux fournit un rayon c{ui est conjugué à un rayon de U par rapport aux trois coniques Y^ "ii, t^-

(le résultat nous donne ainsi une partie du double théorème qui suit :

Il existe dans le plan une infinité de couples de rayons qui sont conjugués par rapport à trois coniques quelconques données. Ces couples de rayons enveloppent en général une courbe de troisième classe, et deux quelconques d'entre eux constituent deux couples de côtés opposés d'un quadrangle polaire commun aux trois coniques (n" 166). Les trois tangentes qu'on peut mener d'un point quelconque

Il existe dans le plan une infinité de couples de points qui sont conjugués par rapport à trois coniques quelconques données. Le lieu de ces couples de points est en général une courbe du troisième ordre, et deux quelconques d'entre eux constituent deux couples dé sommets opposés d'un quadrilatère polaire commun aux trois coniffues. Les trois points, où une droite quelconque coupe

U à la courbe de troisième classe forment avec les tangentes qui leur sont conjuguées les trois couples de côtés opposés d'un ([uadrangle polaire commun aux trois coniques.

la courbe du troisième ordre, constituent avec les points de la courbe qui leur sont conjugués les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère polaire commnn aux trois coniques.

175. Lorsqu'on circonscrit une conique /.;- à un quadrangle polaire d'une conique y", les deux courbes y^ et k^ ont entre elles les relations remarquables qui suivent :

1° Trois points quelconques de k^ déterminent un quadrangle polaire de y^ (n° 167) dont le quatrième sommet est également situé sur A:*.

2° Si l'on coupe k^ par deux droites qui soient conjuguées par rapport à Y^ on obtient comme points d'intersection les quatre sommets d'un quadrangle polaire de y\

5" On peut donc inscrire dans la courbe k^ une infinité de quadrangles polaires et en général aussi une infinité de triangles'po- 1 aires réels de y".

Tout point de la courbe k^ renfermé à l'intérieur de y^ est un sommet de l'un de ces triangles polaires.

4° La polaire d'un point de A;par rapport à )^ coupe Tune ou chacune des deux courbes en deux

1 °„ Trois tangentes quelconques de y- déterminent un quadrilatère polaire de /.;-, dont le quatrième côté est également une tangente de y^

2°a Si l'on mène des tangentes à y^ de deux points conjugués par rapport à /.-, on obtient les quatre côtés d'un quadrilatère polaire de k\

ô",, On peut donc circonscrire à la courbe y" une infinité de quadrilatères polaires, et en général aussi une infinité de triangles polaires réels de k'.

Toute tangente de y' située à l'extérieur de k"^ est un côté de l'un de ces triangles polaires.

A" a Par le pôle d'une tangente de y^ par rapport à k- passent deux tangentes réelles à l'une ou à chacune des deux courbes; ces tan-

points réels qui sont conjugués par ( gentessont conjuguées par rapport

rapport à l'autre courbe.

5° Deux tangentes de y- dont les points de contact sont conjugués par rapport à W^, se coupent toujours en un point de k-.

à Fautre courbe.

T)",, Deux points de k^ , dont les tangentes sont conjuguées par rapport à y^, sont toujours situés sur une même tangente de y".

G" La courbe k' est située ou bien tout entière à l'extérieur de y', ou bien partie à l'intérieur, partie à l'extérieur; elle ne peut jamais être tout entière à l'intérieur de y^ •

174. Les considérations qui suivent servent à démontrer ces théorèmes.

Deux sommets du quadrangle polaire dey^, auquel est circonscrite la conique k^, déterminent avec un troisième point quelconque de /■;* un second quadrangle polaire de -f inscrit à k^ (n°' 167 et 169) ; de même, de ce second quadrangle on peut en déduire un troisième dont deux sommets A, B peuvent être pris arbitrairement sur k^ ; enfin ce troisième quadrangle nous conduit ta un quatrième quadrangle polaire de Y^ inscrit à k' qui a pour sommets trois points A,B,G choisis à volonté sur /.■\ Le théorème \° se trouve ainsi démontré et le théorème 2" s'en déduit immédiatement.

Soit a la polaire de A par rapport à y^, et supposons que cette droite n'ait aucun point commun avec y" et que par suite A soit intérieur à y^. a coupe alors les côtés opposés du quadrangle polaire de y-, qui ont A pour point de rencontre, en un couple de points conjugués par rapport à y^ (n° 166) et la ponctuelle involutive a ainsi engendrée n'a pas de points doubles réels. Toutes les coniques qu'on peut circonscrire à l'un de ces quadrangles polaires doivent donc couper chacune la droite a en deux points conjugués réels qui forment avec A un triangle polaire réel de Y^; en effet, ces coniques se succèdent d'une manière continue, un nombre infini d'entre elles ont avec la ponctuelle involutive a deux points conjugués réels communs (page 155) et il n'est pas possible que l'une d'elles ait avec a deux points imaginaires communs, car sans cela il existerait entre celle-ci et les précédentes une autre courbe ({ui serait tangente à a en un point double réel. Ceci démontre les théorèmes 5" et 4" et les théorèmes 5" et 6" s'en déduisent facilement.

175. Les théorèmes de droite T,, jusqu'à 6° du n° 175 peuvent sedémontrer comme on vient de le faire pour ceux de gauche, (iu moment qu'on

aura prouvé qu'on peut circoncrire à la conique y^ un quadrilatère polaire quelconque de hWom le démontrer, prenons sur/:^ trois points P, Q, 1^ dont les droites de jonction soient extérieures à y^, ce qui est toujours possible (n" 173, 0°). Ces points déterminent un quadrangle polaire PQRS de y'' inscrit dans k^, dont les côtés opposés se coupent en trois points U, V, W extérieurs à y^ ; ces trois points sont conjugués deux à deux par rapport kk^ et deux d'entre eux, U et V, sont extérieurs à A;^ Menons maintenant par U et V des couples de tangentes à y % elles séparent harmoniquement deux quelconques des côtés opposés du quadrangle polaire PQRS (page 102). Ces quatre tangentes forment donc un quadrilatère dont les sommets opposés sont deux à deux séparés harmoniquement par chaque couple de côtés opposés du quadrangle PQRS et comme un des six sommets du quadrilatère est intérieur à k^, comme on le voit facilement, il est aussi harmoniquement séparé par k^ du sommet qui lui est opposé (page 155). Parmi les sommets opposés du quadrilatère, il y en a donc deux couples qui sont conjugués par rapport à k^ ; ce quadrilatère circonscrit à y ^ est donc un quadrilatère ])olaire de A:^ ce qu'il fallait démontrer.

17G. Etant données deux coniques k^ et y' dont l'une k^ est circonscrite à un quadrangle polaire de l'autre y', ou dont la dernière y^ est inscrite dans un quadrilatère polaire de la première, nous dirons que (') la courbe k* du second ordre soutient on porte la courbe de seconde classe y* ; et que réciproquement y^ est soutenue par k^ ou repose sur A:''. Lorsque A'* se réduit à deux rayons ou y^ à deux points, nous dirons d'après cela que :

Un couple de rayons porte la courbe de seconde classe y - lorsque ces rayons sont conjugués par rapport à y".

Un couple de deux points repose sur la courbe du second ordre /r, quand ces points sont conjugués par rapport à k"^.

Et comme une droite n'est conjuguée à elle-même par rapport à y ' que lorsqu'elle est tangente à.y^, nous ajouterons ;

Une droite double porte la courbe de seconde clas^ y^ quand elle est tangente à y'^.

Un point double repose sur la courbe du second ordre A;^, qu.and il est situé sur k^.

1. Voir mes reclieiclies analilico-géoiiiélriques dans le Juurnal de Crclli'. l. LWXII.

177. Toutes les coniques, qui portent une courbe donnée de seconde classe Y* et qui passent par trois points pris arbitrairement, sont circonscrites au quadrangle polaire de y^ déterminé par ces points (n" 173, 1°). II ne passe donc qu'une seule de ces courbes par un quatrième point pris arbitrairement dans le plan. Donc :

Toutes coniques k^ qui portent une courbe donnée de seconde classe Y^, constituent un système à quatre dimensions que nous appellerons vn sijstème linéaire 'ponctuel de coniques de quatrième espèce. A un quadrangle quelconque, on ne peut en général circonscrire qu'une conique de ce système; en effet, le quadrangle est un quadrangle polaire de y^ et alors toutes les coniques qui lui sont circonscrites appartiennent au système, si deux quelconques d'entre elles portent la courbe y^-

Toutes les coniques y* qui reposent sur une courbe du second ordre donnée k^, constituent un système à quatre dimensions que nous appellerons vn système linéaire tangentiel de coniques de quatrième espèce. Dans un quadrilatère quelconque, on ne peut en général inscrire qu'une conique du système ; en effet, le quadrilatère est un quadrilatère polaire de k^ et alors toutes les coniques qui lui sont inscrites appartiennent au système, si deux quelconques d'entre elles reposent sur la courbe /.-.

178. Parmi les coniques, qui portent deux courbes données de seconde classe Y^ Yi"' ^^ ^^Y ^^^ ^ ^^ général qu'une seule qui passe par trois points quelconques A, B, C, du plan ; cette courbe contient aussi les deux points qui. joints à A, B, G, forment un quadrangle polaire de y' 6t un de Yi^- Nous pouvons donc dire en général :

Toutes les coniques A;', qui portent deux ou trois ou quatre courbes de seconde classe prises arbitrairement dans le plan, constituent un système ponctuel triplement, doublement ou simplement infini, que nous appellerons un système linéaire ponctuel de coniques de troisième, de seconde on de première espèce.

Toutes les coniques y* , qui reposenten même temps sur deux, trois ou quatre courbes du second ordre prises arbitrairement dans le plan, constituent un système tangentiel triplement, doublement ou simplement infini, que nous appellerons un système tangentiel linéaire de coniques de troisième, de seconde ou de première eapèce.

Pour des situations particulières des courl)es données les unes par rapport aux autres, ces théorèmes sont sujets à des exceptions qui se présenteront d'elles-mêmes dans la suite. Le nombre relatif à l'espèce n'indique pas seulement quelles sont les dimensions du système ponctuel ou tangentiel de coniques; mais, comme nous le verrons plus loin (n"' 189 et 195), il fait connaître le nombre des points ou des tangentes qui déterminent complètement une des coniques du système auquel il se rapporte.

179. Les systèmes linéaires ponctuels de coniques de première et de seconde espèce, sont généralement appelés respectivement des faisceaux de coniques et des réseaux de coniques ; de même les formes qui leur sont réciproques portent les noms de faisceaux tangentiels et réseaux tangentiel s de coniques. On définit encore d'une autre manière les faisceaux ponctuels et les faisceaux tangentiels de coniques en les considérant conmie l'ensemble de toutes les coniques qui sont respectivement circonscrites ou inscrites à un quadrilatère ; mais ces définitions sont renfermées dans les précédentes, comme le montie le théorème suivant :

Lorsque deux coniques d'un système linéaire ponctuel de coniques sont circonscrites à un quadrangle, ce quadrangle est un quadrangle polaire commun à toutes les courbes de seconde classe qui reposent sur le système (n" 177) et par conséquent toutes les coniques circonscrites au quadrangle font partie du système ponctuel.

Lorsque deux coniques d'un système linéaire tangentiel de coniques sont inscrites dans un quadrilatère, celui-ci est un quadrilatère polaire commun à toutes les courbes du second ordre qui portent le système {n° 177) et par conséquent toutes les coniques inscrites au quadrilatère appartiennent au système tangentiel.

180. La théorie du système ponctuel linéaire de coniques de quatrième espèce n'est pas essentiellement différente de la théorie des polaires de la courbe de seconde classe y" qui repose sur toutes les coniques du système. Nous ferons seulement remarquer que le système se particularise, quand y* se réduit à deux points P et Q ou à un point double P. Ainsi :

Toutes les coniques du plan qui | Toutes les coniques du plan qui

SYSTÈMES LINÉAIRES DE CONIQUES DE 3" ET DE l"' ESPÈCE. 235

passent par un point donné P, ou par rapport auxquelles deux points P et Q sont conjugués l'un à l'autre, forment un système ponctuel linéaire particulier de coniques, de quatrième espèce.

sont tangentes à une droite donnée, ou par ra])port auxquelles deux droites sont conjuguées l'une à l'autre, forment un système tangentiel linéaire particulier de coniques, de quatrième espèce.

Par exemple, toutes les paraboles du plan forment un système tangentiel particulier de coniques et toutes les hyperboles équilatères constituent un système ponctuel particulier de coniques, tous deux de la quatrième classe. Quels sont les deux points imaginaires auxquels se réduit la courbe 7- qui repose sur toutes les hyperboles équilatères?

SYSTEMES LINEAIRES PONCTUELS ET TANGENTIELS DE TROISIÈME ET DE PREMIÈRE ESPÈCE ^

481. Étant donnés deux sommets A,B d'un quadrangle polaire d'une courbe de seconde classe Y^ ainsi que le côté u conjugué à AB sur lequel les deux autres sommets G etD sont situés, ces derniers constituent un couple quelconque de points conjugués d'une ponctuelle involutive u.

On obtient cette ponctuelle en faisant correspondre à tout rayon AG ou AD passant par A le rayon BD ou BG qui lui est conjugué et en coupant par u les faisceaux de rayons A et B ainsi rapportés projectivement. Si l'on veut maintenant construire un quadrangle polaire commun à deux courbes ^{^ et y/ de seconde classe et qui ait les points A et B pour sommets, il faut que la droite u qui contient les deux autres sommets B et D, passe par les deux pôles de AB par rapport à y' et Yi" ; quant aux points G et D, ils se correspondent l'un à l'autre dans deux ponctuelles involutives situées sur u et sont par conséquent complètement déterminés (page 180), si les deux ponctuelles ne sont pas identiques l'une avec l'autre. Les deux points doubles de ces ponctuelles involutives sont conjugués par rapport à toutes les coniques circonscrites au quadrangle polaire ABGD ; et comme nous l'avons démontré plus haut (page 186), il passe toujours une de ces coniques par un point quel-

1. Voir ScuRiJTER, Théorie des coniques, 2"= édition, pages 224-403 (Leipzig, 1876).

GKOMIiTRlE DE POSITION.

conque P, même quand C et D sont imaginaires. Nous en concluons (voir n" 178) que :

182. Toutes les coniques, qui portent deux courbes y- et y^" de seconde classe et qui passent par deux points réels, sont circonscrites à un quadrangle polaire commun à y- et Y,^ dont les deux autrès sommets peuvent aussi être imaginaires conjugués.

Toutes les coniques qui reposent sur deux courbes k- et k^- du second ordre et qui sont tangentes à deux droites réelles, sont inscrites dans un quadrangle commun à k- et /.j'^, dont les deux autres côtés peuvent aussi être imaginaires conjugués.

Nous pouvons (page 177) considérer ce quadrangle polaire comme donné, si, en outre de ses deux points réels A et B, nous connaissons une conique qui lui est circonscrite ainsi que la droite ii sur laquelle sont situés les deux autres sonnnets. Si l'on donne deux coniques circonscrites, nous projetterons de A et de B tous les points de l'une sur l'autre; nous aurons ainsi sur cette dernière deux ponctuelles projectives qui auront pour points correspondants communs les deux autres sommets G,D du quadrangle polaire ; on obtient la droite CD ou w, au moyen d'une construction connue (page 174), même quand C et D sont imaginaires. Le quadrangle polaire est donc également déterminé complètement par deux coniques qui lui sont circonscrites ; toutes les coniques qui lui sont circonscrites portent donc y^ et y^^.

185. En nous appuyant sur ces remarques et sur les théorèmes du n" 179, nous pouvons maintenant démontrer l'important théorème qui suit ; il lie entre eux de la manière la plus intime les systèmes ponctuels et tangentiels de coniques de troisième espèce avec ceux de première espèce ^

Un faisceau langentiel de coniques est toujours lié à un système ponctuel linéaire de coniques de troisième espèce de telle manière que chaque courbe du faisceau

Un faisceau ponctuel de coniques est toujours lié à un si/stènic tamjenliel linéaire de coniques de troisiinne espèce de telle manière que chaque courbe du faisceau

1. Ce Uiéorème est dû à M. II. .1. Stkphen Smith; voir le mémoire de M. Rosanes. sur des sijilhnes de ctniùjues (Malhemalische Annalen, l. VI. patie 26'<).

Umgentiel repose sur chacune des 1 porte toutes les courbes du syscourbes du système. tème.

Soient y- et y^^ les deux courbes de seconde classe qui reposent sur toutes les coniques du système ponctuel linéaire de troisième espèce et qui le déterminent (n" 178). Dans le système, nous choisissons quatre coniques A:,/, m, îf de telle sorte que k,l et m passent par un point réel ([iielconque P et se coupent deux à deux suivant trois quadrangles ])olaires communs à y^ et Yi^, difï'érents les uns des autres (A/), [km), {lin) ; et que la quatrième conique n ne passe pas par P, mais soit coupée par /.• suivant un quadrangle polaire (Irn) commun à y^ et Yj^, ayant deux ou quatre sommets réels. Enfin nous désignons par S^ une conique quelconque du faisceau tangentiel, différente de y^ et Yj-, qui repose sur A;,/, m,7i (n"' 178 et 179). Nous démontrerons le théorème de gauche, en prouvant que toute conique du système ponctuel linéaire de troisième espèce, par exemple celle qui passe par trois points réels quelcon- ([ues A,B,G (n** 178) porte toujours la courbe S- indépendamment de ï' et Yi".

184. Les quadrangles (A;/), [km), (Im) et (kn) sont aussi des quadrangles polaires de o\ puisque S^ repose sur chacune des quatre coniques k,l,m,n; S- repose donc aussi sur les quatre coniques qui sont circonscrites à ces quatre quadrangles polaires et qui passent par le point arbitraire A. Trois de ces nouvelles coniques sont circonscrites au quadrangle polaire de y^ et Yi^ déterminé par P et A (n" 182) ; la quatrième ne passe pas par P, si, comme nous pouvons le supposer, A n'est pas situé sur k ; elle coupe donc les trois premières suivant trois quadrangles polaires différents communs à y%Ti* ^t o^ Parmi les quatre coniques qui passent par le point 1> et qui sont circonscrites à ces trois ([uadrangles polaires et au quadrangle polaire de y\Yi^ et S% déterminé par A et P, il y en a au moins deux, différentes entre elles, qui portent les courbes y^>ï/ et o^ ; elles se coupent suivant le quadrangle polaire commun de y" et Yf' dont A et B sont deux sommets réels et qui est aussi un quadrangle polaire de S- ; et la conique, passant par le point G et circonscrite à ce dernier quadrangle polaire, porte donc aussi la courbe ô^ Le théorème de gauche (n" 185) se trouve ainsi démontré.

185. Deux courbes de seconde classe y- et y^ du plan déterminent

Deux courbes du second ordre k^ et k^^ du plan déterminent non

11011 seulement un système ponctuel linéaire de coniques de troisième espèce , mais encore un faisceau tangontiel de conicpies, dont elles font partie, et dont les courbes reposent sur toutes les courbes du système.

seulement un système tangentiel linéaire de coniques de troisième espèce, mais encore un faisceau ponctuel de coniques dont elles font partie, et sur les courbes duquel reposent toutes les courbes du système.

Le système renferme un nombre infini de coniques qui se décom])osent en couples de rayons ; une droite quelconque s du plan et la droite s' qui joint les pôles de s par rapport à y^ et y^-, constitue un de ces couples de rayons s^s\ Elle porte toutes les courbes du faisceau tangentiel de coniques et ses rayons sont conjugués par rapport à chacune de ces courbes (n" 176). De là résulte que :

Les pôles d'une droite s par rapport à toutes les courbes d'un faisceau tangentiel de coniques sont situés sur une droite s' ; cette dernière forme avec s un couple de rayons appartenant au système ponctuel linéaire de coniques du troisième ordre correspondant.

Les polaires d'un point S par rapport à toutes les courbes d'un faisceau ponctuel de coniques passent ])ar un même point S' ; ce dernier forme avec S un couple de points appartenant au système tangentiel linéaire de coniques du troisième ordre correspondant.

En particulier, les centres de toutes les coniques du faisceau tangentiel sont situés sur une même droite.

180. Soit s une tangente commune à yj' et y^ ; elle coïncide avec s', c'est donc une droite double du système et elle est conjuguée à ellemême par rapport à toutes les courbes du faisceau tangentiel . Donc :

Une droite tangente à deux coniques quelconques du faisceau tangentiel est une tangente commune à toutes les courbes de ce faisceau et une droite double du système ponctuel linéaire correspondant de troisième espèce. Toutes les coniques inscrites dans un même qua-

Un point par lequel passent deux coniques quelconques du faisceau ponctuel est un point commun à toutes les courbes de ce faisceau et un point double du système tangentiel linéaire correspondant de troisième espèce. Toutes les coniques circonscrites à un

drilatère constituent un faisceau tangentiel de coniques ; le système ponctuel correspondant de troisième espèce contient toutes les coniques pour lesquelles le ([uadrilatère en question est un quadrilatère polaire (n'^ 179).

mènie quadrangle constituent uji faisceau ponctuel de coniques; le système tangentiel correspondant de troisième espèce contient toutes les coniques pour lesquelles le quadrangle en question est un quadrangle polaire.

187. Lorsqu'une droite s pivote autour d'un point A, ses pôles par rapport à y'^ et ji^ décrivent deux ponctuelles a et «i projectives au faisceau A et la droite s' qui joint ces pôles décrit en général un faisceau de rayons du second ordre. Ce faisceau renferme tous les rayons conjugués aux rayons de A par rapport au faisceau tangentiel de coniques (n» 185) ; il contient aussi les polaires a, «i... de A par rapport à y^, y/-' et par l'apport à toute autre courbe du faisceau tangentiel. On peut construire ces polaires en déterminant les pôles de deux rayons g et h de A par rapport à chacune des courbes du faisceau tangentiel et en joignant ces pôles. Comme les droites ainsi déterminées appartiennent à un faisceau de rayons du second ordre, ainsi qu'on vient de le faire voir, il en résulte que (n" 185) :

Les pôles de deux droites quelconques g, h, par rapport à chacune des courbes d'un faisceau tangentiel de coniques, sont des points homologues de deux ponctuelles projectives du premier ordre, <jfi, /' 1 ; les polaires d'un point A sont situées en général sur un faisceau de rayons du second ordre, dont les rayons sont conjugués à ceux de A par rapport au faisceau tangentiel de coniques.

Les polaires de deux points quelconques par rapport à chacune des courbes d'un faisceau ponctuel de coniques sont des rayons homologues de deux faisceaux projectifs de rayons du premier ordre ; les pôles d'une droite a sont situés en général sur une courbe du second ordre, dont les points sont conjugués à ceux de la droite a pai- rapport au faisceau ponctuel de coniques.

D'après cela, les centres de toutes les courbes appartenant à un faisceau ponctuel de coniques sont situés en général sur une courbe du second ordre.

En vertu de ces théorèmes, nous pouvons poser les définitions suivantes :

Quatre coniqnes d'un faisceau tangentiel sont dites harmoniques quand les pôles d'une droite quelconque par rapport à ces courbes sont quatre points harmoniques.

Quatre coniques d'un faisceau ponctuel sont dites harmoniques^ quand les polaires d'un point quelconque par rapport à ces courbes sont quatre rayons harmoniques.

On peut d'après cela rapporter projectivement les faisceaux tangentiels et ponctuels de coniques entre eux et avec les formes élémentaires.

188. Par un point A passent en général deux rayons conjugués par rapport au faisceau tangentiel de coniques (n° 187). Il s'ensuit que:

Les couples de tangentes, qu'on peut mener d'un point quelconque A aux courbes d'un faisceau tangentiel de coniques, sont des couples de rayons conjugués d'un faisceau A en involution. Les deux rayons doubles de ce faisceau sont conjugués par rapport au faisceau tangentiel de coniques et sont tangents en A à chaque courbe de ce faisceau tangentiel.

Les couples de points, suivant lesquels une droite quelconque a coupe les courbes d'un faisceau ponctuel de coniques, sont des couples de points conjugués d'une ponctuelle a en involution. Les deux points doubles de cette ponctuelle sont conjuguéspar rapport au faisceau ponctuel de coniques ; et la droite a est tangente en ces points à deux courbes du faisceau.

189. Le faisceau tangentiel de coniques est déterminé par quatre coniques quelconques du système ponctuel linéaire de troisième espèce sur lequel il repose (n"* 178, 185) et en particulier par quatre de ses couples de rayons. Si l'on choisit ces couples de rayons de manière que leurs quatre points d'intersection soient situés sur une droite quelconque /, on voit immédiatement que / est tangente à une seule courbe (lu faisceau tangentiel ; ce dernier doit en effet être aussi tangent aux (juatre droites qui sont harmoniquement séparées de l par les quatre couples de rayons (n" 176). Étant données deux courbes y^ et y* du faisceau tangentiel, on peut facilement mener de chaque point A de / une tangente à cette troisième courbe en vertu du théorème précédent ^n" 188). Donc :

Une droite quelconque n'est tangente qu'à une seule courbe du

Par un point quelconque du plan il ne passe qu'une seule courbe

faisceau tangentiel de coniques ; mais par un point quelconque on peut mener deux de ces courbes

du faisceau ponctuel de coniques ; mais une droite quelconque est toujours tangente à deux de ces courbes.

Le faisceau tangentiel de coniques renferme donc une parabole, quand toutes ses courbes ne sont pas des paraboles; le faisceau ponctuel de coniques peut comprendre deux paraboles.

190. Une droite ?/, dont les pôles par rapporta y^ et y^^' coïncident en un même point U {n° Gi), forme avec chaque rayon passant par U un couple de rayons du système ponctuel de coniques de troisième espèce et elle est la polaire de U par rapport à toutes les courbes du faisceau tangentiel de coniques (voir n° 185). En ayant égard au n° 155, il suit de là que :

Les courbes d'un faisceau tangentiel ou ponctuel de coniques ont en général un triangle polaire commun.

Ce triangle est réel et facile à construire, quand deux quelconques des coniques ont quatre points ou quatre tangentes réelles communes (pages 100 et 101); dans tous les cas, il a au moins un côté réel u et un sommet réel U.

Lorsque les coniques y^ et yi^ ne sont pas tangentes, U ne se trouve pas sur sa polaire u ; lorsque, de plus, le triangle polaire UVW commun à e: y^ est imaginaire, les deux points V et W de w, qui sont conjugués par rapport aux deux coniques, ne peuvent pas être réels. Les couples de points que y^ et y^^ ont en commun avec u doivent donc, dans ces deux cas, être réels et se séparer mutuellement (page 1 8'J ) et chacune des coniques y^ et y^^ comprend dans son intérieur une partie de l'autre. On déduit de là et de ce qui précède, que :

Lorsque le triangle polaire commun d'un faisceau tangentiel ou ])onctuel de coniques est imaginaire, les coniques prises deux à deux ont seulement deux points ou tangentes réelles en commun. Les deux tangentes se coupent sur le côté réel u du triangle polaire et les deux points sont situés sur une même droite avec le sommet réel U.

Car s'il en était autrement, le point où la droite qui joint les deux points est coupée par u serait, par rapport aux deux coniques, conjugué au point U et à un autre point de la droite précédente ; il existerait donc un second sommet réel du triangle polaire, et ce triangle serait réel.

GÉOMÉTRIE CHEMIN. 1 (l

191. Si une droite s pivote autour d'un point P de la droite u^ ses deux pôles par rapport à y^ et y^^ décrivent deux ponctuelles projectives qui ont le point U correspondant commun ; la droite qui joint ces deux pôles pivote par conséquent autour d'un point P' et, comme les deux pôles de PU sont situés sur u, P' est aussi un point de u. Menons maintenant par P une conique quelconque k ^ qui porte les deux coniques y- et yj^, elle doit aussi passer par P'; en effet, deux rayons conjugués quelconques de P et P' la coupent suivant un quadrangle polaire commun à y' ety^- (n° 175, 2°) et comme il y a au moins deux côtés de ce quadrangle polaire, différents de w, qui passent par P, les côtés opposés qui leur sont conjugués (et par suite aussi k-) doivent passer parP'. Or, comme un faisceau ponctuel de coniques, circonscrit à un quadrangle polaire quelconque de y'' et y^^ , coupe u suivant une ponctuelle en involution, il en résulte que :

Tout côté réel u du triangle polaire commun à un faisceau tangentiel de coniques coupe les courbes et les couples de rayons du système ponctuel correspondant de coniques de troisième espèce, suivant les couples de points conjugués P, P' d'une ponctuelle involutive u. Les points doubles de cette ponctuelle constituent un couple de points appartenant au faisceau tangentiel de coniques, puisqu'ils sont conjugués par rapport à toutes les courbes du système ponctuel de coniques.

De tout sommet réel U du triangle polaire commun à un faisceau ponctuel de coniques partent les tangentes aux courbes ou les droites passant par les couples de points du système tangentiel correspondant de coniques du troisième ordre ; ces couples de droites sont les rayons d'un faisceau U en involution. Les rayons doubles de ce faisceau constituent un couple de rayons appartenant au faisceau ponctuel de coniques, puisqu'ils sont conjugués par rapport à toutes les courbes du système tangentiel de coniques.

192. Les faisceaux de rayons P et P' (n" 191) sont projectifs, lorsqu'à chaque rayon de l'un on fait correspondre le rayon de l'autre qui lui est conjugué par rapport à y^ et y^^ ; ils engendrent une courbe du second ordre qui a PU et P'U pour tangentes en P et P'. Supposons le triangle polaire réel, cette courbe passe par les points doubles des deux ponctuelles involutives v et w formées sur les deux autres côtés du

SYSTÈMES LINÉAIRES DE CONIQUES DE S^ ET DE l""" ESPÈCE. 243

triangle polaire ; et si les points doubles de la ponctuelle u sont imaginaires, si par suite P et P' sont séparés par v et w, l'une des deux ponctuelles v eiw a, deux points doubles réels communs avec la courbe et l'autre au contraire a deux points doubles imaginaires. Les rayons issus d'un point double réel 0 de m, vouw sont accouplés involutivement de sorte que deux rayons correspondants dans 0 sont conjugués par rapport aux deux coniques y^ et y^^^ ; et 0 est le point d'intersection de deux tangentes (réelles ou imaginaires) communes à ces deux coniques ; ces tangentes sont les rayons doubles du faisceau involutif de rayons 0. Si le triangle polaire commun de y^ et y^^ est imaginaire, deux tangentes réelles communes à y* et yj* se coupent en un point 0 de son côté réel u (n" 190) ; d'où résulte que, dans ce cas, la ponctuelle involutive u a deux points doubles réels. De tout ceci l'on conclut que :

Le faisceau tangentiel de coniques renferme au moins un couple de points réels et en général au plus trois; ses trois couples de points (même quand deux d'entre eux sont imaginaires) sont situés sur les trois côtés du triangle polaire du faisceau tangentiel et ils constituent les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère réel ou imaginaire, inscrit au faisceau tangentiel de coniques.

Le faisceau ponctuel de coniques renferme au moins un couple de rayons réels, et en général au plus trois ; ses trois couples de rayons (même quand deux d'entre eux sont imaginaires) se coupent aux trois sommets du triangle polaire du faisceau ponctuel, et ils constituent les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle réel ou imaginaire, circonscrit au faisceau ponctuel de coniques.

193 En dehors des divers états transitoires des faisceaux, dont les courbes sont tangentes ou osculatrices en un point, nous distinguerons :

Trois variétés principales de faisceaux tangentiels de coniques, suivant que leurs courbes ont en commun quatre tangentes réelles, deux ou pas du tout. Les faisceaux tangentiels de la seconde variété sont les seuls qui aient un triangle polaire imaginaire (n" 190) et ceux

Trois variétés principales de faisceaux ponctuels de coniques, suivant que leurs courbes ont en commun quatre points réels, deux ou pas du tout. Les faisceaux ponctuels de la seconde variété sont les seuls qui aient un triangle polaire imaginaire et ceux de ^ la

de la première variété contiennent seuls trois couples de points réels.

Deux coniques d'un faisceau tangentiel de la première ou de la troisième variété n'ont aucun point d'intersection réel ou elles en ont quatre; deux coniques d'un faisceau tangentiel de la seconde variété ont toujours deux points d'intersection réels (n" 190).

Si toutes les courbes d'un faisceau tangentiel de coniques se décomposent en couples de points, ce qui est possible de deux manières, le faisceau est de nature particulière; il en est de même quand il renferme un point double.

Conformément à cela, toutes les coniques qui passent par les points doubles, réels ou imaginaires, d'une ponctuelle involutive, ou par rapport auxquelles un point quelconque a une polaire donnée, constituent un système ponctuel linéaire de coniques de troisième espèce, de nature particulière; un pareil système est encore particularisé, cfuand toutes ses coniques ont un point commun.

première variété contiennent seuls trois couples de rayons réels.

Deux coniques d'un faisceau ponctuel de la première ou de la troisième variété n'ont aucune tangente commune réelle ou en ont quatre; deux coniques d'un faisceau ponctuel de la seconde variété ont toujours deux tangentes communes réelles.

Si toutes les courbes d'un faisceau ponctuel de coniques se décomposent en couples de rayons, le faisceau est de nature particulière; il en est de même quand il contient une droite double. Conformément à cela, toutes les coniques qui sont tangentes aux rayons doubles, réels ou imaginaires d'un faisceau de rayons en involution, ou par rapport auxquelles une droite quelconque a un pôle donné, constituent un système tangentiel linéaire de coniques de troisième espèce, de nature particulière; un pareil système tangentiel est encore particularisé, quand toutes ses coniques ont une tangente commune.

194. Tous les cercles du plan forment un système ponctuel linéaire de la troisième espèce et de nature particulière; le faisceau tangentiel de coniques correspondant est la ponctuelle involutive, suivant laquelle la droite à l'infini coupe un faisceau rectangulaire de rayons. Des coniques homofocales constituent un faisceau tangentiel de coniques de la troisième variété ; leurs deux foyers sont le seul couple de points réels de ce faisceau et le système ponctuel linéaire correspondant de troi-

sième espèce se compose de toutes les hyperboles équilatères par rapport auxquelles les deux foyers sont conjugués. Tous les cercles passant par deux points réels forment un faisceau ponctuel de coniques de la seconde variété ; et tous les cercles qui leur sont orthogonaux donnent un faisceau ponctuel de la troisième variété. Toutes les coniques ayant pour foyer un point donné F appartiennent à un système tangentiel particulier de troisième espèce; les coniques du faisceau ponctuel correspondant se décomposent en couples de rayons qui se coupent rectangulairement en F.