ESPÈCE

195. Trois courbes de seconde classe Y^y^^Y^, situées dans un même plan, mais n'appartenant pas à un même faisceau tangentiel de coniques, déterminent un système ponctuel linéaire de coniques de seconde espèce (un réseau ponctuel de coniques) sur les courbes duquel elles reposent (n" 1 78, 179.)

Trois courbes du second ordre, situées dans un même plan, mais n'appartenant pas à un même faisceau ponctuel de coniques, déterminent un système tangentiel linéaire de coniques de seconde espèce (un réseau tangentiel de coniques) dont les courbes reposent sur elles.

Toutes les coniques de ce réseau qui, en dehors de ces trois premières courbes de seconde classe, en portent encore une quatrième prise arbitrairement, par exemple un point double, forment fn" 178) un faisceau ponctuel de coniques.

De là résulte que (voir n" 189) :

Par chaque point du plan passe un faisceau ponctuel de coniques du réseau ponctuel; par deux points quelconques, il ne passe en

A toute droite du plan est tangent un faisceau tangentiel de coniques du réseau tangentiel ; il n'y a en général qu'une seule conique

1. Voir ScHRoTER, Théorie des conir/nes, 2" édition, pages o00-535 (Leipzig, 1876).

général qu'une seule conique du réseau.

du réseau tangente à deux droites quelconques.

190. Les trois courbes Y'jTi'.Tî', prises deux à deux déterminent un système ponctuel linéaire de coniques de troisième espèce, qui contient le réseau ponctuel, et en même temps un faisceau tangentiel de coniques dont les courbes reposent sur toutes les courbes de ce système et par suite aussi sur celles du réseau (n" 185). Le réseau ponctuel porte donc les trois faisceaux tangentiels de coniques déterminés par y^, Yi", Yj" ; îuais il porte aussi tout quatrième faisceau tangentiel qui contient deux courbes quelconques de ces trois premiers faisceaux. Tous ces faisceaux tangentiels sont compris dans le réseau tangentiel qui est déterminé par trois courbes quelconques du réseau ponctuel, car ils reposent sur chacune de ces trois courbes; on démontre aussi sans difficulté que toute courbe du réseau tangentiel appartient à une infinité de ces faisceaux tangentiels et conséquemment repose sur chaque courbe du réseau ponctuel. On déduit de là ce théorème important :

Tout réseau tangentiel de coniques est toujours lié avec un réseau ponctuel de coniques [et réciproquement), de telle manière que chaque courbe du réseau tangentiel repose sur chacune des courbes du réseau ponctuel. Trois courbes quelconques du réseau ponctuel ou tangentiel suffisent pour déterminer cet ensemble de coniques.

Le réseau ponctuel et le réseau tangentiel, dont il va être question dans les théorèmes qui suivent, sont liés entre eux de la manière qu'on vient d'indiquer, en sorte que le réseau tangentiel repose sur le réseau ponctuel.

107. Le réseau ponctuel de coniques contient une infinité de couples de rayons qui, en général, enveloppent une courbe de troisième classe T'% et qui se coupent deux à deux suivant des quadrangles polaires (communs) de Y^Yl^T2" ^^ ^^ réseau tangentiel correspondant (n° 172). Les rayons d'un pareil couple sont conjugués par rapport au réseau tangentiel, c'est-à-dire par rapport à toutes les courbes de ce réseau (n° 176), et les pôles de l'un des rayons par rapport à ces courbes sont, d'après cela, tous situés sur l'autre rayon. Deux quadrangles polaires quelconques du réseau tangentiel sont toujours inscrits dans une courbe du réseau; en effet, la conique qui est circonscrite à l'un des quadrangles polaires et qui passe par un sommet U de l'autre doit appartenir au faisceau ponctuel de coniques passant par U, qui fait

partie du réseau ponctuel et, par conséquent, elle doit aussi passer par les trois autres sommets du second quadrangle polaire. On voit aussi que :

198. Le réseau tangentiel de coniques contient un nombre infini de couples de points ; ces points sont en général situés sur une courbe du troisième ordre C% et deux couples quelconques d'entre eux sont deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère polaire du réseau ponctuel de coniques correspondant. Les points de chacun de ces couples sont conjugués par rapport au réseau ponctuel, c'est-à-dire par rapport à toutes les courbes de ce réseau et les polaires de l'un de ces points par rapport à ces courbes passent toutes par l'autre point. Chaque couple de points du réseau, tangentiel est harmoniquement séparé par chaque couple de rayons du réseau ponctuel. Deux quadrilatères polaires quelconques de ce dernier sont toujours circonscrits à une courbe du réseau tangentiel.

199. Trois couples quelconques de rayons, qui ne constituent pas les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle complet, déterminent le réseau ponctuel de coniques, conjointement avec le réseau tangentiel correspondant (n° 196). Circonscrivons un faisceau ponctuel de coniques au quadrangle polaire du réseau tangentiel suivant lequel deux de ces couples de rayons se rencontrent et coupons les courbes de ce faisceau par le troisième couple de rayons ; nous obtiendrons tous les quadrangles polaires du réseau tangentiel, dont les sommets sont situés sur ce troisième couple de rayons (n" 197), et par suite aussi tous les couples de rayons du réseau ponctuel et la courbe de troisième classe F qu'ils enveloppent. Or, comme ce troisième couple de rayons est l'un quelconque de ceux qui font partie du réseau ponctuel, et comme ses rayons sont coupés par le faisceau ponctuel de coniques suivant deux ponctuelles involutives, on voit que :

Chaque tangente de la courbe de troisième classe T^ est coupée par les coniques du réseau ponctuel, suivant des couples de points d'une ponctuelle involutive. Les points doubles de cette ponctuelle constituent un couple de points du réseau tangentiel et sont situés sur la courbe C\ En effet, ils sont conjugués par rapport à toutes les courbes du réseau ponctuel, puisqu'ils sont harmoniquement séparés par trois quelconques d'entre elles.

200. De la même manière, trois couples de points, qui ne constituent pas les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère complet,

déterminent le réseau tangentiel conjointement avec le réseau ponctuel de conicjues et l'on peut en déduire tous les autres couples de points du réseau tangentiel et la courbe du troisième ordre G^ sur laquelle ils sont situés.

Les couples de tangentes qiCon peut mener dun point quelconque P de la cjurbe du troisième ordre C^ aux coniques du réseau tangentiel sont des couples de rayons conjugués d^un faisceau involutif de l'ayons. Les rayons doubles de ce faisceau constituent un couple de rayons du réseau ponctuel et sont tangents à la courbe F'.

Les couples de points du réseau tangentiel sont projetés d'un point quelconque P de C^ suivant des couples de- rayons conjugués d'un faisceau involutif.

Une tangente quelconque de T' coupe les couples de rayons du réseau ponctuel suivant des couples de points conjugués d'une ponctuelle involutive.

Les points d'intersection de tous les couples de rayons du faisceau ponctuel sont situés sur G' ; au contraire, V est l'enveloppe de toutes les droites qui joignent les couples de points du réseau tangentiel (voir aussi n"205).

201. Les points de G' sont conjugués deux à deux par rapport au réseau ponctuel et les tangentes de r' sont conjuguées deux à deux par rapport au réseau tangentiel (n°' 197 et 108). Nous dirons que :

Trois points de G^ dont les conjugués sont situés sur une même droite, forment un /pr?/e de points de G^

Trois tangentes de F', dont les conjuguées passent par un même point, forment un terne de tangentes de F^

Comme deux couples de points du réseau tangentiel constituent toujours deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère polaire du réseau ponctuel, quadrilatère qu'ils déterminent (n" 198), on voit immédiatement que :

Les trois points de tout terne de G' constituent. avec leurs conjugués les trois couples de sommets opposés d'un quadrilatère polaire du réseau ponctuel ; tout quadrilatère

Les trois tangentes de tout terne de F" constituent avec leurs tangentes conjuguées les trois couples de côtés opposés d'un quadrangle polaire du système tangentiel ; tout

polaire du réseau ponctuel renferme quatre ternes de points de C. Deux points quelconques de C déterminent un terne de points de cette courbe du troisième ordre.

Les points de G' situés deux à deux sur des droites passant par un point donné P^ de G', forment avec le point P conjugué à Pj un terne de points de G'\

quadrangle polaire du réseau tangentiel renferme quatre ternes de tangentes de F". Deux tangentes quelconques de P déterminent un terne de tangentes de cette courbe de troisième classe. Les tangentes de P qui se coupent deux à deux sur une tangente donnée t^ de F' forment avec la tangente t conjuguée à t^ un terne de tangentes de P.

202 . Les deux triangles formés par deux ternes quelconques de G' sont toujours inscrits à une conique du réseau tangentiel (n° 198), puisqu'ils sont situés sur deux quadrilatères polaires du réseau ponctuel (n° 201). Il résulte de là (n" 45) que :

Deux ternes quelconques de points de G' sont toujours inscrits dans une même courbe du second ordre. — Si donc une conique est circonscrite à un terne de G' et passe par deux points P et Q de cette courbe, elle est aussi circonscrite au terne de G" déterminé par P et Q.

Deux ternes quelconques de tangentes de P sont toujours circonscrits à une courbe de seconde classe. — Si donc une conique est inscrite dans un terne de F^ et si de plus elle est tangente à deux tangentes quelconques p et ^ de F', elle est aussi inscrite au terne de F^ déterminé par p Qi q.

205. Le second terne (théorème de gauche) coïncide avec le premier quand P et Q se rapprochent indéfiniment de deux points du premier terne de G' ; il en résulte alors que :

A tout terne de points de G' on peut circonscrire une conique qui soit tangente à la courbe C^ aux trois points du terne.

Dans tout terne de tangentes de F' on peut inscrire une conique qui soit tangente à la courbe F'' aux points de contact des trois tangentes du terne.

Le dernier théorème du n** 201 nous donne les corollaires suivants : Si l'on considère un point Q de ] Si l'on considère la tangente a de

G' qui forme un terne de C' avec deux points conjugués P, Pj, les deux tangentes en P et P^ se coupent au point Q.

r' qui forme un terne de I'' avec deux tangentes conjuguées t, Z^, les points de contact de t et ti sont situés sur la tangente s.

204. En ayant égard au théorème final du n° 201, on déduit du

n° 202 que :

Les couples de points de C^ dont la droite de jonction passe par un point donné P^ de C^ sont situés sur une conique du faisceau ponctuel qui est circonscrit à un terne quelconque de G^ et qui passe par le point P conjugué à Pi.

Les couples de tangentes de Y" qui se coupent sur une tangente donnée f^ de r^ sont tangentes à une conique du faisceau tangentiel qui est inscrit à un terne quelconque de r'' et qui est tangent à la tangente / conjuguée à /j.

Le faisceau de rayons Pi et le faisceau ponctuel de coniques (théorème de gauche) sont rapportés projectivement l'un à Tautre par les couples de points de G' de telle manière qu'ils engendrent la courbe G'. De même, la ponctuelle ti et le faisceau tangentiel de coniques (théorème de droite), rapportés projectivement l'un h l'autre au moyen des couples de tangentes de F', engendrent P. Mais ce n'est pas ici le lieu de démontrer l'exactitude de cette remarque faite en passant.

205. Les côtés du quadrangle polaire commun à deux coniques quelconques /i', ki^ du réseau ponctuel appartiennent à un quadrilatère polaire d'une troisième conique quelconque k^^ du réseau, quadrilatère qu'ils déterminent (n" 168). Ce dernier est donc un quadrilatère polaire commun à k-, k^^, k^-^ et par conséquent un quadrilatère polaire du réseau ponctuel. Il en résulte (voir n*^ 201) que :

Le triangle polaire commun à deux coniques quelconques du réseau ponctuel est toujours un terne de points de G^. En particulier, les trois couples de côtés opposés de chaque quadrangle polaire du réseau tangentiel se coupent suivant un terne de points de G^

Le triangle polaire commun à deux coniques quelconques du réseau tangentiel est toujours un terne de tangentes de ^^ En particulier, les trois couples de sommets opposés de chaque quadrilatère polaire du réseau ponctuel sont situés sur un terne de tangentes de P.

La première partie de ce théorème donne lieu à une proposition réciproque. On démontre facilement aussi que tout point dont les polaires, par rapport à deux courbes du réseau ponctuel, coïncident, est situé sur G^ et que toute droite dont les pôles, par rapport à deux courbes du réseau tangentiel, coïncident, est tangente à la courbe r'.

206. Toutes droites qui coupent trois coniques quelconques données dans un plan suivant une involution de points enveloppent une courbe de troisième classe T^ (n° 199); cette courbe est aussi tangente aux six sécantes communes de deux quelconques des trois coniques (n" 197).

Tous les points d'oîi les tangentes menées à trois coniques quelconques données dans le plan forment une involution sont situés sur une courbe du troisième ordre G' (n° 200); cette courbe passe aussi par les six points d'intersection des tangentes communes à deux quelconques des trois coniques (n° 198).

207. Puisque deux points conjugués Q,Qi de la courbe G' sont harraoniquement séparés par deux quelconques des tangentes conjuguées de r' (n" 198) et puisque le point Q^ de G', qui est situé sur la même droite que deux points conjugués P,Pi, a pour conjugué le point Q dïntersection des tangentes en P et P^ (n°' 205 et 201), il s'ensuit que :

Toute tangente de G^ forme un faisceau harmonique avec les trois tangentes que l'on peut mener de son point de contact à la courbe r'.

Tout point de r^ forme une ponctuelle harmonique avec les trois points où sa tangente coupe la courbe G'.

La tangente de G* est harmoniquement séparée de VV^ par deux tangentes conjuguées de la courbe r^ Si P^ est un point d'inflexion de G', Q coïncide avec Pj et PP^ est tangente à G^ en P et réciproquement.

Or, d'après le théorème de droite, le point où PPi est tangente à r', coïncide aussi avec P. D'où ce théorème :

Les courbes C^ et T^ sont tangentes en tous leurs points communs; la tangente en tout point commun P coupe la courbe C* en l'un de ses points d'inflexion P^ et est coupée en P par Vune des tangentes de rebrousseînent de la courbe F',

252 GÉOMKTRIE DE POSITION.

208. Le réseau tangentiel renferme un faisceau tangentiel de paraboles (n" 195), dont les foyers sont situés sur un cercle et dont les directrices se coupent en un point K (voir n° J25). Le réseau ponctuel contient en général un cercle (dont le centre est K), un faisceau ponctuel d'hyperboles équilatères et une infinité de paraboles, dont il passe au plus deux par un point quelconque (n"' 195 et 189).

209. Le réseau tangentiel se particularise quand il renferme un double point Z ; ce point est un point double de G^ ; toutes les coniques du réseau ponctuel correspondant, qui est lui-même particularisé, passent par ce point et la courbe T* se décompose dans le faisceau de rayons Z et dans la courbe r^ de seconde classe dont les tangentes sont conjuguées aux rayons de Z par rapport à deux courbes quelconques du réseau tangentiel . Le faisceau de rayons Z et le faisceau des tangentes de r- sont projectifs et engendrent la courbe G' (n° 200). Les réseaux tangentiel et ponctuel sont aussi d'espèce particulière quand le réseau ponctuel renferme une droite double z; cette droite est une tangente double de T', elle est tangente à toutes les coniques du réseau tangentiel, et la courbe G' se décompose en cette droite et en une courbe du second ordre.

210. Le réseau tangentiel est encore d'espèce particulière quand il contient tous les couples de points d'une ponctuelle u en involution. Les coniques du réseau ponctuel passent alors toutes par les deux points doubles de w, la courbe P se décompose en ces deux points doubles et le pôle U de w par rapport à une courbe quelconque y* du réseau tangentiel, et G' se décompose en la droite u et en une courbe du second ordre (voir n" 117). La droite u est conjuguée à tous les rayons du faisceau U par rapport au réseau tangentiel, et par U passe une sécante commune de deux quelconques des coniques du réseau ponctuel. En particulier, si la ponctuelle involutive u est l'intersection d'un faisceau rectangulaire de rayons par la droite de l'infini, le réseau ponctuel se compose uniquement de cercles (voir n" 194) et l'on trouve que :

211. Tous les cercles qui portent une courbe donnée y^ de seconde classe, c'est-à-dire qui peuvent être circonscrits à ses triangles et quadrangles polaires, forment un réseau ponctuel particulier de coniques. Les sécantes, qui sont communes à ces cercles pris deux à deux, se coupent au centre U de y^ ou sont parallèles, si y* est une parabole. Si y- est une ellipse ou une hyperbole, les produits des segments déter-

minés par les cercles sur les sécantes issues du centre U sont constants ; les cercles ont donc même puissance en U et il existe un cercle, concentrique à y^ qui coupe orthogonalement tous les cercles du réseau ponctuel (il est imaginaire pour les hyperboles obtusangles). Si au contraire y^ est une parabole, les centres de tous les cercles du réseau ponctuel sont situés sur une même droite. Tout point de cette droite, ou de ce cercle orthogonal concentrique à y% peut être considéré comme un cercle infiniment petit du réseau et nous en concluons que de ce point l'on peut mener à y'' deux tangentes rectangulaires. Les théorèmes de ce numéro ont été découverts par M. Faure.

212. Les théorèmes réciproques à ceux du n° 210 nous donnent, entre autres, la proposition suivante :

Toutes coniques qui ont pour foyer un point donné F et qui reposent sur une courbe /t^ du second ordre, forment un réseau tangentiel particulier. Les deux tangentes réelles, communes à deux quelconques d'entre elles, se coupent toujours sur la polaire /" de F par rapport à /t*. La courbe F' se compose de F et d'une courbe de seconde classe; au contraire CJ se décompose en f et les deux rayons doubles imaginaires du faisceau rectangulaire F. Dans tout quadrangle polaire du réseau tangentiel, deux côtés opposés se coupent rectangulairement en F; les points d'intersection des deux autres couples de côtés opposés sont situés sur f. D'une manière générale, /" est la polaire de F par rapport à toutes les coniques du réseau ponctuel ([ui porte le réseau tangentiel.

215. Toutes les coniques qu'on peut circonscrire à un triangle ABC constituent un réseau ponctuel très particulier; ABC est un triangle polaire commun à toutes les courbes du réseau tangentiel correspondant ; les courbes r^ et C^ se réduisent respectivement aux trois sommets et aux trois côtés du triangle.

Les coniques, dont ABC est un triangle polaire, ne constituent pas seulement un réseau tangentiel très particulier, mais elles donnent aussi naissance à un réseau ponctuel également particulier ; ce dernier porte le réseau tangentiel qui peut être inscrit dans le triangle.