Taris, bnprimcrie A. Lahure. rue de Fleurus

Li:(.ONS

(lEOMETRIË DE POSITION

DEUXIÈME TARTIE.

l'IilîMIERE LEÇON.

Formes fondamentales collinéaires et réciproques de seconde espèce.

Les systèmes plans el les gerbes peuvent être rapportés les uns aux autres d'une manière analogue à celle que nous avons employée pour les formes fondamentales uniformes. En particulier, nous pouvons reproduire ici pour les formes fondamentales de seconde espèce nos considérations sur la perspeci ivité des formes fondamentales de première espèce. Ainsi nous appellerons perspectifs:

1" Un système plan et une gerbe, quand le système plan est une section de la gerbe et, récipioquement, quand la gerbe est une projection du système plan :

'2" Deux systèmes plans, quand ils sont les sections d'une seule et même gerbe ;

Ti" ])eux gerbes, cpiand elles sont les projections d'un seul et même système plan.

L image ou la projection qu'un paysage j)lan envoie à notre œil est, d après cela, une gerbe perspective à ce paysage. Imaginons que nous coupions cette gerbe ])ar un plan, nous obtenons une représentation perspective du paysage ou un deuxième système plan qui est perspectif à ce paysage. Enfin le paysage, considéré de deux points dillerents, donne deux projections différentes qui sont évidemment deux gerbes perspectives.

Lorsque, dans une série de formes fondamentales de seconde espèce, chaque forme est rapportée perspectivenient à la suivante, la première sera rapportée à la dernière de la même manière que dans les foiines fondamentales uniformes, puisqu'à chaque élément de Fune correspond un élément déterminé de l'autre; mais, en général, ces formes ne sont plus perspectives. Étant données deux formes fondamentales de seconde espèce perspectives, par exemple deux systèmes plans, si l'on déplace Tune d'elles par rapport à l'autre, elles restent encore rapportées l'une à l'autre, mais elles perdent leur relation de perspectivité. Toutefois, elles continuent toujours à conserver entre elles une dépendance particulière que Môbius a nommée collhiéation. Ainsi, dans deux systèmes plans ainsi rapportés l'un à l'autre, à toute forme linéaire correspond une forme linéaire, à tout faisceau de rayons un faisceau de rayons, à toute courbe avec ses tangentes une courbe avec ses tangentes, à tout n — angle un n — angle, etc.

Nous appellerons donc coUinéaires :

i° Deux systèmes plans 2 et 2^ , quand à tout point P de ^ coitcspond un point Pi de I^i, et à toute droite g de - passant par P une droite </i de 2^ passant par Pj ;

2° Un système plan 2 et une gerbe S^, quand à tout point P de correspond un rayon pi de Si et à toute dioite g de - passant par P un plan y de Si passant par pi ;

3° Deux gerbes S et Si, quand à tout rayon;; de S correspond un rayon pi de Si et à tout plan y de S passant par p un plan yi de Si passant par pi ;

Et quand, de plus, à toute série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'une des formes correspond une série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'autre.

Nous pouvons aussi, avec Von Staudt, donner de ces conditions une défmition plus courte, applicable aussi aux systèmes de l'espace, en disant :

Deux formes fondamentales de seconde ou de troisième espèce, rapportées Vuneà Vautre^ sont dites coUinéaires si deux éléments d'espèce différente P et g de Vune, P étant situé sur g, correspondent respectivement à deux éléments, d'espèce différente P^ et gi de V autre, Pj étant aussi situé sur gj.

11 résulte immédiatement de cette définition que :

Des formes fondamentales de seconde espèce, qui sont perspectives^