FORMES FONDAMENTALES COLLINEAIRES ET RECIPROQUES

soni collinéaires . Si deux formes fondamentales sont collinéaires à une troisième^ elles sont aussi collinéaires Vune à Vautre.

Il est donc aussi démontré en même temps, que dans une suite de formes fondamentales de seconde espèce, dont chacune est perspective à la suivante, deux quelconques d'entre elles sont collinéaires, et en particulier la première et la dernière.

Le mot collinéaire a été employé pour la première fois par Môbius, dans son remarquable ouvrage « Der barycentrische Calcul », pour spécifier les systèmes plans qui sont rapportés entre eux de la manière qu'on vient d'indiquer; cette expression signifie que non seulement tout point de l'un des systèmes correspond à un point de l'autre, mais aussi que toute droite de l'un correspond à une droite de l'autre. On sait en effet ({u'on peut encore rapporter entre eux deux systèmes plans de telle manière, par exemple, qu'à un point de l'un corresponde bien un point de l'autre, tandis qu'une droite a pour correspondante une conique.

La loi de réciprocité ou de dualité déjà énoncée précédemment, mais qu'on n'a pas encore démontrée d'une manière générale, nous conduit aussi à un autre genre de relation simple entre des formes fondamentales d'espèce supérieure, à ce qu'on appelle la relation de réciprocité.

En effet, nous appellerons réciproques :

1" Deux systèmes plans 2 et I^i, quand à chaque point P de -correspond une droite p^ de -i et à chaque di'oite g de 2 passant par P, un point de Gi de 2i situé sur pi ;

2° Un système plan I et une gerbe Sj, quand à chaque point P de 2 correspond un plan ■k^ de Si et à toute di'oite g de ^ passant par P un rayon gi de S^ situé dans x^ ;

0° Deux gerbes S et Si, quand à tout rayon g de S correspond un plan Yi de Si et à tout plan s de S passant par g un rayon Ci de Si situé dans Yi ;

Et quand, de plus, à toute série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'une des formes correspond une série d'éléments se succédant d'une manière continue dans l'autre.

Nous pouvons donner de cette condition dé réciprocité une définition plus courte et applicable aussi aux systèmes de l'espace, en disant :

Deux formes fondamentales de seconde ou de troisième espèce^ rapportées Vune à Vautre, sont dites réciproques, si à deux éléments d'espèce différente V et g de Vune P, étant situé sur j^, correspondent

li GEOMETRIE DE POSITION.

respccliveinciU deux clémeitt.s cVespèce différente, pi et fi, de l^intic, \)i passant par Gj.

Nous démontrerons qu"iiii(3 relation de ce genre est possible, car son existence ne ressort ])as bien clairement et du premier couj) ('ommepour lu collinéation ; il n'y a qu'un cas où nous l'ayons déjà établie : c'est celui où il s'agissait des courbes du second ordre ; nous avons fait voir en elïetque, par rapport à une coni([ue, à tout point P du plan correspond une droite, qui est sa j)i)lairey^,, et (|u'à toute droite du plan passant par 1* corres])ond un point situé sur p^, qui est le pôle de cette droite.

La dénionslration générale rent'eiine celle de la loi de réciprocité; en elï'et, puisque dans les systèmes réciproques de l'espace, par exemple, à tout point correspond miplan, toute propriété d'un système tie |)oinls nous donne immédiatement la propriété correspondante du système de plans qui est réciproque à ce système de points.

L'étude des formes fondamentales récipro([ues présente du reste un intérêt et une importance tout particuliers, parce qu'elle comj)rend celle des formes fondamentales collinéaires, en tant que la situation particulière de ces dernières n'entre pas en jeu. Le tbéorème sui- \ant fait ressortir cette liaison :

Lorsque deux formes fond atne ni aies sont réciproques à une troisième, elles sont collinéaires ; et, réciproquement, étant données deux firmes f(»tdamentales collinéaires^ si l'une d'elles est réciproque à une troisième, il en est aussi de même pour Vautre.

Supposons, par exemple, que deux systèmes plans -i et -j, soient réci|)ro(|ues à un troisième -; à chaque point 1' de ce dernier correspond dans chacun des pi'emiers une droite />, et p^ et à toute droite g de -, passant par P, correspond respectivement dans i), et -, un point d et G,, dont le premier G, est situé sur pi et le second G, sur /;.,. Donc à toute droite p, de -i correspond une droite p., de -, et à tout point Gi de -j, situé sur pi, correspond un point G., de-,, situé sur/?.,; c'est-à-dire que -, et -^ sont collinéaires. On étendra d'une manière analogue la première etla seconde])ar1Jede ce théorème aux autres cas; on peut toutefois les lamener immécruitemeiil à celui (|u'on vient de iiaiU'i-. en i«'inai(|n;int cpià toute gerbe on peut substituer Tune de ses sections planes.

Deux formes fondameiilali's (((llinéaiit's on léciproques sont aussi appelées projectives, parce (pià t(»ute. forme harmonique dans l'une

FOr.MES FONDAMENTALES f:OLLINEAl HES ET RECIPROQUES. '•

correspond une forme harmonique dans l'autre. En elFet, soienl, par exemple, A, B,fl, D quatre points hai'moniques d'im système plan 2, et a^. l\, Cl, r/, les quatre rayons correspondants d'un système plan -, léciproque à 2. Les rayons «,, />,, Cj, di doivent tout d'abord passer par un même point U, (fig. 1), puisque \, R. C, D sont situés sur une même droite ii. Tout quadrangle KLMN de il dans lequel un couple de (-ôlés opposés se coupent en A et un auti-e couple en G, tandis que les flenx côtés restants passent respectivement par B et D, a pour correspondant dans 2, un quadi'ilatère /.-,/, m, n,, dont deux sonunets opposés sont situés surrti etCi et dont les deux autres sont respectivement sur A, et z^/,. Kn conséquence, «,, b,. c,, d, sont réellement quatre rayons Itaniio-

niques (I, page iâ)'. Comme exercice, nous conseillons au lecteni- de clieirher la démonstration correspondante pour les systèmes collinéaires, bien qu'elle soit comprise dans relie que nous venons de donner.

On déduit de ce théorème que :

Deux formes fondamentales uniformes, fpn se correspondent dans des formes fondamentales collinéaires ou réciproques, soûl projec-' tives.

Kn effet, les deux formes simples se trouvent rapportées l'une à l'autre de telle manière qu'à quatre éléments harmoniques de Tune correspondent toujours quatre éléments harmoniques de l'autre.

1. Les renvois à la première partie seront tout simplement indiqués parle cliiflre I. I.e chiffre I( s'appliquera à ceux de la seconde.

b GEOMETRIE DE POSITION.

Ce théorème nous donne un moyen facile de rapporter projectivement l'une à l'autre deux formes fondamentales de seconde espèce. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans 2 et 2i ; il faut qu'à tout point de 2 corresponde un rayon de 2^, à toute ponctuelle de 2 un faisceau projectif de rayons de 2i et réciproquement. Pour cela, nous prenons dans 2 (fig. 2) deux ponctuelles u et v et nous leur faisons correspondre dans 2i deux faisceaux quelconques de rayons èij et Vj, en rapportant ])rojectivement u à Uj et î; à Yj de telle sorte que le point P commun ku eiv ait pour correspondant le rayon p^ commun àUi et Vj. Tout rayon k de II, qui ne passe l)as par P, coupe alors chacune des di'oites u Qi v suivant les points A et D, auxquels correspondent respectivement les rayons «i et rf, dans

les faisceaux TJ, et V, de -j ; et leur point d'intersection K, est le point qui correspond au rayon k. A tous les rayons passant par un point S correspondent tous les points d'une droite Sj ; en effet, les ponctuelles n et V sont rapportées perspectivement l'une à l'autre par le faisceau de rayons S, de telle manière qu'elles ont le point P corres])0]idant commun ; donc les faisceaux de rayons Uj et Vj sont projectifs et ils ont le rayon />j correspondant commun. Ils sont donc aussi en perspective et engendrent une forme rectiligne Sj qui correspond au faisceau S.

On voit ainsi que, par le moyen de la correspondance établie entre les formes u et Uj et d et Vj, à tout rayon /.de - correspond un point Kl de ^i, à tout point S situé sur k un rayon .s, passant par Kj et que par conséquent 2 et Si sont bien effectivement rapportés réciproquement